Даны вершины треугольника найти уравнение высоты

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Уравнение высоты треугольника по координатам его вершин

Чтобы составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин нужно:

1. Составить уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника:

Так как высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону, то угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны записанной выше пропорцией.

Уравнение высоты треугольника по координатам его вершин

Составить уравнение высоты треугольника. Пример

Дан треугольник АВС. Вершины треугольника имеют следующие координаты:

На сторону АС опущена высота ВН.

Составить уравнение высоты ВН.

Пример на составление уравнения высоты треугольника

Шаг 1

Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С.

Для этого воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом:

Подставим в это уравнение координаты точек А и С:

Уравнение стороны АС имеет вид:

Составить уравнение высоты треугольника. Шаг 1

Шаг 2

Так как прямые АС и ВН перпендикулярны, то, зная угловой коэффициент прямой АС, можем составить уравнение прямой ВН с угловым коэффициентом.

Итак, угловой коэффициент АС равен:

Отсюда, угловой коэффициент ВН будет равен:

Теперь можем записать уравнение высоты ВН:

Точка В(2,4) лежит на прямой ВН, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой ВН:

Таким образом, уравнение высоты ВН имеет вид:

Составить уравнение высоты треугольника. Шаг 2

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.