Действительные числа рациональные уравнения и неравенства работа

Действительные числа рациональные уравнения и неравенства работа

СОДЕРЖАНИЕ

3

Введение …………………………………………………………………………………….
Алгебра и начала анализа
Зачетный раздел № 1. Действительные числа. Рациональные уравнения и неравенства ……. 4
Понятие действительного числа ………………………………………………..	5
Преобразование рациональных выражений ……………………………………	7
Рациональные уравнения ………………………………………………………..	8
Системы рациональных уравнений …………………………………………….	9
Рациональные неравенства ……………………………………………………..	10
Системы рациональных неравенств ……………………………………………	11
Контрольная работа № 1 ………………………………………………………	12
Карточки к зачету № 1 ………………………………………………………..	12
Тест №1 ………………………………………………………………………….	13
Справочный материал ………………………………………………………..	15-
Литература ……………………………………………………………………..	17
Ответы……………………………………………………………………………	18

Зачётный раздел №1
Действительные числа

Рациональные уравнения и неравенства
Ι. Основные требования к знаниям и умениям обучающихся

Знать:

• понятие действительного числа, множества чисел;
• историю развития понятия о числе;
• приёмы решения рациональных уравнений и неравенств; систем рациональных

уравнений и неравенств;
Уметь:

• определять место числового элемента во множестве чисел

• решать рациональные уравнения и неравенства
• решать неравенства методом интервалов.
• решать системы рациональных уравнений и неравенств

ΙΙ. ПЛАН ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЁТУ №1

Содержание учебного материала

Номера заданий по учебнику

Сложение и вычитание

дробей с разными знаменателями

учебника
п.1.1 п.1.2	Понятие действительного числа.	1.14 1.2; 1.4; 1.6; 1.9; 1.21; 1.22; 1.23; 1.24.
п.2.1	Преобразование рациональных выражений.	2.1; 2.3; 2.4; 2.54 2.6; 2.7; 2.8.
п. 2.6	Рациональные уравнения.	2.44; 2.45; 2.46; 2.47; 2.48.
п. 2.7	Системы рациональных уравнений.	2.56; 2.57; 2.58
п.2.8-	2.60; 2.61; 2.65; 2.66; 2.67; 2.80; 2.81; 2.82; 2.83; 2.84; 2.85; 2.86; 2.87
п. 2.11	Системы рациональных неравенств.	2.93; 2.94; 2.95; 2.96; 2.97
Контрольная работа № 1.	Зачёт №1 Понятие действительного числа N – Множество всех натуральных чисел; Z – Множество всех целых чисел; Q – Множество всех рациональных чисел; R – Множество всех действительных чисел Натуральные числа 1; 2; 3;.. Множество натуральных чисел Множество целых чисел Целые числа состоят из натуральных, нуля и чисел, противоположных натуральным числам.. 0 N— Множество рациональных чисел. Рациональные числа представимы как , где p – целое, а g – натуральное. Дроби Множество действительных чисел R Действительные числа – это бесконечные десятичные дроби. Рациональные числа – бесконечные периодические дроби. Период не может состоять из одних девяток. Если период состоит из одних нулей, дробь может считаться конечной десятичной дробью. Иррациональные числа – бесконечные непериодические десятичные дроби. Для того чтобы записать периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, надо: в числителе записать разность числа до второго периода и числа до первого периода; в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде, и записать к ним столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом. Задача 1 Записать периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 1) 2,1(45); 2) 0,00(3); 3 ) 0,(7). 1) Обозначим х = 2,1(45) = 2,14545 ; 2145 – число до второго периода, 21 –число до первого периода, в периоде 2 цифры; между запятой и первым периодом 1 цифра. х = = = . Ответ: 2,1(45) = . 2) Пусть х = 0,00(3) = 0,00333…; тогда по правилу имеем: 0,00(3)= = = . Ответ: 0,00(3) = . 3) Пусть х = 0,(7) = 0,777…; тогда по правилу имеем 0,(7) = = . Ответ: 0,(7) = . Если разложение знаменателя обыкновенной дроби на простые множители состоит только из двоек и пятёрок, то такую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби. Записать обыкновенную дробь в виде десятичной дроби: 1) ; 2) . Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби на 2 = = = 0,6; Ответ: = 0,6. Умножим числитель и знаменатель дроби на 5 = = = = 0,35. Ответ: = 0,35. Записать обыкновенную дробь в виде десятичной дроби 1) ; 2) ; 3) 2. Решение: 1) Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной достаточно разделить 2 на 3: = 0,666666…= 0,(6) Ответ: = 0,(6). 2) = 0,454545…= 0,(45). =0,(45). 3) 2 = 2,355555…= 2,3(5) Ответ: 2 = 2,3(5). Упражнения для самостоятельного решения 1°.Записать конечные десятичные дроби 0,3; 1,6; 2,25 в виде обыкновенных дробей. 2°.Записать обыкновенные дроби ; ; в виде десятичных дробей (конечных или бесконечных). 3°.Записать периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: а) 0,(4); б) 2,(17) в) 0,2(54). 4*. Может ли разность двух иррациональных чисел быть рациональным числом? Преобразование рациональных выражений Одночленом называют число, букву, произведение букв и чисел, а многочленом – сумму нескольких одночленов. Рациональным выражением называют выражение, в котором несколько алгебраических дробей соединено знаками арифметических действий. Причём это выражение не содержит деления на нулевой многочлен. Многочлен называют нулевым, если он после приведения подобных членов превращается в число нуль. Тождественным преобразованием выражения называется замена его другим, тождественно равным ему выражением. f и g – тождественно равные выражения Замена f на g — тождественное преобразование Найти значение выражения (6,375) 2 — (7.375) 2 Применим формулы сокращённого умножения: (6,375 ) 2 — (7.375) 2 = (6,375 + 7.375)( 6,375 — 7.375) = 13.75(-1) = -13,75 а) Сократить дробь . ; б) Найти значение полученной после сокращения дроби при х =1. Решение: а) Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: х 3 – 2х 2 –5х+6 = х 3 – х 2 – х 2 + х – 6х+6 = х 2 ٠(х-1)-х٠( х – 1)-6٠(х – 1) = (х – 1)٠(х 2 – х-6)= =(х – 1)٠( х + 2)٠( х – 3); х 3 – 6х 2 + 11х -6 = х 3 – х 2 — 5 х 2 + 5х + 6х – 6 = х 2 ٠( х- 1) -5х٠( х – 1) + 6( х – 1) = = ( х – 1)٠( х 2 — 5х + 6) = ( х – 1)٠( х – 3)٠( х – 2). = = . если х = 1, то = = -3. Ответ. а) ; б) -3. а) Записать в виде дроби выражение + + .; б) найти значение полученной дроби при х = 0. а) Представим каждую дробь в виде разности и упростим + + = ( — ) + ( — ) + ( — ) = — + — + — = — = ; если х = 0, то = = — = — 1,5 : а) ; б) -1,5. Упражнения для самостоятельного решения 1.Доказать тождество a(b-c) + a(b +c) = 2a b, упростив левую часть равенства. Найти значение выражения а)(5.255) 2 -(6.255) 2 б) (7, 345) 2 – (9,655) 2 3.а) Сократить дробь ; значение полученной дроби при х = -2. 4.Упростить выражение ( + — ) . Рациональные уравнения Уравнение, левая и правая выражения относительно х, называют рациональным уравнением с неизвестным х. Корнем (или решением) уравнения с неизвестным х называют число, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или показать, что их нет. Решить уравнение = 0. Найдём значения х, при которых числитель дроби обращается в нуль: (х – 2) Если х = 2, то 2 3 – 2 2 – 4 = 0 Если х2 = -2, то (-2) 3 – (-2) 2 – 4 = -16 0 -2 – единственный корень данного уравнения. Решить уравнение + = 1. Перенесём все члены уравнения в левую часть + — 1= 0 Приведём дроби к общему знаменателю = 0 = 0. Найдём значения х, при которых числитель дроби обращается в нуль Если х = -3, то (-3 + 3)(-3– 5) = 0 Если х = 2,то (2 + 3)(2 – 5) = 2 .0 Ответ: 2. Упражнения для самостоятельного решения: Решить уравнения: 1). + = 1; б) — = 1. 2). + = 0; ). + = 0. Системы рациональных уравнений Рациональным уравнением с двумя неизвестными х и у называют уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х и у, Решить систем уравнений с двумя неизвестными х и у — это значит найти все пары чисел (х;у), каждая из которых является решением каждого из данных уравнений. Задача 1 Решить систему уравнений (1) Выразим у через х из первого уравнения системы , Подставим 3х – 1 вместо у во второе уравнение системы , 5х 2 – 4х( 3х – 1 ) + 3 ( 3х – 1) 2 = 9. 10х 2 – 7х – 3 = 0 Решим полученное уравнение Ответ: : (1; 2 ); (-0,3; -1,9) . Упражнения для самостоятельного решения Решить системы уравнений: 1°. 2°. 3*. Рациональные неравенства. Неравенство, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х. называют рациональным неравенством с неизвестным х. Решением неравенства с неизвестным х называют число, при подстановке которого в это неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или показать, что их нет. Решить неравенство > 0 . Применяя метод интервалов, находим, что > 0 при х € ( — ∞; 2) U ( 3; + ∞). Ответ: ( — ∞; 2) U ( 3; + ∞). Решить неравенство 1. 3 0; 4 2 – 5х + 6 Системы рациональных неравенств Чтобы решить систему неравенств, надо решить каждое неравенство системы, затем найти общую часть ( пересечение ) полученных множеств решений, которая и будет множеством всех решений системы. Решить систему неравенств : Применим метод интервалов: † † † х Упражнения для самостоятельного решения: Решить системы неравенств: 1; 2 3 4 ΙΙΙ. ПРИМЕРНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 Рациональные уравнения и неравенства». Вариант 1 ( + — ) : . 2.Решить уравнение: – = 0. 3.Решитеьнеравенство: а) ; б) 0 4.а) Упростить выражение (+ ) : . б) Найти значение полученного выражения при n = -1. Вариант 2 1.Упростить выражение ( — + ) : . – = 0 3.Решить неравенство: а) ; б) 0. 4.а) Упростите выражение (— ) : . б) Найдите значение полученного выражения при n = -1. Ι. КАРТОЧКИ К ЗАЧЁТУ №1 Рациональные уравнения и неравенства» Карточка 1 .1. Записать периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: = 0 ( х 2 +4х ) 2 – 2(х + 2) 2 – 7 0 Карточка 2 1.Записать периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби. + = 0. ( х 2 +2х + 1 ) (х – 1) 0 Карточка № 3 1.Записать периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: ( 13х + 29) 2 – 19 ( 13х + 29) + 48 = 0 + 2 1.Запишите конечные десятичные дроби 0,8; 1,2; 3,04 в виде обыкновенных дробей. 2.Запишите обыкновенные дроби ; . в виде десятичных дробей.. 3.Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом? 1.Запишите конечные десятичные дроби 0,5; 1,02; 3,004 в виде обыкновенных дробей. 2.Запишите обыкновенные дроби ; в виде десятичных дробей (конечных или бесконечных) 3.Может ли разность двух иррациональных чисел быть рациональным числом? 1.Вычислите значение многочлена: х 2 – 2ху + у 2 при х = 14 ; у = 8 3.Записать периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: а) 0,(8); б) 2,(24); в) 0,16(8) . ТЕСТ Рациональные уравнения и неравенства» 6.Решите неравенство: ( х – 2)( х + 7)( х — 3) 0. 1.Найдите значение выражения: 2 7с ∙2 -3с при с = — 1) 0,5; ; 2) 2; 3)8; . 4) 0,25. 2.Вычислите: 1) 1; 2) 3; 3) 0,3 4) 0,25. 3.Сократите дробь: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 4.Решите уравнение: 1) 2; 5 2) -2; 5 3) -2; -5 4) 2; -5. 5.Найдите число целых решений неравенства: 0 1) 5; 2) 6; 3) 7; 4) 8. 7.Докажите тождество 2(у – 2) + 2(2 – у) = 0. Основные тождества 1 a + b = b + a 2 a + (b + c) = (a + b) + c 3 ab = ba 4 a(bc) = (ab)c 5 a(b + c) = ab + bc 6 a + 0 = a 7 a 8 a 9 a +(-a) = 0 10 a = 1,если a 0 Действия с обыкновенными дробями Сложение и вычитание дробей с общим знаменателем
Умножение
Деление

Действия с положительными и отрицательными числами

Положительные числаОтрицательные числаЧисла с разными знакамиСложениеСложить

(+)Сложить

( — )Вычесть из большего модуля меньший и поставить знак большего модуляВычитаниеЗаменяем на сложение: a-b = a + (-b)УмножениеПеремножить

(+)Перемножить

(+)Перемножить

( — )ДелениеПоделить

(+)Поделить

(+)Поделить

Формулы сокращённого умножения

( а + b ) 2 = а 2 + 2аb+ b 2 ;

Квадрат суммы( а – b) 2 = а 2 – 2аb + b 2 ;

Квадрат разности( а + b) 3 = а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 + b 3 ;

Куб суммы( а — b) 3 = а 3 — 3а 2 b + 3аb 2 — b 3 ;

Куб разностиа 2 – b 2 = ( а – b)٠( а + b);

Разность квадратова 3 – b 3 = ( а – b)٠( а 2 + аb + b 2 );

Разность кубова 3 + b 3 = ( а + b)٠( а 2 — аb + b 2 ).

Сумма кубов

Разложение квадратного трёхчлена на множители
ах 2 + b x 2 + с = а(х – х_{1) (}х – х₁)(х – х₂) ,

где х₁; х₂ – корни квадратного трёхчлена

Формулы корней квадратного уравнения
aх 2 + b x + c = 0

1. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. 7 изд., с испр. / для общеобразовательных учреждений / Колмогоров А.Н. — М. : Просвещение, 2008.-430 с.
2. Ивлев Б.М. Дидактические материалы. Алгебра. М. : Просвещение, 2006.-176 с.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Понятие действительного числа:

1. а); б) 1; в) 2

3. а) ; б); в) .

Преобразование рациональных выражений.

3. ; б) – 1.

1 а) 1,5; б) – 5. 2. а) -5; -1. б) нет корней

Системы рациональных уравнений.

1. (—5)Ụ (2; 5). 2. (—3)Ụ(4;). 4. (-;)

Системы рациональных неравенств.

ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1
I вариант:

1. 5. 2..-12 3..а) (; б) ( 4.. а)

1. 4. 2.-11 3.. ( б) (4.. а) .

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ № 1
1. 1; 2. 3; 3. 1; 4. 1; 5. 4; 6. (

Ад вымощен мужскими откровениями по женской части. Магдалена Самозванец
ещё >>

Контрольная работа по алгебре на тему: «Действительные числа. Рациональные уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Контрольная работа по алгебре № 1

«Действительные числа. Рациональные уравнения и неравенства»

ВАРИАНТ 1

1. Запишите бесконечную периодическую дробь 0, (43) в виде обыкновенной дроби.

2. Найдите объединение и пересечение множеств:

3. Вычислите: ; ; .

4. На совещании присутствовали 20 представителей разных компаний. Все они обменялись визитками. Сколько визиток было использовано?

5. Упростите выражение: .

6. Решите уравнение: .

7. Решите неравенство:

Контрольная работа по алгебре № 1

«Действительные числа. Рациональные уравнения и неравенства»

ВАРИАНТ 2

1. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,3 (6) в виде обыкновенной дроби.

2. Найдите объединение и пересечение множеств:

3. Вычислите: ; ; .

4. В классе 25 человек. На выпускном вечере они обменялись своими фотографиями. Сколько фотокарточек было использовано?

5. Упростите выражение: .

6. Решите уравнение: .

7. Решите неравенство: .

Контрольная работа по алгебре № 1

«Действительные числа. Рациональные уравнения и неравенства»

ВАРИАНТ 3

1. Запишите бесконечную периодическую дробь 0, (72) в виде обыкновенной дроби.

2. Найдите объединение и пересечение множеств:

3. Вычислите: ; ; .

4. Из 28 спортсменов надо выбрать капитана команды и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

5. Упростите выражение: .

6. Решите уравнение: .

7. Решите неравенство: .

Контрольная работа по алгебре № 1

«Действительные числа. Рациональные уравнения и неравенства»

ВАРИАНТ 4

1. Запишите бесконечную периодическую дробь 0, (15) в виде обыкновенной дроби.

2. Найдите объединение и пересечение множеств:

3. Вычислите: ; ; ; .

4. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 поезда?

5. Упростите выражение: .

6. Решите уравнение: .

7. Решите неравенство:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 343 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 09.10.2021
• 193
• 12

• 09.10.2021
• 184
• 5

• 09.10.2021
• 104
• 0

• 09.10.2021
• 98
• 1

• 09.10.2021
• 148
• 4

• 09.10.2021
• 210
• 6

• 09.10.2021
• 277
• 15

• 09.10.2021
• 109
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 09.10.2021 1080
• DOCX 37.6 кбайт
• 12 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Попиль Екатерина Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 10 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 6524
• Всего материалов: 9

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Контрольная работа по теме «Действительные числа. Рациональные уравнения и неравенства»

Хорошая работа для проверки знаний по данной теме.

Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа по теме «Действительные числа. Рациональные уравнения и неравенства»»

10 класс Контрольная работа по теме «Действительные числа. Рациональные уравнения и неравенства»

2.(3б) а) Упростите выражение:

б) Найдите значение полученного выражения при n=-1.

3.(2б.)Решите уравнение:

4.(3б.)Решите неравенство: а) ˂ 0; б) .

2.(3б.) а) Упростите выражение:

б) Найдите значение полученного выражения при n=-1.

3.(2б)Решите уравнение:

4.(3б.)Решите неравенство: а) ˂ 0; б) .

Максимальный балл за выполнение работы-10

Таблица перевода баллов в отметки по пятибалльной шкале