Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Определения и методы решений
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
,
где p и q – функции переменной x .
Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.
Член q ( x ) называется неоднородной частью уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:
Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя
Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим обе части исходного уравнения (1) на интегрирующий множитель
:
(2)
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:
По правилу дифференцирования сложной функции:
По правилу дифференцирования произведения:
Подставляем в (2):
Интегрируем:
Умножаем на . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
Разделим обе части исходного уравнения на x :
(i) .
Тогда
;
.
Интегрирующий множитель:
Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1 ).
Умножим (i) на x 3 :
.
Выделяем производную.
;
.
Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
.
Делим на x 3 :
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-07-2012 Изменено: 25-02-2015
Линейные уравнения первого порядка
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений вида y’+y=b(x) .
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Теорема. Пусть a1(x) , a0(x) , b(x) непрерывны на отрезке [α,β], a1≠0 для ∀x∈[α,β]. Тогда для любой точки (x0, y0), x0∈[α,β], существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию y(x0) = y0 и определенное на всем интервале [α,β].
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение a1(x)y’+a0(x)y=0 .
Разделяя переменные, получаем , или, интегрируя обе части, Последнее соотношение, с учетом обозначения exp(x) = e x , записывается в форме
Попытаемся теперь найти решение уравнения в указанном виде, в котором вместо константы C подставлена функция C(x) то есть в виде
Подставив это решение в исходное, после необходимых преобразований получаем Интегрируя последнее, имеем
где C1— некоторая новая константа. Подставляя полученное выражение для C(x), окончательно получаем решение исходного линейного уравнения
.
Описанный метод решения называется методом Лагранжа или методом вариации произвольной постоянной (см. также Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений).
Пример . Решить уравнение y’ + 2y = 4x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y’ + 2y = 0 . Решая его, получаем y = Ce -2 x . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде y = C(x)e -2 x . Подставляя y и y’ = C'(x)e -2 x — 2C(x)e -2 x в исходное уравнение, имеем C'(x) = 4xe 2 x , откуда C(x) = 2xe 2 x — e 2 x + C1 и y(x) = (2xe 2 x — e 2 x + C1)e -2 x = 2x — 1 + C1e -2 x — общее решение исходного уравнения. В этом решении y1(x) = 2x-1 — движение объекта под действием силы b(x) = 4x, y2(x) = C1e -2 x -собственное движение объекта.
Пример №2 . Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y’+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u•v, y’ = u’v + uv’.
3u v tg(3x)+u v’+u’ v = 2cos(3x)/sin 2 2x или u(3v tg(3x)+v’) + u’ v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Решение состоит из двух этапов:
1. u(3v tg(3x)+v’) = 0
2. u’v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Приравниваем u=0, находим решение для 3v tg(3x)+v’ = 0
Представим в виде: v’ = -3v tg(3x)
Интегирируя, получаем:
ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Зная v, Находим u из условия: u’v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u’ cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u’ = 2/sin 2 2x
Интегирируя, получаем:
Из условия y=u•v, получаем:
y = u•v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) или y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.
Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков:
,
где и — непрерывные функции от x.
Как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?
Интегрирование такого уравнения можно свести к интегрированию двух двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Великие математики доказали, что нужную функцию, то есть решение уравнения, можно представить в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x). Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций
и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид
. (*)
Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:
,
то есть в качестве функции v берётся одно из частных решений этого уравнения с разделяющимися переменными, отличное от нуля. Разделяя в уравнении переменные и выполняя затем его почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v — решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт
.
Таким образом, для нахождения функции u получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдём функцию u как общее решение этого уравнения.
Теперь можем найти решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций u и v, т. е. y = uv. u и v уже нашли.
Пример 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. Как было показано в алгоритме, y = uv. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
и, интегрируя находим u:
Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Как видим, всё решение выполняется точным следованием алгоритму, приведённому в начале статьи. Меняются лишь виды функций в уравнениях. Степени, корни, экспоненты и т.д. Это чтобы алгоритм отпечатался в памяти и был готов к разным случаям, которые только могут быть на контрольной и экзамене. А кому стало скучно, наберитесь терпения: впереди ещё примеры с интегрированием по частям!
Важное замечание. При решении заданий не обойтись без преобразований выражений. Для этого требуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Пример 2. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
.
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:
и, интегрируя находим u:
Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
В следующем примере — обещанная экспонента.
Пример 3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находимu:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Любители острых ощущений дождались примера с интегрированием по частям. Таков следующий пример.
Пример 4. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. В этом случае сначала нужно добиться, чтобы производная «игрека» ни на что не умножалась. Для этого поделим уравнение почленно на «икс» и получим
.
Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируем по частям.
В интеграле , .
Тогда .
Интегрируем и находим u:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
И уж совсем странной статья о дифференциальных уравнениях была бы без примера с тригонометрическими функциями.
Пример 5. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
В последних двух примерах требуется найти частное решение уравнения.
Пример 6. Найти частное решение линейного дифференциальное уравнение первого порядка
при условии .
Решение. Чтобы производная «игрека» ни на что не умножалась, разделим уравнение почленно на и получим
.
Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:
Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Пример 7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
при условии .
Перенесём функцию «игрека» в левую часть и получим
.
Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:
.
Первый интеграл равен , второй находим интегрированием по частям.
В нём , .
Тогда , .
Находим второй интеграл:
.
В результате получаем функцию u:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:
Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Выводы. Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка достаточно однозначен. Трудности чаще всего возникают при интегрировании и это означает, что следует повторить этот обширный раздел математического анализа. Кроме того, что особенно видно из примеров ближе к концу статьи, очень важно владеть приёмами действий со степенями и дробями, а это школьные темы, и если они подзабыты, то их тоже следует повторить. Совсем простых «демо»-примеров ждать на контрольной и на экзамене не стоит.
http://math.semestr.ru/math/lec_diffur_5.php
http://function-x.ru/differential_equations4.html