Деление многочленов столбиком
Алгоритм деления в столбик применяется в частности при нахождении интегралов.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Пример деления в столбик . Найти частное деления и остаток многочлена:
№1.
x 3 -12x 2 -42 | x -3 |
x 3 -3x 2 | x 2 |
-9x 2 -42 |
№2.
x 3 -12x 2 -42 | x -3 |
x 3 -3x 2 | x 2 -9x |
-9x 2 -42 | |
-9x 2 + 27x | |
-27x -42 |
№3.
x 3 -12x 2 -42 | x -3 |
x 3 -3x 2 | x 2 -9x -27 |
-9x 2 -42 | |
-9x 2 + 27x | |
-27x -42 | |
-27x + 81 | |
-123 |
Целая часть: x 2 -9x -27
Остаток: -123
Таким образом, ответ можно записать как:
см. также и другие примеры решение столбиком.
Пример №1 . Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен:
P(x)=2x 5 +3x 3 -x 2 +4x+1, Q(x)=2x 2 -x+1
Пример №2 . Не производя деление найти остаток от деления многочлена на двучлен:
P(x)=-x 4 +6x 3 -2x 2 +x-2, Q(x)=x-6
Решение. Выделим общий множитель (x-6).
-x 3 (x-6)-2x(x-6)-12x+x-2 = -x 3 (x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-66-2 = -x 3 (x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-68
Остаток от деления: -68/(x-6)
Решение уравнения с помощью понижения степени. Деление многочлена на многочлен столбиком
Деление многочлена на многочлен столбиком
Для решения уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) — многочлен степени n>2, часто применяют метод понижения степени. Он основывается на таком факте: если число x=b является корнем многочлена P(x), то есть P(b)=0, то многочлен P(x) делится без остатка на двучлен x-b.
После того, как мы разделим многочлен P(x) степени n на двучлен x-b, то мы получим многочлен степени n-1, то есть на единицу меньшей исходного. И дальше процедуру можно повторить.
Если старший коэффициент многочлена P(x) равен 1, то корни многочлена P(x) мы ищем среди делителей свободного члена.
Решим уравнение
Свободный член многочлена в левой части уравнения равен 10.
Делители числа 10: 1; 2; 5; 10.
Проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем многочлена. Для этого последовательно подставим эти значения вместо х в многочлен.
является корнями многочлена , и он делится на двучлены и без остатка.
Разделим многочлен на двучлен x-2 столбиком:
Деление многочленов онлайн
Онлайн калькулятор осуществляет деление многочленов двумя различными способами: делением в столбик и методом неопределенных коэффициентов. Для работы калькулятора введите исходные данные своей задачи.
Осуществить деление многочлена
методом деления в столбик.
Метод деления в столбик рассмотрим на следующем примере. Пусть нам требуется разделить многочлен
Сразу необходимо отметить, что:
деление многочленов возможно только в том случае, если степень многочлена делимого больше или равна степени многочлена делителя.
В нашем случае указанное условие выполняется т.к. степень многочлена делимого равна трём, а степень многочлена делителя — двум.
Чтобы осуществить деление многочленов, запишем многочлен делимое слева от вертикальной черты, а многочлен делитель — справа:
Далее, разделим слагаемое со старшей степенью многочлена делителя на слагаемое со старшей степенью многочлена делимого :
Запишем полученный результат (частное от деления) справа под чертой:
Теперь, умножаем на многочлен делитель , получаем:
Записываем полученный результат слева под многочленом делимым:
Вычитаем из многочлена делимого полученный результат:
Записываем полученный многочлен в столбик:
Далее, процедура повторяется, т.е. мы делим слагаемое со старшей степенью полученного многочлена ( ) на слагаемое со старшей степенью многочлена делителя ( ), и т.д., в результате получаем:
Процесс деления останавливается, когда степень многочлена остатка меньше степени многочлена делителя. Это условие описано выше.
Записываем полученный результат следующим образом. Сначала записываем частное (многочлен справа под чертой) равное , затем прибавляем к нему дробь, числителем которой является многочлен остаток равный (тот многочлен, который остался после всех вычитаний слева снизу в столбике) а знаменателем — многочлен делитель . В результате получаем:
Другим способом деления многочленов является метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим его на том же самом примере. В общем случае, результат деления многочленов можно записать в следующем виде:
где — многочлен частное, степень которого равна разности степеней многочлена делимого и многочлена делителя, т.е. в нашем случае — единице. — многочлен остаток, степень которого не больше степени многочлена делителя, т.е. в нашем случае — не больше единице.
Теперь, запишем многочлен в общем виде:
— неизвестные пока коэффициенты.
Тоже самое для многочлена :
— неизвестные пока коэффициенты.
Таким образом, получаем следующее равенство:
Итак, нам нужно определить неизвестные коэффициенты и . Для этого домножаем обе части приведенного выше равенства на знаменатель — многочлен делитель , получаем:
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые:
Для того, чтобы сохранить верное равенство, нам нужно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях . В результате получаем следующую систему линейных уравнений:
В результате решения этой системы, получаем следующие значения коэффициентов:
Подставляем значения полученных коэффициентов и исходное равенство:
Как видно, данный результат полностью совпадает с результатом, полученным методом деления в столбик.
Другие полезные разделы:
Оставить свой комментарий:
Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме
http://ege-ok.ru/2012/08/29/delenie-mnogochlena-na-mnogochlen-stolbikom
http://mathforyou.net/online/polynomials/division/