Декартовым уравнением линии p2 9sin2 является

Задача 54737 построить кривую заданную уравнением в.

Условие

построить кривую заданную уравнением в полярной системе координат p=2sin2фи

Решение

Полярная система координат задается точкой отсчета О и лучом
( см. рис.)

Луч вращается на 360 ^(o) и заполняет всю координатную плоскость
хОу
Координатами в полярной системе координат являются угол φ и расстояние p

Так как расстояние p≥ 0, то и

sin 2φ ≥ 0 ⇒ 0 +2πk ≤ 2φ≤ π+2πk , k ∈ Z ⇒ 0 +πk ≤ φ≤ (π/2)+πk , k ∈ Z

Рассматриваем один оборот и поэтому
г рафик расположен на участках от 0^(o) до 90^(o) и от 180^(o) до 270^(o)

(φ в первой и в третьей четверти координатной плоскости хОу).

φ =10^(o) ⇒ p=2*sin20^(o)=2*(0,34) ≈ 0,7
Откладываем отрезок длины 1 на луче в 10^(o)
Получаем точку A

φ =15^(o) ⇒ p=2*sin30^(o)=2*(1/2)=1
Откладываем отрезок длины 1 на луче в 15^(o)
Получаем точку B

φ =22,5^(o) ⇒ p=2*sin45^(o)=2*(sqrt(2)/2)=sqrt(2)
Откладываем отрезок длины sqrt(2) на луче в 22,5^(o)

φ =30^(o) ⇒ p=2*sin60^(o)=2*(sqrt(3)/2)=sqrt(3)
Откладываем отрезок длины sqrt(3) на луче в 30^(o)

φ =45^(o) ⇒ p=2*sin90^(o)=2
Откладываем отрезок длины 2 на луче в 45^(o)
Получаем точку C

φ =60^(o) ⇒ p=2*sin120^(o)=2*(sqrt(3)/2)=sqrt(3)
Откладываем отрезок длины а*sqrt(3) на луче в 60^(o)
Получаем точку D

φ =75^(o) ⇒ p=2*sin150^(o)=2*(1/2)=1
Откладываем отрезок длины 1 на луче в 75^(o)
Получаем точку F

φ =90^(o) ⇒ p=2*sin180^(o)=0
Откладываем отрезок длины 0 на луче в 90^(o)
Получаем точку O

Cоединяем точки плавной линией, получаем лепесток в первой четверти системы координат хОу

Построить график в полярных координатах на плоскости

Данный калькулятор поможет построить график и кривые на плоскости в полярных координатах.
Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом.
Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым лучом, или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат, или полюсом.

Примеры уравнений кривых в полярных координатах:
R=2*(1-cos theta) — кардиоида;
R=2*sin(4*theta) — полярная роза;
R=2+sin(3* theta) — трохоида;
R=9/(4-5*cos theta) — гипербола.

Траектория и уравнения движения точки

Траектория и уравнения движения точки

• Уравнение движения для локуса и точек 1°.Основные понятия. Траекторией точки называется линия, описываемая точкой движения в пространстве. Траектории могут быть плоскими или пространственными кривыми. Движение точки определяется установлением закона движения. Закон движения точек (уравнения) устанавливает зависимость расположения точек во временном пространстве.

Движение точки M в фиксированной системе координат xyz определяется установкой 3 функций (рис.3.1). * = / > ( ’). J’ = / *( Людмила Фирмаль

Создайте уравнение движения для точки N в декартовой системе координат. Найдите уравнение его орбиты. Определяет полный 1-кратный поворот точки N и точку, в которой координаты обеих точек равны. The solution. To составьте уравнение движения точки N, необходимо представить ее координаты в виде функции времени. Из рисунка найдите координату x в точке N. Х = О с COS Людмила Фирмаль

Затем по координатам определяется максимальное отклонение точки м от центра колебаний О. МПМ = а ХІ =-а. Величина a называется амплитудой колебаний, kt — (- (J называется фазой колебаний, ap-начальной фазой колебаний. Определите период колебаний, то есть время, в течение которого точки совершают 1 полное колебание, то есть возвращаются в исходное положение с той же скоростью и величиной. Обозначим период буквой Т и найдем его значение из условия, что приращение фазы колебаний за это время равно 2π. Иначе говоря

Задача 3.4.Точки перемещаются в соответствии с уравнением. x = A cos(kt-e), (1） г = Б, потому что КТ(2） Определите уравнение траектории движения точки. Как изменяется локус точек при увеличении разности фаз£от 0 до 2r? The solution. To найдя уравнение орбиты точки в явном виде, нужно исключить время из уравнения motion. To для этого сначала преобразуем уравнение движения. х = а соѕ(т-е)= а [потому что КТ потому что£-(- КТ грех грех ЭЖ.(3） решая уравнения (2) и (3) для cos kt и sin kt, получим: Х г — г соз£ а б. Преступление. потому что КТ =£о грех КТ = Добавьте эти уравнения, возведя их в квадрат. г, (т -£»»’) ’ 1 Б% ’ °1 (4） Sin2 е

Или в конце： — В + М — ^^ ко ^ грех ’、 уравнение (4) для любого значения e является уравнением эллипса. Из этого уравнения максимальные и минимальные значения являются Параметры±соответственно. a для x и zt b для y. таким образом, во всех случаях эллипс вписывается в прямоугольники со сторонами 2a и 2b. измените значение от 0 до 2ir. если e = 0, то выражение(4) принимает вид:

Так, если фазы обеих составляющих колебаний перпендикулярны друг другу, то эллипс вырождается в 2 совпадающие прямые, являющиеся диагоналями прямоугольника(рис. в коса -> -= учитывая it_y = 0, горизонтальная дальность полета I определяется из орбитального уравнения (4).

log A x cos2 a следовательно 2 значения x\ Т / л грех 2а х0 = 0, ХН = 1 = 8. Первое значение соответствует первому моменту (моменту отправления точки), А второе определяет горизонтальное расстояние. Сравнивая значения /и 5, можно сделать вывод, что/ = 2s, то есть точки достигают наивысшего положения в диапазоне горизонтальной половины. Итак, положение точки в пространстве в этой точке.

Уравнение (1) представляет собой параметрическое уравнение траектории a point. To найдя уравнение орбиты точки в координатной форме, нужно исключить время из уравнения(1) и получить форму зависимости. БФ,(Ци, г)= 0, 9а, КР, з)= 0. Комбинация этих 2 уравнений определяет кривую, по которой перемещаются точки. Есть и другие способы указать движение points. In векторным методом, определяющим законы движения, радиус-вектор r движущейся точки M (рис.3.1) задается как функция времени r = r (t).Связь между радиус-вектором r и Декартовыми координатами точки представлена уравнением Р = ХІ * \ — ый + ЗК. (2 ） Где i, j и k-единичные векторы (единичные векторы) осей. (2)

Если вы получаете x, y> z, текущие координаты точки A4, как определено y. уравнение(1), то (2) x Дайте закон движения точек в векторной форме. 3-й способ задания движения точек называется natural. In в этом случае движение точек определяется уравнением а = /( (). Сферические и цилиндрические координаты часто используются для изучения движения точки в пространстве. Сферическими координатами точки M (рис.3.4) являются расстояние r точки M от неподвижного центра O, угол φ (угол поворота плоскости zOM относительно неподвижной плоскости xOz) и угол ？ =?(’) * (5 *）

Уравнение движения для цилиндрических координат： р = п(о> т = м р = РЗ). (си *） м г Так… 1. Рисунок 3.4. Да. Чтобы перейти от сферических координат к декартовым, используйте следующую формулу:> х = р с с COS

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института