Даны уравнения двух сторон треугольника и высот

Даны уравнения двух сторон треугольника и высот

Даны уравнения высот треугольника 2x — 3y + 1 = 0 и x + y = 0 и координаты одной из его вершин A(1, 2). Найти уравнения сторон треугольника.

Точка A(1, 2) не принадлежит данным в условии высотам треугольника, так как ее координаты не удовлетворяют их уравнениям: и . Отсюда следует, что высоты, данные в задаче, проведены из двух других вершин треугольника B и C (см. рисунок)

Назовем их CD и BE, CD AB, BE AC. Пусть высота CD имеет уравнение x + y = 0, а уравнение высоты BE 2x — 3y + 1 = 0. Так как AC BE, то уравнение AC мы найдем из уравнения семейства прямых, перпендикулярных BE, приняв во внимание, что искомая прямая проходит через данную точку A(1, 2).

Сторона AC имеет уравнение 3x + 2y — 7 = 0. Уравнение прямой AB найдем, как уравнение прямой, проходящей через точку A(1, 2) перпендикулярно CD. Оно имеет вид

Теперь следует найти координаты точек B и C:

Уравнение стороны BC 2x + 3y + 7 = 0.

Таким образом, уравнения всех трех сторон треугольника найдены.

Даны уравнения 2х высот треугольника АВС: х+у-2=0 9х-3у-4=0, координаты вершины А (2;2), составить уравнение сторон

1. Т. к. координаты точки А не удовлетворяют ни одному из данных уравнений высот, то эти высоты проходят через точки В и С и перпендикулярны сторонам АВ и АС
2. Чтобы найти уравнения сторон АВ и АС нам достаточно найти хоть один вектор, перпендикулярный данным сторонам. Т. к. высоты перпендикулярны сторонам АВ и АС, то любой вектор, принадлежащий данной высоте перпендикулярен соответствующей стороне
3. Найдем векторы, принадлежащие прямым:
х+у-2=0 и 9х-3у-4=0
Выразим:
x = 2 — y;
y = 3x — 4/3
Чтобы найти первую точку положим х = 0:
у = 2
у = -4/3
Итак мы нашли по одной точке на каждой из высот:
(0, 2) и (0, -4/3)
Найдем еще две точки. Для этого положим у = 0:
х = 2
х = 4/9
Итак мы нашли еще две точки на данных прямых:
(2, 0) и (4/9, 0)
Найдем координаты векторов, принадлежащих данным прямым (высотам) :
N1(2,-2) и N2(4/9, 4/3)
4. Теперь у нас есть все, чтобы найти уравнения прямых АВ и АС: т. е. векторы N1 и N2, перпендикулярные этим прямым и точка А, лежащая на данных прямых.
Строим общее уравнение прямых:
АВ: 2х — 2у + K = 0
AC: 4x/9 + 4y/3 + M = 0
Чтобы найти коэффициенты К и М подставим в уравнения координаты точки А:
4 — 4 + K = 0
K = 0
8/9 + 8/3 + M = 0
M = — 32/9
Окончательно получаем уравнения прямых АВ и АС:
AB: 2x — 2y = 0
AC: 4x/9 + 4y/3 — 32/9 = 0
Упростим уравнение стороны АС умножив его на 9:
4x + 12y — 32 = 0
5. Найдем точки В и С. Точка В находится на пересечении прямых 2x + 2y — 8 = 0 и х+у-2=0.
Решая совместно систему:
2x — 2y = 0
х+у-2=0.
Получим: х = 1, у = 1
Т. е. точка В имеет координаты (1, 1)
Аналогично из системы:
4x + 12y — 32 = 0
9х — 3у — 4 = 0
Найдем координаты точки С (1.2, 2.66)
6. Найдем каноническое уравнение прямой ВС. Для этого найдем координаты вектора ВС:
ВС (0.2, 1,66)
Используя координаты точки В и координаты вектора ВС построим уравнение стороны ВС:
(x — 1)/0.2 = (y — 1)/1.66
Вот и все. Уравнения всех трех сторон найдены.
Успехов!

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $\cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.