Даны уравнения сторон треугольника доказать что треугольник равнобедренный

Помогите решить заранее спасибо Даны уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника 3x + 4y−1 = 0, x−7y−17 = 0, 7x + y + 31 = 0?

Математика | 10 — 11 классы

Помогите решить заранее спасибо Даны уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника 3x + 4y−1 = 0, x−7y−17 = 0, 7x + y + 31 = 0.

Доказать, что этот треугольник является равнобедренным.

Решение во вложении.

Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, найдите стороны треугольника вершинами которого является середины стороны данного треугольника?

Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, найдите стороны треугольника вершинами которого является середины стороны данного треугольника.

Найти углы равнобедренного треугольника, если известно, что прямая, проходящая через вершину угла при основании делит его на два треугольника, каждый из которых также является равнобедренным?

Найти углы равнобедренного треугольника, если известно, что прямая, проходящая через вершину угла при основании делит его на два треугольника, каждый из которых также является равнобедренным.

Даны два равнобедренных треугольника : АВС и АВD с общим основанием АВ?

Даны два равнобедренных треугольника : АВС и АВD с общим основанием АВ.

Докажите, что прямые АВ и CD перпендикулярны, если точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ.

Помогите пожалуйста, если не трудно можно ещё чертёж и дано !

Помогите?

Надо доказать, что треугольники АВС равнобедренные (на всех треугольниках).

Дано, что в равнобедренном треугольнике боковая сторона короче основания, а угол при вершине равен а?

Дано, что в равнобедренном треугольнике боковая сторона короче основания, а угол при вершине равен а.

Каковы возможности значения а?

Дано : треугольник abc — равнобедренный, основание — на 4см меньше боковой стороны, периметр равен 70см?

Дано : треугольник abc — равнобедренный, основание — на 4см меньше боковой стороны, периметр равен 70см.

Найдите боковую сторону.

В равнобедренном треугольнике абс точки К и М являются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно, ВD — медианна доказать что треугольник ВКD = BMD?

В равнобедренном треугольнике абс точки К и М являются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно, ВD — медианна доказать что треугольник ВКD = BMD.

Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие 21см и 9смплиз решитезаранее спасибо : )?

Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие 21см и 9см

Доказать что если биссектриса треугольника является его высотой то треугольник равнобедренный?

Доказать что если биссектриса треугольника является его высотой то треугольник равнобедренный.

По данным рисункам напишите уравнение прямых на которых лежат стороны треугольника А В С?

По данным рисункам напишите уравнение прямых на которых лежат стороны треугольника А В С.

Вы перешли к вопросу Помогите решить заранее спасибо Даны уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника 3x + 4y−1 = 0, x−7y−17 = 0, 7x + y + 31 = 0?. Он относится к категории Математика, для 10 — 11 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Математика. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Даны уравнения 2х высот треугольника АВС: х+у-2=0 9х-3у-4=0, координаты вершины А (2;2), составить уравнение сторон

1. Т. к. координаты точки А не удовлетворяют ни одному из данных уравнений высот, то эти высоты проходят через точки В и С и перпендикулярны сторонам АВ и АС
2. Чтобы найти уравнения сторон АВ и АС нам достаточно найти хоть один вектор, перпендикулярный данным сторонам. Т. к. высоты перпендикулярны сторонам АВ и АС, то любой вектор, принадлежащий данной высоте перпендикулярен соответствующей стороне
3. Найдем векторы, принадлежащие прямым:
х+у-2=0 и 9х-3у-4=0
Выразим:
x = 2 — y;
y = 3x — 4/3
Чтобы найти первую точку положим х = 0:
у = 2
у = -4/3
Итак мы нашли по одной точке на каждой из высот:
(0, 2) и (0, -4/3)
Найдем еще две точки. Для этого положим у = 0:
х = 2
х = 4/9
Итак мы нашли еще две точки на данных прямых:
(2, 0) и (4/9, 0)
Найдем координаты векторов, принадлежащих данным прямым (высотам) :
N1(2,-2) и N2(4/9, 4/3)
4. Теперь у нас есть все, чтобы найти уравнения прямых АВ и АС: т. е. векторы N1 и N2, перпендикулярные этим прямым и точка А, лежащая на данных прямых.
Строим общее уравнение прямых:
АВ: 2х — 2у + K = 0
AC: 4x/9 + 4y/3 + M = 0
Чтобы найти коэффициенты К и М подставим в уравнения координаты точки А:
4 — 4 + K = 0
K = 0
8/9 + 8/3 + M = 0
M = — 32/9
Окончательно получаем уравнения прямых АВ и АС:
AB: 2x — 2y = 0
AC: 4x/9 + 4y/3 — 32/9 = 0
Упростим уравнение стороны АС умножив его на 9:
4x + 12y — 32 = 0
5. Найдем точки В и С. Точка В находится на пересечении прямых 2x + 2y — 8 = 0 и х+у-2=0.
Решая совместно систему:
2x — 2y = 0
х+у-2=0.
Получим: х = 1, у = 1
Т. е. точка В имеет координаты (1, 1)
Аналогично из системы:
4x + 12y — 32 = 0
9х — 3у — 4 = 0
Найдем координаты точки С (1.2, 2.66)
6. Найдем каноническое уравнение прямой ВС. Для этого найдем координаты вектора ВС:
ВС (0.2, 1,66)
Используя координаты точки В и координаты вектора ВС построим уравнение стороны ВС:
(x — 1)/0.2 = (y — 1)/1.66
Вот и все. Уравнения всех трех сторон найдены.
Успехов!

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.