Даны уравнения движения точки в полярных координатах

Даны уравнения движения точки в полярных координатах

Глава 7. Кинематика точки.

7.9. Задание движения точки в полярных координатах.

7.9.1. Определить модуль скорости, если его вектор в этот момент вре­мени образует угол 45° с полярным радиусом, а радиальная ско­рость r = 2 м/с. (Ответ 2,83)

7.9.2. Трансверсальная скорость точки равна 3 м/с. Определить радиаль­ную скорость, если вектор полной скорости образует угол 30° с по­лярным радиусом. (Ответ 5,20)

7.9.3. Определить трансверсальную скорость точки, если полная ско­рость равна 20 м/с, а радиальная скорость равна 10 м/с. (Ответ 17.3)

7.9.4. Даны уравнения движения точки в полярных координатах φ = t, r = t 2 . Определить полярный радиус точки в момент времени, когда угол φ = 180°. (Ответ 9,87)

7.9.5. Даны уравнения движения точки в полярных координатах φ = 2 sin t, r = t 2 . Определить полярный угол φ в момент времени, когда полярный радиус r = 4 м. (Ответ 1,82)

7.9.6. Даны уравнения движения точки в полярных координатах φ = 0,5 t 2 , r = 0,5t. Определить трансверсальную скорость точки в см/с в момент времени t₁, когда полярный радиус r = 2 м. (Ответ 8)

7.9.7. Даны уравнения движения точки в полярных координатах φ = t₂, r = 0,5 t 2 Определить радиальную скорость точки в момент времени, когда полярный угол φ = 2,25 рад. (Ответ 1,5)

7.9.8. Даны уравнения движении точки в полярных координатах φ = 2t, r = t 2 . Определить модуль скорости точки в момент времени t₁ = 2 с. (Ответ 8,94)

7.9.9. Точка движется в плоскости. Уравнение полярного угла φ = 0,3t. Определить полярный радиус r в момент времени, когда полярный угол достигнет 3 рад, если dr/dt = 0,4 м/с. При t₀ = 0 радиус r₀ = 0.
(Ответ 4)

7.9.10. Точка движется в плоскости. Дано уравнение полярного радиуса r = sin πt. Определить полярный угол φ в момент времени, когда r = 1м, если dφ/dt = 0,4 рад/с. При t₀ = 0 угол φ₀ = 0. (Ответ 0,2)

Сборник коротких задач по теоретической механике.
Кепе О.Э.

Книга состоит из 1757 заданий которые предназначены для бысторого
контроля знаний на занятиях и зачетах а также для допуска к экзамену.
Задачи имеют ответы.

Издательство «Высшая школа» 1989 Москва

Также решение задач Кепе можно скачать здесь:
Мобильное приложение для Андроид:

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

• Рассмотрим движение точек на плоскости. В этом случае движение может быть задано в полярных координатах. Для этого возьмите точку O на плоскости в качестве полюса и нарисуйте от нее полярную ось, например, ось быка (рис. 22). Если радиус-вектор r и полярный угол = f2 (t) — (23). Полярный угол считается положительным, если он простирается от полярной оси против часовой стрелки до радиус-вектора. Радиус-вектор как расстояние от точки О до точки М принимает только положительные значения.

Уравнение (23) называется уравнением движения для полярных точек. Это также параметрические точечные траекторные уравнения. Исключение параметра-времени t из (23) дает орбитальное уравнение в полярных координатах. F (r, r = rr °, gr = gfr °. Для проекции скорости на ось, положительное направление которой совпадает с направлением единичного вектора r ° и jr с (24), vr = r, gr = gf. (26) Их называют лучевой и боковой скоростями соответственно. В зависимости от знака производной мицелия лучевая и боковая скорости являются как положительными, так и отрицательными. Используйте (24), чтобы определить ускорение точки в полярных координатах. У нас есть a = dv / dl = (d / d /) (rr 0 + gfr °).

Потенциальная энергия N материальной точки в мыслимой точке силового поля M осуществляется силой поля, действующей на материальную точку при перемещении из точки M в начальную точку Mo, т. Людмила Фирмаль

Проведите дифференциацию и получите a = rf ° + r + r fr 0 + r fr 0 + r f. Для производной по времени единичного вектора p ° dp0 / d ^ = φ (-r0), Вектор p ° вращается с той же угловой скоростью φ, что и вектор r °, поэтому единичным вектором, на который направлен вектор dp ° / dt, является вектор (-r °). Ускоряя производную единичного вектора и подставляя ее в уравнение, объединяющее члены, получаем в = (r-rf2) r ° + (rf + 2rf) p °. (27) Получены точечные ускорения разложения на радиальные ар и боковые ап компоненты. a = a, + ap, ar = (r-rf2) r °, ar = (rf + 2rf) p °. Для проекции ускорений на оси Or и Op получаем a, = r-rp2, ap = rp + 2rp. (28).

Ускорение ar называется радиальным, поперечным направлением. Боковое ускорение также может быть выражено в следующем формате: Эта формула для бокового ускорения широко используется при рассмотрении движения планет и искусственных спутников Земли. Рисунок 23 Равные производные по Поскольку радиальная и боковая составляющие ускорения перпендикулярны друг другу, Для фиксированных координатных осей Ox, Oy и Oz формула ax = dvx / dt, ay = dvy / dt, a2 = dv: / dt. Для подвижных осей Or и Op, как видно из (26) и (28), a и ap не являются временами от vr и vp. Особый случай.

• В этих уравнениях φ — угловая скорость вращения радиус-вектора, а φ — его угловое ускорение. Пример 1. Движение точки — это уравнение r = / (l + COSOH), φ = ШГ, Где я и со постоянные значения. Определить скорость и ускорение точки в полярных координатах траектории уравнения, времени t и момента Решения. Из уравнения движения уберите следующее уравнение для орбиты в полярных координатах: r = f (1 + C0 $ f). Это кардиоидное уравнение (рис. 24).

Проекции скорости и ускорения на полярную ось определяются уравнениями (26) и (28). У нас есть: Мы получаем «, = / = — / Eosin South. 1> = Гф = / ш (1 + COSO) /), t> = + = к ^ 2 (1 + 008 J = ^ 39» 6,2 м / с Прогноз ускорения всегда определяется по формуле а = -2 м / с2; ау = -6 м / с2; а =. > / ai + a * = s / 40×6,3 м / с2, ускорение геля n -2coszsinz + 36-2sin2 (i Ускорение при 2 ^ / 16 cos2 / + 36 sin2 2 / — ^ / 3 / 5® — 0,3 м / с. Далее для r = n / 6 с Скорость предопределена Боковая скорость при =, л / 6 с — по формуле х = 4sin / | Координаты движущейся точки при t = n / 6 на / 6 / 6м. y = 3cos2r | / 6 = 1,5 м. Отметьте положение движущейся точки на траектории в соответствии с координатами, выберите масштаб и нарисуйте векторы скорости и ускорения из проекции на ось.

Таким образом, принцип возможного смещения не является в действительности активной силой, и помимо сил реакции идеального соотношения, для которых задача не определена, определяются все силы энергосистемы. Людмила Фирмаль

Для радиальной составляющей скорости в рассматривается направление, противоположное единичному вектору r °. Это потому, что v был найден со знаком минус. Только числовое значение определяется для боковой составляющей скорости. Из рисунка 25 видно, что направление вектора противоположно направлению единичного вектора p ° (направление p ° получается поворотом вектора r ° на 90 ° против часовой стрелки). Следовательно, в рассматриваемом случае вы должны использовать знак минус для vp, то есть c, = -b, 2 м / с.

Для проверки правильности определения vp вы можете использовать следующую формулу «F. Нормальное ускорение всегда направлено внутрь вогнутой поверхности дорожки. Оказывается, что направление тангенциального ускорения а определяется а и направлено вдоль вектора скорости. В результате точка в определенной точке ускоряется. Определить радиус кривизны орбиты в момент времени t = 1/6 с. Все необходимые для этого количества уже доступны. получить = — = 39/5 «7,8

Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Даны уравнения движения точки в полярных координатах

В основе предлагаемой работы лежит опыт семинарских занятий по курсам общей физики и астрономии для студентов астрономического отделения физического факуль­тета МГУ.

При изучении механики материальной точки, в особенности её разделов, связанных с движением по криволинейной траектории, часто оказываются полезными астрономиче­ские приложения. В условиях поверхности Земли набор естественных траекторий прак­тически сводится к параболе. В космосе, наоборот, представлены многие типы криволи­нейного движения: вращение по окружности, а также эллиптические, параболические и гиперболические траектории разной степени вытянутости. К тому же формы орбит кос­мических объектов не ограничиваются одними коническими сечениями. Например, об­ращение звёзд вокруг центра галактики во многих случаях не описываются законами Кеплера, а в процессе сжатия вращающихся газовых туманностей имеет место посте­пенное приближение к центру по спирали. Параллельно с физическим содержанием за­дачи уместно привести и первые сведения о математическом аппарате плоских кривых линий.

Другим аспектом является соотношение между прямыми и обратными задачами. Для лабораторных условий типична прямая постановка: требуется вычислить параметры траектории тела, зная действующие на него силы. В астрономии как наблюдательной науке важен и обратный подход, когда по известному движению выясняют характер взаимодействия. Часть предлагаемого материала даёт студентам первое представление об обратных задачах. С методической точки зрения решение обратной задачи, как правило, проще и нагляднее. Поэтому имеет смысл показать одну и ту же задачу дважды: сначала в разделе «кинематика» как обратную, и затем, после приобретения студентами опыта, в разделе «динамика» выполнить решение более сложной прямой задачи. Перейдём к изложению материала, предварительно договорившись о некоторых обозначениях. Координаты точки, движущейся в плоскости, как обычно, равны x и y , время — t , а для параметров движения оставляем буквы a , b , k , w , j . Векторы представляем прямыми жирными символами: r – радиус вектор частицы, v – её скорость, w – ускорение. Точка над символом описывает дифференцирование по времени.

I Определение траектории, скорости и ускорения точки из закона движения в декартовых координатах.

Во всех задачах этого раздела требуется определить форму траектории, найти векторы скорости и ускорения, а также восстановить динамический закон движения.

Задача 1 . Точка движется в плоскости. Её координаты x и y зависят от времени t как

( SEQ ф \* MERGEFORMAT 1 )

( SEQ ф \* MERGEFORMAT 2 )

где a , b , ω и φ — параметры.

Если a либо b равны нулю, то имеет место прямолинейное движение вдоль той или иной координатной оси. Оно происходит внутри отрезка длиной 2 a , либо 2 b , центр которого расположен в начале координат. Предположим, что оба этих параметра отличны от нуля. Разделим первое уравнение на a , второе — на b и раскроем косинус суммы:

, ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 3 )

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 4 )

Исключим время t из уравнений движения. Сначала рассмотрим два особых случая. При получается эллипса, ориентированный параллельно осям:

,

а значению соответствует уравнение отрезка прямой .

В случае, когда оба этих параметра отличны от нуля, с помощью ( 3 ) выразим и через x / a и подставим результат в ( 4 ). После несложных преобразований получим уравнение эллипса, ориентация которого определяется величиной φ:

.

Роль параметра φ ясна из Рис. 1 . Теперь определим кинематические характеристики траектории и попытаемся выяснить направление действующей силы. На Рис. 1 единичные векторы i и j , направлены вдоль координатных осей. Напишем выражение для радиус-вектора точки, с координатами ( 1 ) и ( 2 ):

.

Векторы скорости и ускорения получаются последовательным дифференцированием r :

,

.

Из последних двух формул вытекает связь между ускорением и радиус-вектором:

. ( 5 )

Мы получили хорошо известное уравнение пространственного осциллятора. Частица массы m движется под действием центральной притягивающей силы, по абсолютной величине равной mω 2 r .

Пространственный осциллятор является важным методическим инструментом в атомной физике и оптике — двух активно используемых в астрофизике разделах общей физики. Знакомство с ним на семинарах по механике облегчает в дальнейшем освоение темы поляризованного излучения, а также анализ эффектов Зеемана и Штарка.

Задача 2 Точка движется по закону

с параметрами a , b и k . Случай k =0 здесь не представляет интереса. Равенство нулю a или b означает прямолинейное перемещение вдоль одной из координатных осей. Если они оба отличны от нуля, то траектория является отрезком гиперболы y = ab / x .

Не теряя общности, мы можем считать a и b положительными [1] . Они равны координатам точки в начальный момент времени:

,

которая в дальнейшем будет двигаться вправо. Вычислим вектор скорости

,

его абсолютную величину

и вектор ускорения

.

Тело отталкивает центральная сила mk 2 r .

Задача 3 . Точка движется в плоскости :

, ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 6 )

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 7 )

Вычтем квадраты уравнений, делённых на a и b соответственно:

.

Получилась гипербола, как и на Рис. 2 , но оси координат повёрнуты на 45 ° . Её график приведён на Рис. 3 . Дифференцируя ( 6 ) и ( 7 ) по времени, получим вектор скорости

.

Легко убедиться, что и здесь на тело действует отталкивающая сила F = mk 2 r . Итак, одна и та же сила может обуславливать внешне различающиеся типы движения. На частном примере мы увидели проявление важного принципа: динамический закон является более общей характеристикой движения, чем кинематические параметры.

Задача 4 . Заряженная частица совершает пространственное движение в однородном и постоянном магнитном поле:

с постоянными параметрами R , v_{z ,} w . Складывая квадраты первых двух уравнений, получаем винтовую линию

с шагом . Винтовая линия изображена на Рис. 4 . Из закона движения вытекают следующие выражения для вектора скорости

и квадрата его модуля , а также аналогичных величин для ускорения

.

II . Движение в полярных координатах.

Задача 5 . Точка A движется в плоскости ( x, y), причём закон её движения задан в полярных координатах: r = r ( t ) , φ = φ ( t ) .

Определить скорость и ускорение точки.

Проведём дополнителные координатные оси ζ и η вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему как показано на Рис. 5 . Обозначим посредством e_ζ и e _η “новые” единичные векторы вдоль осей ζ и η соответственно. Компонента любого вектора вдоль оси ξ называется радиальной, а вдоль оси η — трансверсальной. Если точка движется не по прямой линии, то векторы e_ζ и e _η со временем меняют своё направление. Этим они отличаются от постоянных ортов i и j . Связь между двумя базисами даётся известной формулой вращения системы координат:

.

Дифференцируя первую строчку по времени и сравнивая результат со второй строкой, приходим к следующему выражению для :

.

Радиус-вектор, по построению, коллинеарен e _{ζ :}:

.

При вычислении вектора скорости в полярных координатах необходимо учитывать изменение направления орта :

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 8 )

Проекция называется азимутальной, а проекция — трансверсальной скоростью. Аналогичным образом вычисляется вектор ускорения:

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 9 )

Описание движения во вращающейся системе отсчёта приобретает новые аспекты. В последней формуле и имеют тот же смысл, что и в декартовой системе. Член с описывает центростремительное ускорение точки, неподвижной относительно вращающейся системы отсчёта, а слагаемое — кориолисово ускорение.

Задача 6 . Исходя из первого и второго законов Кеплера, определить ускорение планеты.

Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Угол j отсчитываем от направления перигелия. Уравнение эллипса с эксцентриситетом e и параметром p в полярных координатах имеет вид:

, ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 10 )

Второй закон Кеплера утверждает постоянство секторной скорости. Введём константу

( SEQ ф \* MERGEFORMAT 11 )

Перепишем формулу ( 9 ) Задача 5 в виде

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 12 )

Легко видеть, что трансверсальная компонента вектора ускорения равна нулю. Ускорение направлено вдоль радиус–вектора Вычислим проекцию вектора w на ось ξ:

( SEQ ф \* MERGEFORMAT 13 )

Вводим новую переменную u =1 / r и воспользуемся формулой Бинэ:

, ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 14 )

где введено обозначение = du / d φ . Для вычисления правой части достаточно знать функцию r ( φ ). Для вывода формулы Бинэ выразим скорость изменения r через :

.

Воспользовавшись определениями и K , перепишем последнее уравнение в форме:

, ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 15 )

а дифференцируя его по времени с учётом ( 11 ) получаем

. ( 16 )

Подставляя в ( 13 ) полученные выражения для и , приходим к ( 14 ). Теперь с помощью формулы Бинэ получаем окончательное выражение для w _ξ :

.

Итак, со стороны Солнца на планету действует притягивающая сила .

Задача 7 . Планета движется по эллипсу с эксцентриситетом ε. Зная её скорость v ₁ в перигелии, определить скорость v ₂ в афелии.

В этих двух точках орбиты ( и только в них ) скорость и радиус–вектор взаимно ортогональны. Следовательно, здесь модуль скорости v равен её трансверсальной компоненте: . Точке перигелия , согласно ( 10 ), соответствует значение φ равное нулю, а в точке афелия φ = π. Из постоянства секторной скорости вытекает равенство

.

Воспользовавшись ( 10 ), приходим к окончательному результату:

.

Задача 8 . Показать, что квадрат скорости планеты равен

,

где a — длина большой полуоси. Из формулы ( 8 ) Задача 5 следует

. ( 17 )

Вычислив по формуле ( 15 ) Задача 6 , получаем

.

Здесь также учтено .Уравнение траектории ( 10 ) позволяет выразить sin 2 φ через r :

.

Подставив это значение в предыдущую формулу с учётом соотношения , приходим к искомому результату.

Задача 9 . Частица движется к притягивающему центру по плоской траектории

, ( 18 )

где r и φ — известные функции времени. В начальный момент времени угол φ равен нулю, а скорость тела направлена перпендикулярно радиус‑вектору и по абсолютной величине равна v ₀. Полагаем, что сохраняется постоянной секторная скорость, то есть справедлива формула ( 11 ). Определить зависимость скорости от расстояния r до притягивающего центра, а также трансверсальную и радиальную компоненты ускорения.

Из начальных условий определим значение константы K =2 av ₀. Согласно ( 12 ), трансверсальное ускорение равно нулю вследствие постоянства секторной скорости. Таким образом, притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. Радиальную компоненту вычислим двумя способами. Сначала выполним прямые расчёты по формуле ( 13 ) Задача 6 . Из ( 15 ) и ( 16 ) следуют выражения для и :

.

Теперь с помощью ( 18 ) выражаем cosφ и sin 2 φ через a и r :

.

.

Теперь воспользуемся формулой Бинэ ( 14 ) и уравнением траектории ( 18 ):

Подставляя в ( 14 ) полученное выражение для , после простых преобразований приходим к тому же выражению для ускорения:

.

Связь между модулями скорости и радиус‑вектора проще всего вычислить с помощью формулы ( 17 ):

.

Задача 10 . Точка движется в плоскости по закону

с параметрами r ₀ и a . Определить траекторию, скорость и обе компоненты ускорения.

Исключив время t , получим изображённую на Рис. 6 гиперболическую спираль

Рис. 6 Падение на центр

. По формуле ( 17 ) вычисляем модуль скорости:

.

Начальный наклон траектории на Рис. 6 определяется соотношением между двумя компонентами скорости. По формуле ( 8 ) легко найти, что для начального момента времени: . Траектория направлена противоположно оси абсцисс и наклонена к ней под углом 45˚. В рассматриваемой задаче величина секторной скорости постоянна:

.

Следовательно, трансверсальное ускорение равно нулю; т.е. притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. По формуле ( 13 ) определим радиальное ускорение

.

Таким образом, частица падает на притягивающий центр под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния.

III Проекция ускорения на естественные оси.

Естественными осями при изучении криволинейного движения на плоскости принято считать касательную и нормаль к траектории. Тангенциальная и нормальная компоненты векторов часто позволяют полнее раскрыть физический смысл рассматриваемого движения. Вводимые ниже понятия напоминают те, которыми мы пользовались в полярной системе координат, но они не зависят от выбора системы отсчёта.

Задача 11 . Движение точки в плоскости описывается в декартовых координатах как x = x ( t ), y = y ( t ). Определить проекции скорости и ускорения на естественные оси, а также радиус кривизны траектории.

Рис. 7 . Касательная и нормаль

Направим координатные оси τ и n вдоль касательной и нормали к траектории, как показано на Рис. 7 . Обозначим e_τ и e _n единичные векторы вдоль соответствующих осей. Вектор e_τ направлен вдоль скорости:

.

Формула позволяет получить удобное выражение для тангенциального ускорения. Продифференцировав её по времени, получим

.

Так как длина вектора не меняется, то направлен ортогонально к . Отсюда

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 19 )

Вектор нормали e _n ищем в виде

,

где подлежащие определению проекции a и b удовлетворяют условиям нормировки

.

Из двух решений этой системы уравнений мы выбираем такое, при котором вектор нормали направлен в сторону вогнутости траектории, как на Рис. 7 :

.

Проекция ускорения на касательную w _τ равна скалярному произведению

. ( SEQ ф \* MERGEFORMAT 20 )

Аналогично вычисляем w _n :

. ( 21 )

Перейдём к вычислению радиуса кривизны ρ траектории в данной точке. Он задаётся условием

,

где ds — смещение вдоль траектории, соответствующее изменению угла d φ . Обе эти величины на Рис. 8 считаем бесконечно малыми. Следовательно, можно пренебречь изменением абсолютной величины скорости на отрезке ds и воспользоваться известной формулой для центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности:

.

Подставляя сюда ( 21 ), приходим к

.

Радиус кривизны бесконечно велик в случае прямолинейной траектории.

Задача 12 . Точка описывает эллипс

.

Определить нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, а также радиус кривизны траектории в точках A и B Рис. 9 .

Рассматриваемое движение является частным случаем Задача 1 . Подставив ( 5 ) в ( 20 ), приходим к

.

Аналогичным путём получаем формулы для нормального ускорения

и для радиуса кривизны

.

Подставляя в них зависимость x и y от времени, получаем для точки A :

.

Задача 13 . Частица движется в плоскости по траектории r = a cosφ . В начальный момент времени φ=0, а скорость направлена перпендикулярно радиус‑вектору. Секторная скорость постоянна и равна K / 2. Определить связь между модулями v и r , а также компоненты ускорения: тангенциальную, нормальную, радиальную и трансверсальную.

При постоянном K величина v однозначно выражается уравнением траектории:

.

Здесь мы воспользовались обозначениями Задача 6 и формулой ( 15 ). Подставляя

,

приходим к следующему выражению для v 2 :

,

.

Рис. 10 . Компоненты вектора ускорения.

В интервале углов траектория представляет собой окружность радиусом a /2 с центром в точке x = a /2, y =0. На Рис. 10 показаны все четыре компоненты вектора ускорения.. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории. Воспользуемся формулой ( 19 ) Задача 11 :

. При известных значениях скорости и радиуса кривизны нормальное ускорение рассчитываем по формуле

.

Трансверсальное ускорение равно нулю. Вычисление радиальной компоненты можно упростить следующим образом. Нам известны компоненты вектора в разложении по и . Из Рис. 10 видно, что они равны cosφ и sin φ соответственно. Компонента w _ξ равна скалярному произведению векторов w и e_ξ : .Подставляя сюда полученные выше выражения для w _n и w _τ , получаем .Тело движется под действием притягивающей силы, величина которой обратно пропорциональна r 5 .

[1] Знаки a и b определяют квадрант, в котором находится гипербола.