Дайте определение дифференциального уравнения второго порядка

10.1. Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия теории

Определение 1. Дифференциальным уравнением Второго по­рядка называется уравнение вида

Где Х — независимая переменная, У — искомая функция, У’ и У» — соответственно ее первая и вторая производные.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:

Как и в случае уравнения первого порядка, решением урав­нения (10.1) называется функция У = φ(X), определенная на некотором интервале (А, B), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется Интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности реше­ния уравнения второго порядка.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у’) и ее частные производные и , непрерывны в некоторой обла­сти D пространства переменных (x, у, у’). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у’0) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее ус­ловиям:

Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (X0, Y0) на координатной плоскости Оху проходит Единствен­ная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом Y0‘ касательной (рис. 10.1).

Условия (10.3) называются Начальными условиями, а зада­чу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным началь­ным условиям называют Задачей Коши.

Общим решением уравнения (10.2) в некоторой области D Называется функция У = φ(х, С1, С2), если она является реше­нием этого уравнения при любых постоянных величинах С1 и C2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением Уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С1 и C2: У = φ(х, С10, С20).

Рассмотрим для пояснения уравнение У» = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:

Где С1 и C2 — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy Проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку (х0, y0), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Т. е. нужно найти прямую, проходящую через точку M (l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка на­чальных условий в общее решение уравнения приводит к сис­теме двух линейных уравнений относительно постоянных С1 и C2

Откуда С1 = 1, C2 = 1. Таким образом, искомое частное реше­ние — это прямая У = х + 1.

Основные понятия и определения дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные , т. е. уравнение вида

Если искомая функция есть функция одной независимой переменной , дифференциальное уравнение называется обыкновенным ; например,

Когда искомая функция есть функция двух и более независимых переменных, например, если , то уравнение вида

называется уравнением в частных производных. Здесь — неотрицательные целые числа, такие, что ; например

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение , где — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение — уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале называется функция , определенная на интервале вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на . Например, функция является решением уравнения на интервале . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

Подставляя выражения и в дифференциальное уравнение, получим тождество

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Общий вид уравнения первого порядка

Если уравнение (1) удается разрешить относительно , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию (другая запись ).

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскости (рис. 1).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Пусть дано дифференциальное уравнение , где функция определена в некоторой области плоскости , содержащей точку . Если функция удовлетворяет условиям

а) есть непрерывная функция двух переменных и в области ;

б) имеет частную производную , ограниченную в области , то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения , но эти условия не являются необходимыми . Именно, может существовать единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию , хотя в точке не выполняются условия а) или б) или оба вместе.

1. . Здесь . В точках оси условия а) и б) не выполняются (функция и её частная производная разрывны на оси и неограниченны при ), но через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая (рис. 2).

2. . Правая часть уравнения и ее частная производная непрерывны по и во всех точках плоскости . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость .

3. . Правая часть уравнения определена и непрерывна во всех точках плоскости . Частная производная обращается в бесконечность при , т.е. на оси , так что при нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение . Таким образом, через каждую точку оси проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).

Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол и отрезков оси , например, и др., так что через каждую точку оси проходит бесконечное множество интегральных линий.

Условие Липшица

Замечание. Условие ограниченности производной , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .

Говорят, что функция , определенная в некоторой области , удовлетворяет в условию Липшица по , если существует такая постоянная ( постоянная Липшица ), что для любых из и любого из справедливо неравенство

Существование в области ограниченной производной достаточно для того, чтобы функция удовлетворяла в условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения функция не дифференцируема по в точке , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,

поскольку а . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной .

Теорема. Если функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по в области , то задача Коши

имеет единственное решение.

Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение

Нетрудно видеть, что функция непрерывна; с другой стороны,

и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат , так как множитель при оказывается неограниченным при .

Данное дифференциальное уравнение допускает решение где — произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию

Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция

зависящая от одной произвольной постоянной , и такая, что

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной ;

2) каково бы ни было начальное условие

можно подобрать такое значение постоянной , что решение будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной .

Пример 1. Проверить, что функция есть общее решение дифференциального уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Дать геометрическое истолкование результата.

Решение. Функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной . В самом деле,

Зададим произвольное начальное условие . Полагая и в равенстве , найдем, что . Подставив это значение в данную функцию, будем иметь . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив , получим . Итак, функция является общим решением данного уравнения.

В частности, полагая и , получим частное решение .

Общее решение данного уравнения, т.е. функция , определяет в плоскости семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом . Через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная линия . Частное решение определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).

Пример 2. Проверить, что функция есть общее решение уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Имеем . Подставляя в данное уравнение выражения и , получаем , т. е. функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной .

Зададим произвольное начальное условие . Подставив и вместо и в функцию , будем иметь , откуда . Функция удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая , получим . Функция есть общее решение данного уравнения.

При и получим частное решение .

С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку (рис.5).

Соотношение вида , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.

Так как с геометрической точки зрения координаты и равноправны, то наряду с уравнением мы будем рассматривать уравнение .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Данная статья раскрывает смысл нахождения и алгоритм для общего решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с подробным просмотром их решений.

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , неоднородное — y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) . F ( x ) , p ( x ) и q ( x ) являются функциями, которые непрерывны из интервала интегрирования x . Частным случаем принято считать p ( x ) = p и q ( x ) = q , то есть при наличии постоянных в записи функции.

Нахождение общего решения линейных дифференциальных уравнений

Общее решение y 0 для линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 из интервала x при наличии постоянных коэффициентов f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) , располагаемых на x , считают линейную комбинацию n линейно независимых частных решений ЛОДУ y j , j = 1 , 2 , . . . , n , где имеются произвольные коэффициенты C j , j = 1 , 2 , . . . , n , то есть y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j .

Общим решением y для линейного неоднородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) из интервала x при наличии коэффициентов f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и функции f ( x ) является сумма вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 , где y

считается одним из общих решений ЛНДУ.

Отсюда следует, что

• выражение y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 считается общим решением дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , а y 1 и y 2 считаются линейно независимыми частными решениями;
• y = y 0 + y

обозначают в качестве общего решения уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) , где y

принимает одно из любых частных решений, y 0 соответствует общему решению ЛОДУ.

После чего необходимо находить y 1 , y 2 и y

Если функции простые, то применяется метод подбора.

Линейно независимые функции y 1 и y 2 находятся из

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 · x , e k 2 · x , . . . , e k n · x 3 ) e k 1 · x , x · e k 1 · x , . . . , x n 1 · e k 1 · x , e k 2 · x , x · e k 2 · x , . . . , x n 2 · e k 2 · x , . . . e k p · x , x · e k p · x , . . . , x n p · e k p · x .

Линейную независимость проверяют определителем Вронского вида W ( x ) = y 1 ( x ) y 2 ( x ) y 1 ‘ ( x ) y 2 ‘ ( x ) . Когда функции располагаются на интервале х , тогда такой определитель не равен 0 на заданном промежутке.

Когда имеются функции вида y 1 = 1 и y 2 = x , где x принадлежит множеству действительных чисел, то W ( x ) = 1 x 1 ‘ x ‘ = 1 x 0 1 = 1 ≠ 0 ∀ x ∈ R .

Функции вида y 1 = sin x и y 2 = cos x считаются линейно независимы на области действительных чисел, потому как W ( x ) = sin x cos x ( sin x ) ‘ ( cos x ) ‘ = sin x cos x cos x — sin x = = — sin 2 x — cos 2 x = — 1 ≠ 0 ∀ x ∈ R

Функции y 1 = — x — 1 и y 2 = x + 1 считаются линейно независимыми из интервала ( — ∞ ; + ∞ )

W ( x ) = — x — 1 x + 1 — x — 1 ‘ ( x + 1 ) ‘ = — x — 1 x + 1 — 1 1 = = — x — 1 + x + 1 = 0 ∀ x ∈ R

Не всегда можно подобрать y 1 , y 2 , y

. Поэтому следует использовать другой метод. При наличии ненулевого частного решения y 1 ЛОДУ второго порядка y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) , тогда общее решение находится понижением степени и подстановкой y = y 1 · ∫ u ( x ) d x .

Найти общее решение уравнение вида y » — y ‘ + y x = 0 .

Решение

Частное решение записывается как y 1 = x для дифференциального уравнения y » — y ‘ + y x = 0 , когда x не равен 0 . Необходимо перейти к понижению степени при помощи постановки. Тогда получим уравнение вида y = y 1 · ∫ u ( x ) d x = x · ∫ u ( x ) d x , а итоговое значение примет вид интеграла ∫ u ( x ) d x = y x .

По правилу дифференцирования произведения и свойству неопределенного интеграла получаем выражение вида

y ‘ = x · ∫ u ( x ) d x ‘ = x ‘ · ∫ u ( x ) d x + x · ∫ u ( x ) d x ‘ = = ∫ u ( x ) d x + x · u ( x ) = y x + x · u ( x ) y » = ∫ u ( x ) d x + x · u ( x ) ‘ = ∫ u ( x ) d x ‘ + x ‘ · u ( x ) + x · u ‘ ( x ) = = 2 u ( x ) + x · u ‘ ( x )

Производим подстановку в исходное выражение. Запишем равенство вида:

y » — y ‘ + y x = 0 ⇔ 2 u + x · u ‘ — y x — x · u + y x = 0 ⇔ 2 u + x · u ‘ — x · u = 0 ⇔ x · d u d x + u · — x + 2 = 0 ⇔ d u u = 1 — 2 x d x , u = 0

Интегрируем обе части выражения и получаем, что ln u + C 1 = x — 2 ln x + C 2 ⇔ ln u = x + ln 1 x 2 + C 2 — C 1 . Переходим к записи общего вида выражения. Тогда она примет вид u = C · e x x 2 с C являющейся произвольной постоянной.

Ответ: из выражения y = x · ∫ u d x очевидно, что общее решение заданного ЛОДУ примет вид y = x · C · ∫ e x x 2 d x = x · C · ( F ( x ) + C 3 ) , когда F ( x ) считается одной из первообразных функции e x x 2 .

Для решения неоднородного дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) нужно подбирать y

, если возможно найти y 1 и y 2 . Поиск общего решения производится при помощи метода вариации произвольных постоянных.

В таком случаем ЛОДУ принимает вид y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 . Преобразовывая произвольные постоянные для общего решения, ЛНДУ принимает вид y 0 = C 1 ( x ) ⋅ y 1 + C 2 ( x ) ⋅ y 2 , где производные неизвестных функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) можно определить из системы вида C 1 ‘ ( x ) · y 1 + C 2 ‘ ( x ) · y 2 = 0 C 1 ‘ ( x ) · y 1 ‘ + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ = f ( x ) , а получение самих функций производится путем интегрирования.

Найти общее решение уравнения y » — y = 2 x .

Решение

Для решения необходимо обратить внимание на его частные решения. Для ЛОДУ y » — y = 0 они являются y 1 = e — x и y 2 = e x , то есть выражение вида y 0 = C 1 · e — x + C 2 · e x . Изменяя постоянные, общее решение получит вид

y = C 1 ( x ) · e — x + C 2 ( x ) · e x .

Необходимо составить систему линейных уравнений и решить

C 1 ‘ ( x ) · y 1 + C 2 ‘ ( x ) · y 2 = 0 C 1 ‘ ( x ) · y 1 ‘ + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ = f ( x ) ⇔ C 1 ‘ ( x ) · e — x + C 2 ‘ ( x ) · e x = 0 — C 1 ‘ ( x ) · e — x + C 2 ‘ ( x ) · e x = 2 x

Чтобы разрешить ее, следует применить метод Крамера. Тогда

∆ = e — x e x — e — x e x = e — x · e x + e — x · e x = 2 ∆ C 1 ‘ ( x ) = 0 e x 2 x e x = — ( 2 e ) x ⇒ C 1 ‘ ( x ) = ∆ C 1 ‘ ( x ) ∆ = — 1 2 · 2 e x ∆ C 2 ‘ ( x ) = e — x 0 — e — x 2 x = 2 e x ⇒ C 2 ‘ = ∆ C 2 ‘ ( x ) ∆ = 1 2 · 2 e x

После интегрирования полученных выражений для того, чтобы найти C 1 ( x ) и C 2 ( x ) , запишем, что

C 1 ( x ) = — 1 2 · ∫ ( 2 e ) x d x = — 1 2 · ( 2 e ) x ln ( 2 e ) + C 3 = = — 1 2 · ( 2 e ) x ln 2 + 1 + C 3 C 2 ( x ) = 1 2 · ∫ 2 e x d x = 1 2 · 1 ln 2 e · 2 e x + C 4 = = 1 2 · 1 ln 2 — 1 · 2 e x + C 4

Ответ: общим решением для заданного уравнения получим уравнение вида

y = — 1 2 · ( 2 e ) x ln 2 + 1 + C 3 · e — x + 1 2 · 1 ln 2 — 1 · 2 e x + C 4 · e x .

Итоги

• Поиск общего решения ЛОДУ 2 порядка y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 выполняется из y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 считаются линейно независимыми частными решениями. Для подбора частных решений y 1 и y 2 чаще всего начинается с нахождения общего дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 . Когда подбор невозможен, тогда производится снижение порядка с помощью замены y = y 1 · ∫ u ( x ) d x , причем его решение приведет к общему виду ЛОДУ второго прядка.
• Поиск общего решения ЛНДУ 2 порядка вида y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) производится с помощью y = y 0 + y

является любым частным решением, а y 0 считают в качестве общего решения ЛОДУ. Нахождение y 0 _, то есть общего дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , производится первоначально. После чего производится подбор y

. Если необходимо, то в начале производится подбор y 1 и y 2 для определения общего решения ЛНДУ с помощью применения метода вариации произвольных постоянных.