Даны уравнения прямых содержащих высоты треугольника

Даны уравнения прямых содержащих высоты треугольника

Даны уравнения высот треугольника 2x — 3y + 1 = 0 и x + y = 0 и координаты одной из его вершин A(1, 2). Найти уравнения сторон треугольника.

Точка A(1, 2) не принадлежит данным в условии высотам треугольника, так как ее координаты не удовлетворяют их уравнениям: и . Отсюда следует, что высоты, данные в задаче, проведены из двух других вершин треугольника B и C (см. рисунок)

Назовем их CD и BE, CD AB, BE AC. Пусть высота CD имеет уравнение x + y = 0, а уравнение высоты BE 2x — 3y + 1 = 0. Так как AC BE, то уравнение AC мы найдем из уравнения семейства прямых, перпендикулярных BE, приняв во внимание, что искомая прямая проходит через данную точку A(1, 2).

Сторона AC имеет уравнение 3x + 2y — 7 = 0. Уравнение прямой AB найдем, как уравнение прямой, проходящей через точку A(1, 2) перпендикулярно CD. Оно имеет вид

Теперь следует найти координаты точек B и C:

Уравнение стороны BC 2x + 3y + 7 = 0.

Таким образом, уравнения всех трех сторон треугольника найдены.

Даны уравнения 2х высот треугольника АВС: х+у-2=0 9х-3у-4=0, координаты вершины А (2;2), составить уравнение сторон

1. Т. к. координаты точки А не удовлетворяют ни одному из данных уравнений высот, то эти высоты проходят через точки В и С и перпендикулярны сторонам АВ и АС
2. Чтобы найти уравнения сторон АВ и АС нам достаточно найти хоть один вектор, перпендикулярный данным сторонам. Т. к. высоты перпендикулярны сторонам АВ и АС, то любой вектор, принадлежащий данной высоте перпендикулярен соответствующей стороне
3. Найдем векторы, принадлежащие прямым:
х+у-2=0 и 9х-3у-4=0
Выразим:
x = 2 — y;
y = 3x — 4/3
Чтобы найти первую точку положим х = 0:
у = 2
у = -4/3
Итак мы нашли по одной точке на каждой из высот:
(0, 2) и (0, -4/3)
Найдем еще две точки. Для этого положим у = 0:
х = 2
х = 4/9
Итак мы нашли еще две точки на данных прямых:
(2, 0) и (4/9, 0)
Найдем координаты векторов, принадлежащих данным прямым (высотам) :
N1(2,-2) и N2(4/9, 4/3)
4. Теперь у нас есть все, чтобы найти уравнения прямых АВ и АС: т. е. векторы N1 и N2, перпендикулярные этим прямым и точка А, лежащая на данных прямых.
Строим общее уравнение прямых:
АВ: 2х — 2у + K = 0
AC: 4x/9 + 4y/3 + M = 0
Чтобы найти коэффициенты К и М подставим в уравнения координаты точки А:
4 — 4 + K = 0
K = 0
8/9 + 8/3 + M = 0
M = — 32/9
Окончательно получаем уравнения прямых АВ и АС:
AB: 2x — 2y = 0
AC: 4x/9 + 4y/3 — 32/9 = 0
Упростим уравнение стороны АС умножив его на 9:
4x + 12y — 32 = 0
5. Найдем точки В и С. Точка В находится на пересечении прямых 2x + 2y — 8 = 0 и х+у-2=0.
Решая совместно систему:
2x — 2y = 0
х+у-2=0.
Получим: х = 1, у = 1
Т. е. точка В имеет координаты (1, 1)
Аналогично из системы:
4x + 12y — 32 = 0
9х — 3у — 4 = 0
Найдем координаты точки С (1.2, 2.66)
6. Найдем каноническое уравнение прямой ВС. Для этого найдем координаты вектора ВС:
ВС (0.2, 1,66)
Используя координаты точки В и координаты вектора ВС построим уравнение стороны ВС:
(x — 1)/0.2 = (y — 1)/1.66
Вот и все. Уравнения всех трех сторон найдены.
Успехов!

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B: