Даны уравнения движения точки найти радиус кривизны

Даны уравнения движения точки найти радиус кривизны

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

7.1. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.2. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.3. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки:

,

,

.

,

,

Модуль полного ускорения:

.

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.4. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.5. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки по осям :

,

,

Ускорения точки по осям:

,

,

.

Модуль касательного ускорения точки:

, а модуль нормального ускорения .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением .

7.6. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки по осям :

,

,

Ускорения точки по осям:

,

,

.

Модуль касательного ускорения точки:

,

а модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением .

7.7. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.8. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

.

,

,

Модуль полного ускорения:

.

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.9. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

.

,

,

Модуль полного ускорения:

.

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.10. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.11. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.12. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.13. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.14. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Найти: , , .

Решение: Скорости точки по осям :

,

,

,

Ускорения точки по осям:

,

,

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.15. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.16. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.17. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Решение: Скорости точки :

,

,

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

7.18. Дан закон движения точки по окружности радиусом r . Определить:

1) скорость и ускорение точки при и ;

2) моменты остановки точки;

3) путь, пройденный точкой за 10секунд.

Дано: , , , .

Найти: , , , , , , П.

Решение: 1. На траектории отметим точку О – начало отсчета координаты s и укажем положительное направление отсчета этой координаты. Отметим положение точки в заданные моменты времени: При :

;

При :

.

Проведем из этих точек естественные оси координат.

Определим проекцию скорости на касательную:

.

При : ;

При : .

Векторы и совпадают со своими проекциями. Определим проекции ускорения на естественнее оси координат :

; , Полное ускорение точки .

При :

,

и

.

При :

,

и

.

2. Чтобы найти время остановки надо найти время, когда скорость точки равна нулю:

, получим и .

3. Поскольку за 10 секунд точка сделала две остановки, пройденный ею путь за 10с можно найти как сумму пути, пройденного от начала до первой остановки, от первой до второй остановки и от второй до момента времени :

,

; ; ; .

Путь пройденный точкой за 10 секунд:

.

7.19. Определить скорость, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , (1)

( x и y – в см , t и t ₁ – в с).

Найти: 1) вид траектории;

2) для t = t ₁ положение точки на траектории;

3) .

Решение: 1) Уравнение движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключаем время t из уравнений (1).

Возводя обе части равенств в квадрат, а затем складывая равенства, получаем , т.е. траекторией точки М является окружность радиуса 2, показанная на рис.1.

2) Определяем положение точки М в заданный момент времени t =1 с :

Вектор скорости точки

. (2)

(3)

Здесь – орты осей и ; – проекции скорости и ускорения точки на оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1):

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

, (4)

,

,

и модуль ускорения точки:

, (5)

Модуль касательного ускорения точки

, (6)

; (7)

выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направление и совпадают; знак «–» – что движение замедленное.

Вычисляем модуль касательного ускорения для заданного момента времени

Модуль нормального ускорения точки

. (8)

Если радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке неизвестен, то нормальное ускорение можно определить по формуле

. (9)

При движении точки в плоскости формула (9) принимает вид

.

Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:

. (10)

Воспользуемся в нашем случае формулой (10)

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим из выражения:

. (11)

Тогда

На рис. 1 показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим и , причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор строим по составляющим и и затем раскладываем на составляющие и . Совпадение величин и , найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.

7.20. Определить скорость, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

( x и y – в см , t и t ₁ – в с).

Найти: 1) вид траектории;

2) .

Указания. Задача — относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения. В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t ₁ = 1 с .

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t :

Отсюда окончательно находим уравнение траектории точки (параболы, см. рисунок):

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

V = и при t ₁ = 1 с,

3. Аналогично найдем ускорение точки:

а =

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:

. (3)

ч исловые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (3), определены и даются равенствами (1) и (2).

Подставив в (3) эти числа, найдем сразу, что при t ₁ = 1 с

=7,49 см/с 2 .

5. Нормальное ускорение точки:

a _n = .

Подставляя сюда найденные числовые значения a ₁ и a _{1 τ} , получим, что при t ₁= 1 с

6. Радиус кривизны траектории ρ = V 2 / a _n .

Подставляя сюда числовые значения V ₁ и a _{1 n} , найдем, что при t ₁ = 1 с

Ответ: V ₁= 8 ,54 см/с, а ₁ =8 см/с 2 , =7,49 см/с 2 , a _{1 n} =2,81 см/с 2 , ρ₁ =25,95 см.

7.21. Точка движется по дуге окружности радиуса R =1 м по закону ( s – в метрах, t – в секундах), где s = AM (см. рисунок).

Найти: скорость и ускорение точки в момент времени t ₁ =1 с .

Определяем скорость точки:

V = ds / dt = .

При t ₁ =1 с получим = -1,26 м/ с .

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

,

п ри t ₁ = 1 с получим , учтя, что R = 1 м

,

тогда ускорение точки при t ₁ =1 с будет:

=1,59 м/с 2 .

Изобразим на рисунке векторы , , учитывая знак V ₁ и считая положительным направление от А к М.

7.22. По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t = t ₁(с) найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.

Дано: , , t ₁=1 сек ( x и y – в см , t и t ₁ – в с).

Найти: 1) вид траектории;

2) .

1) Найдём траекторию движения:

Для этого исключим параметр t .

Возведём во вторую степень, получившиеся уравнения, а затем сложим, таким образом, исключится t . Получим:

Это окружность с центром в точке с координатами (-1;0) и радиусом

2) Найдём положение точки на траектории в момент времени t = t _1:

3) Определим скорость токи:

Для нахождения вектора полной скорости необходимо сложить 2 вектора:

Найдём модуль полной скорости:

для момента времени t ₁:

4) Определим ускорение точки:

для момента времени t ₁:

для момента времени t ₁:

Найдём полное ускорение:

Найдём модуль полного ускорения:

для момента времени t ₁:

Определим касательное ускорение :

или,

для момента времени t :

Определим нормальное ускорение a_n :

для момента времени t ₁:

5) Из полученных результатов можно найти радиус кривизны траектории , в момент времени t ₁:

Действительно, этот радиус совпадает с радиусом окружности (траектории).

7.23. Точка М движется согласно уравнений ; ; ( x , y — в метрах, t — в секундах). Определить уравнение траектории точки, для момента времени t =1с, найти положение точки, а также скорость, полное, касательное, нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории.

1) Найдем уравнение траектории точки. Для определения уравнения траектории исключим из уравнений движения время . Из первого уравнения движения точки найдем

Из второго уравнения движения найдем

Возведя полученные значения ( правую и левую стороны уравнения ) в квадрат и складывая их находим:

.

Следовательно, траекторией точки является эллипс с центром в точке с координатами (3;1).

Вид траектории показан на рисунке.

2) Найдем положение точки в момент времени t =1с

; .

Положение точки М ₁ показано на рисунке.

3) Найдем скорость точки М

,

Где , или в момент времени t₁=1c

, или в момент времени t₁=1c

4) Найдём ускорение точки.

,

где , или ,

, или

5) Найдем касательное ускорение точки M,

6) Найдём нормальное ускорение точки M ,

7) Найдем радиус кривизны траектории точки М,

,

Направление векторов показано на рисунке.

Ответ: =7.85м/ c ; = 4.93 м/ c 2 ; =0; = 4.93 м/ c 2 ; м

7.24. Пусть точка М движется в плоскости xOy в соответствии с уравнениями . Для момента времени = 0,5 с найти положение точки М на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Решение: Заданный закон движения точки в координатной форме можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Исключим время t из уравнений движения и получим уравнение траектории точки в виде:

.

Таким образом, траекторией точки М является эллипс со смещенным центром, изображенный на рис. Отметим на траектории положение точки М ₁ ( x ₁, y ₁) в момент времени t ₁ = 0,5 c

;

.

Вектор скорости точки представим в виде:

,

где – орты координатных осей О x и О y ; – проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от соответствующих координат по времени

В момент времени t ₁ = 0,5 c

Вектор скорости точки строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям и в соответствии с выбранным масштабом

.

Полученный вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Модуль скорости точки определим по уже найденным проекциям

Вектор ускорения точки представим в виде:

,

где – орты координатных осей О x и О y ; – проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от проекций вектора скорости или 2-м производным от соответствующих координат по времени:

В момент времени t ₁ = 0,5 c

Вектор ускорения точки строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям и в соответствии с выбранным масштабом

.

Полученный вектор ускорения точки в общем случае должен отклоняться от вектора скорости в сторону вогнутости траектории, а при движении по эллипсовидной траектории – проходить через центр эллипса. Модуль ускорения точки определим по уже найденным проекциям

Вектор полного ускорения точки можно также представить в виде геометрической суммы его проекций на оси естественной системы отсчета

,

где и – единичные орты касательной и главной нормали; и – соответственно проекции вектора ускорения на касательную и главную нормаль. Касательную М ₁ t направляем по касательной к траектории в сторону движения точки движения, а главную нормаль М₁ n – перпендикулярно касательной в сторону вогнутости траектории. При вычислении касательного ускорения удобно воспользоваться формулой, устанавливающей связь между координатным и естественным способами задания движения точки

.

В момент времени t ₁ = 0,5 c

.

Значение касательного ускорения имеет отрицательный знак, следовательно, в данный момент времени движение точки замедленное и вектор касательного ускорения направлен в противоположную сторону направлению вектора скорости точки .

Нормальное ускорение вычислим по формуле , если известен радиус кривизны траектории. Например, если точка движется по окружности радиусом R, то в любой точке траектории . Если же траекторией движения точки является прямая, то , следовательно, . В данном случае радиус кривизны траектории заранее не известен, поэтому нормальное ускорение определяем по формуле:

.

В момент времени t ₁ = 0,5 c

.

Построим векторы и в соответствии с уже выбранным масштабом, а затем сложим их геометрически. В результате получим тот же вектор полного ускорения точки , который ранее уже был получен геометрической суммой составляющих и . Этот факт служит контролем правильности решения.

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим по формуле

.

В момент времени t ₁ = 0,5 c

.

Ответ: =8,82 см; =2,59 см; =4,44 см/ c ; =2,22 см/ c ; =4,96 см/с; =6,97 см/с 2 ; =3,49 см/с 2 ; =7,79 см/с 2 ; =4,67 см/с 2 ; =6,23 см/с 2 ; =3,95 см (радиус кривизны траектории в точке ).

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Координатный способ задания движения точки

Введение

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы применим основные результаты этой теории к координатному способу задания движения материальной точки.

Пусть мы имеем неподвижную прямоугольную систему координат с центром в неподвижной точке . При этом положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Координатный способ задания движения точки – это такой способ, при котором заданы зависимости координат от времени. То есть заданы три функции от времени (при трехмерном движении):

Далее мы приводим формулы вычисления кинематических величин и пример решения задачи для координатного способа задания движения.

Определение кинематических величин

Зная зависимости координат от времени , мы автоматически определяем радиус-вектор материальной точки M по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Дифференцируя по времени , находим проекции скорости и ускорения на оси координат:
;
;
Модули скорости и ускорения:
;
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Его можно определить двумя способами – по направлению скорости, или в противоположную сторону. Поэтому здесь в знаменателе стоит не модуль скорости, а алгебраическая величина скорости, которая, по абсолютной величине, равна модулю скорости, но может принимать как положительные, так и отрицательные значения: . Она является проекцией скорости на направление единичного вектора .

Алгебраическая величина тангенциального (касательного) ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального (касательного) ускорения:
.
Здесь также, как и для скорости, – это скалярная величина, которая может принимать как положительные так и отрицательные значения: .

Нормальное ускорение:
.
Вектор нормального ускорения:
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории (то есть единичный вектор, перпендикулярный касательной и направленный к центру кривизны траектории):
.
Здесь – это модуль нормального ускорения: . Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Оно не может быть направлено в противоположную сторону.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Пример решения задачи

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Уравнения движения точки:
, см;
, см.

Решение

Определение вида траектории

Исключаем время из уравнений движения. Для этого перепишем их в виде:
; .
Применим формулу:
.
;
;
;
.

Итак, мы получили уравнение траектории:
.
Это уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии .

Поскольку
, то
; или
.
Аналогичным образом получаем ограничение для координаты :
;
;

Таким образом, траекторией движения точки является дуга параболы
,
расположенная при
и .

Строим параболу по точкам.

Определяем положение точки в момент времени .
;
.

Определение скорости точки

Дифференцируя координаты и по времени , находим компоненты скорости.
.
Чтобы продифференцировать , удобно применить формулу тригонометрии:
. Тогда
;
.

Вычисляем значения компонент скорости в момент времени :
;
.
Модуль скорости:
.

Определение ускорения точки

Дифференцируя компоненты скорости и по времени , находим компоненты ускорения точки.
;
.

Вычисляем значения компонент ускорения в момент времени :
;
.
Модуль ускорения:
.

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории. Выберем направление совпадающим с направлением скорости . Тогда ; алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление скорости :
.
Поскольку , то вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости .

Нормальное ускорение:
.
Вектор и направлен в сторону центра кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

Траекторией движения точки является дуга параболы
; .
Скорость точки: .
Ускорение точки: ; ; .
Радиус кривизны траектории: .

Определение остальных величин

При решении задачи мы нашли:
вектор и модуль скорости:
; ;
вектор и модуль полного ускорения:
; ;
тангенциальное и нормальное ускорения:
; ;
радиус кривизны траектории: .

Определим остальные величины.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального ускорения:

.
Вектор нормального ускорения:

.
Единичный вектор в направлении главной нормали:
.
Координаты центра кривизны траектории:

.

Введем третью ось системы координат перпендикулярно осям и . В трехмерной системе
; .
Единичный вектор в направлении бинормали:

.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-02-2016 Изменено: 29-01-2020

Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории в теоретической механике

Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории:

При решении многих технических задач возникает необходимость знать радиус кривизны р (или

Отсюда
Скорость точки определяется по формуле
Следовательно,

Числовое значение нормального ускорения а„ входит в выражение полного ускорения точки
откуда

где квадрат полного ускорения

и касательное ускорение

Таким образом, если закон движения точки задан уравнениями

то при определении радиуса кривизны траектории рекомендуется произвести следующее:

1. Продифференцировав уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора скорости:

2. Подставив в (б’) выражения найти

3. Продифференцировав по t уравнение (б), полученное непосредственно из (б’), найти касательное ускорение а затем а?.

4. Продифференцировав вторично уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора ускорения

5. Подставив в (г) выражения

6. Подставить в (в) значения

7. Подставив в (а) найденные значения получить радиус кривизны р.

Задача:

Движение точки задано уравнениями

(х, у—в см, t — в сек). Определить радиус кривизны траектории в те моменты, когда она пересекает ось Ох.

1. В те моменты, когда траектория пересекает ось Ох, ордината у—0. Поэтому, подставив во второе уравнение движения значение у = 0, получим

Отсюда [решая уравнение относительно находим, что траектория пересекает ось Ох в моменты времени

2. Находим выражения проекций скорости:

Как видно, проекция скорости на ось Ох — постоянная величина (не зависит от времени).

3. Определяем значение этих проекций в моменты пересечения траекторией оси Ох:

4. Числовое значение скорости точки в моменты пересечения траекторией оси Ох в данном случае одинаковы

5. Находим касательное ускорение точки. Для этого получим общее выражение (уравнение) скорости, воспользовавшись зависимостью (б):

6. Находим проекции полного ускорения точки:

Следовательно, в данном случае полное ускорение точки — постоянная величина. Причем

7. Определяем нормальное ускорение точки. Как при

так и при

8. Зная, что в моменты пересечения траекторией оси 5 см:сек и находим радиусы кривизны траектории в этих точках:

Решение этой задачи рекомендуется самостоятельно иллюстрировать чертежом, изобразив на нем траекторию точки, векторы скорости и ускорения а в местах пересечения траектории с осью Ох (эти векторы легко построить при помощи найденных проекций), а также радиусы

• Равномерное вращательное движение
• Равнопеременное вращательное движение
• Неравномерное вращательное движение
• Плоскопараллельное движение тела
• Равномерное криволинейное движение точки
• Равнопеременное движение точки
• Неравномерное движение точки по любой траектории
• Определение траектории, скорости и ускорения точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.