Задача 36074 Помогите, пожалуйста, решить. Даны.
Условие
Помогите, пожалуйста, решить. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма х+у+5=0 и х-4у=0. Составить уравнения двух других сторон, если известна точка пересечения его диагоналей Р(2;-2).
Решение
Найдем точку пересечения смежных сторон
5y=-5
y=-1
x=-4
А(-1;-4)
Р-середина диагонали АС
Значит, можем найти координаты точки С
Две другие стороны параллельны данным
Запишем данные уравнения в виде уравнений с угловым коэффициентом
x+y+5=0⇒y=-x-5
k=-1
Значит уравнение параллельной стороны имеет вид
y=-x+b
Для нахождения b подставляем координаты точки С:
8=-5+b
b=13
y=-x+13
[b]x+y-13=0[/b]
x-4y=0 ⇒ y=(1/4)x
Значит уравнение параллельной стороны имеет вид
y=y=(1/4)x+b
Для нахождения b подставляем координаты точки С:
8=(1/4)*(5)+b
b=8-(5/4)=27/4
Даны уравнения двух сторон треугольника
4.1.8. Примеры решения задач по теме «Уравнение прямой на плоскости»
Даны уравнения двух сторон параллелограмма: 2Х + У + 3 = 0 и 2Х – 5У + 9 = 0 и уравнение одной из его диагоналей: 2Х – у — 3 = 0. Найти координаты вершин этого параллелограмма.
Выясните, уравнения каких сторон даны в условии задачи: параллельных или
Смежных, и как расположена данная диагональ по отношению к данным сторонам.
Выясним, уравнения каких сторон даны в условии задачи: параллельных или
Следовательно, прямые пересекаются, то есть даны уравнения смежных сторон параллелограмма.
Условие параллельности прямых
.
Пусть даны уравнения сторон АВ и AD. Тогда координаты точки А будут решением системы уравнений:
Теперь определим, уравнение какой диагонали: АС или BD – нам известно. Если это диагональ АС, то на ней лежит точка А, следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению диагонали. Проверим:
Значит, точка А не лежит на данной прямой, то есть дано уравнение диагонали BD.
Тогда вершина В лежит на прямых АВ и BD, значит, ее координаты найдем из системы:
Система уравнений для определения координат точки D составлена из уравнений прямых AD И BD:
Остается найти координаты точки С. Составим уравнения прямых ВС и DC.
Поскольку ВС параллельна AD, их угловые коэффициенты равны. Найдем угловой коэффициент прямой AD:
Тогда ВС можно задать уравнением
Найдем координаты точки С, решив систему из двух полученных уравнений:
Найти точку, симметричную точке А(2; 1) относительно прямой, проходящей через точки В(-1; 7) и С(1; 8).
Представьте себе, что вам нужно Построить искомую точку на плоскости. Последовательность действий при этом можно задать так:
1) провести прямую ВС;
2) провести через точку А прямую, перпендикулярную ВС;
3) найти точку О пересечения этих прямых и отложить на прямой АО по другую сторону прямой ВС отрезок ОА1 = АО.
Представим себе, что нам нужно Построить искомую точку на плоскости. Последовательность действий при этом можно задать так:
4) провести прямую ВС;
5) провести через точку А прямую, перпендикулярную ВС;
6) найти точку О пересечения этих прямых и отложить на прямой АО по другую сторону прямой ВС отрезок ОА1 = АО.
Тогда точка А1 будет симметричной точке А относительно прямой ВС.
Теперь заменим каждое из действий составлением уравнений и вычислением координат точек.
1) Найдем уравнение прямой ВС в виде:
2) Найдем угловой коэффициент прямой ВС:
Прямая АО Перпендикулярна прямой ВС, поэтому
Составим уравнение прямой АО:
3) Найдем координаты точки О как решение системы:
4) Точка О – середина отрезка АА1, поэтому
Найти угол между прямыми L1: 3Х – у + 5 = 0 и L2: 2Х + У – 7 = 0.
Если J – угол между прямыми L1 и L2, то J = A2 — A1, где A2 и A1 – углы, образованные прямыми L1 и L2 с положительной полуосью Ох. Тогда
Где K1 и K2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2.
Если J – угол между прямыми L1 и L2, то J = A2 — A1, где A2 и A1 – углы, образованные прямыми L1 и L2 с положительной полуосью Ох. Тогда
Где K1 и K2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2. Найдем K1 и K2: для L1
Y = 3X + 5, K1 = 3; для второй: Y = -2X + 7, K2 = -2. Следовательно,
Для прямых А1х + В1У + С1 = 0 И А2Х + В2У + С2 = 0
.
Определить, лежит ли точка М(2; 3) внутри или вне треугольника, стороны которого заданы уравнениями 4Х – у – 7 = 0, Х + 3У – 31 = 0, Х + 5У – 7 = 0.
Если точка М расположена внутри треугольника АВС, то ее отклонение δ от каждой стороны треугольника имеет тот же знак, что и для вершины, не лежащей на этой стороне, а если точка М лежит вне треугольника, то по крайней мере с одной из вершин она окажется в разных полуплоскостях относительно стороны треугольника.
Пусть первое уравнение задает сторону АВ, второе – ВС, третье – АС. Найдем координаты точек А, В и С:
Для ответа на вопрос задачи отметим, что:
1) если точка М расположена внутри треугольника АВС, то ее отклонение δ от каждой стороны треугольника имеет тот же знак, что и для вершины, не лежащей на этой стороне (т. е. точка М расположена относительно каждой стороны треугольника в одной полуплоскости с третьей вершиной);
2) если точка М лежит вне треугольника, то по крайней мере с одной из вершин она окажется в разных полуплоскостях относительно стороны треугольника (на рисунке: точки М1 и В расположены по разные стороны от прямой АС).
Составим нормальные уравнения сторон треугольника АВС:
Вычислим соответствующие отклонения:
1) для точек М и А относительно прямой ВС:
2) для точек М и В относительно прямой АС:
3) для точек М и С относительно прямой АВ:
Итак, точки М И С лежат по разные стороны от прямой АВ. Следовательно, точка М расположена вне треугольника АВС.
Ответ: Точка М расположена вне треугольника АВС.
Для треугольника АВС с вершинами А(-3; -1), В(1; 5), С(7; 3) составить уравнения медианы и высоты, выходящих из вершины В.
Составьте уравнение медианы как прямой, проходящей через точки В и М – середину стороны АС, а высоты – как прямой, проходящей через точку В и перпендикулярной стороне АС.
1) Медиана ВМ проходит через точку В и точку М – середину отрезка АС. Найдем координаты точки М:
Тогда уравнение медианы можно записать в виде:
2) Высота ВН перпендикулярна стороне АС. Составим уравнение АС:
Ответ: медиана ВМ: 4Х + У – 9 = 0; высота ВН: 5Х + 2У – 15 = 0.
Определить, при каком значении А прямая
Параллельна оси ординат. Написать уравнение прямой.
Если прямая параллельна оси ординат, то в уравнении Ах + Ву + С = 0
Если прямая параллельна оси ординат, то в уравнении Ах + Ву + С = 0
В = 0, С ≠ 0. Из условия В = 0 получаем: А2 – 1 = 0, А = ± 1.
При А = 1 С = 2 + 7 – 9 = 0 – второе условие не выполняется (получившаяся при этом прямая -4Х = 0 не параллельна оси Оу, а совпадает с ней).
При А = -1 получим: -6Х – 14 = 0, 3Х + 7 = 0.
Составить уравнения всех прямых, проходящих через точку М(2; 3) и отсекающих от координатного угла треугольник площадью 12.
Составьте уравнение искомой прямой «в отрезках»:
Где |A| и |B| — длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях. Тогда
Откуда |Ab| = 24. Кроме того, координаты точки М(2; 3) должны удовлетворять уравнению «в отрезках».
Составим уравнение искомой прямой «в отрезках»:
Где |A| и |B| — длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях. Тогда
Откуда |Ab| = 24. Кроме того, координаты точки М(2; 3) должны удовлетворять уравнению «в отрезках». Таким образом, для А и B можно составить систему уравнений:
Следовательно, условию задачи удовлетворяют три прямые:
Даны уравнения двух сторон т
Даны уравнения двух сторон параллелограмма x + 2y + 1 = 0 (AB), 2x + y — 3 = 0 (AD) и точка пересечения его диагоналей N(1, 2). Найти уравнения двух других сторон этого параллелограмма.
При решении, замечая, что данные стороны параллелограмма не параллельны, будем следовать такому плану:
1) Найдем координаты точки A пересечения данных сторон.
2) Зная координаты точек A и N, найдем координаты точки C, что мы легко сможем сделать по формуле определения координат середины отрезка.
3) Через найденную точку C проведем сначала прямую, параллельную AD, а потом прямую, параллельную AB.
4) Определим координаты точки A, как точки пересечения прямых AB и AD, и получим, что
5) Формулы для определения координат середины отрезка в данном случае запишутся так:
По этим формулам получим
Итак, точка .
6) Через точку C проведем прямую, параллельную AD, и получим, что уравнение стороны BC будет таким:
http://b4.cooksy.ru/articles/dany-uravneniya-dvuh-storon-treugolnika
http://www.pm298.ru/reshenie/ljg83.php