Действительный корень уравнения с е

Уравнения с одной переменной

Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Содержание:

Определение уравнения. Корни уравнения

Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1.

Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.

Пример 2.

Уравнение (х — 1)(х — 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.

Пример 3.

Уравнение не имеет действительных корней.

Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение имеет два мнимых корня: (см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.

Равносильность уравнений

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения — ни одно из них не имеет корней.

Уравнения неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и — 6.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1.

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению

Теорема 2.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению (обе части первого уравнения мы умножили на 3).

Линейные уравнения

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида

где — действительные числа; называют коэффициентом при переменной, — свободным членом.

Для линейного уравнения могут представиться три случая:

1) ; в этом случае корень уравнения равен ;

2) ; в этом случае уравнение принимает вид , что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;

3) ; в этом случае уравнение принимает вид , оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению . Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение . Итак, — корень уравнения.

Пример 2.

Решение:

Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим

Квадратные уравнения

где — действительные числа, причем , называют квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение называют приведенным, если , то неприведенным. Коэффициенты имеют следующие названия: — первый коэффициент, — второй коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения находят по формуле

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение , можно переписать формулу (2) в виде Если , то формулу (2) можно упростить:

Формула (3) особенно удобна, если — целое число, т. е. коэффициент — четное число.

Пример 1.

Решение:

Здесь . Имеем:

Так как , то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):

Итак, — корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение

Решение:

Здесь По формуле (3) находим т. е. х = 3 — единственный корень уравнения.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение:

Здесь Так как D 0, откуда х>3, и 5 — х > 0, откуда х 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.

Рациональные уравнения

Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.

Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример:

Решение:

Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:

Из уравнения находим (см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 — х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.

Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители

Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени . Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:, где — многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид . Если — корень уравнения а потому хотя бы одно из чисел равно нулю.

Значит, — корень хотя бы одного из уравнений

Верно и обратное: если — корень хотя бы одного из уравнений то — корень уравнения т. е. уравнения р (х) = 0.

Итак, если , где — многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем откуда

Значит, либо х + 2 = 0, либо . Из первого уравнения находим х = — 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.

Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть но среди выражений есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений могут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.

Пример 2.

Решить уравнение

Решение:

Имеем ; значит, либо , либо .Из уравнения находим х = 0, из уравнения находим .

Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение . Это посторонний корень.

Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.

Решение уравнений методом введения новой переменной

Суть этого метода поясним на примерах.

Пример 1.

Решение:

Положив , получим уравнение

откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Из второго квадратного уравнения находим . Это корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решение:

Положим , тогда

и уравнение примет вид

Решив это уравнение (см. п. 145), получим

Но . Значит, нам остается решить совокупность уравнений

Из первого уравнения находим , ; из второго уравнения получаем Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называют уравнение вида

Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , придем к квадратному уравнению

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

Положив , получим квадратное уравнение , откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим Это — корни заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью составления уравнений

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).

3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Задача 1.

Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?

Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить т груза, а на самом деле грузили т груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению

Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.

Задача 2.

Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Решение:

Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 — х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит ч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит ч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. ч, приходим к уравнению

решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задача 3.

Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение:

Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем

Решив это уравнение, найдем

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.

Задача 4.

Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение:

Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна , а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна Согласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть , а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение

решив которое, найдем х = 10.

Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.

Задача 5.

Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение:

Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится л кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось л кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй л кислоты, а всего

за два раза вылито 54 — 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению

Решив это уравнение, найдем два корня: и . Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.

Задача 6.

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение:

Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было . Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению

Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.

Задача 7.

Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?

Решение:

Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 — х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 — х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 — х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 — х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению

0,05х + 0,4 (140 — х) = 0,3 * 140,

из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.

Иррациональные уравнения

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения

Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:

1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) метод введения новых переменных (см. п. 147).

Метод возведения обеих частей уравнения в одну

и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду

б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:

в) учитывая, что , получают уравнение

г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х — 3 = 64, откуда х = 67.

Проверка:

Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим , т. е. 2 = 2 — верное равенство.

Ответ: 67.

Пример 2.

Решение:

Преобразуем уравнение к виду

и возведем обе части его в квадрат. Получим

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

откуда

Проверка:

1) При х = 5 имеем

— верное равенство.

Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.

2) При х = 197 имеем Таким образом, х = 197 — посторонний корень.

Ответ: 5.

Пример 3.

Решение:

Применим метод введения новой переменной.

Положим и мы получаем уравнение , откуда находим

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений

Возведя обе части уравнения в пятую степень, получим х — 2 = 32, откуда х = 34.

Уравнение не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ: 34.

Показательные уравнения

Показательное уравнение вида

где равносильно уравнению f(х) = g(x).

Имеются два основных метода решения показательных уравнений:

1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду а затем к виду f(х) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению откуда находим Решив это квадратное уравнение, получим

Пример 2.

Решение:

Приведем все степени к одному основанию . Получим уравнение которое преобразуем к виду Уравнение равносильно уравнению х = 2х — 3, откуда находим х = 3.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение:

Применим метод введения новой переменной. Так как ,то данное уравнение можно переписать в виде

Введем новую переменную, положив Получим квадратное уравнение с корнями Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значениях х.

Ответ: 2.

Логарифмические уравнения

Чтобы решить логарифмическое уравнение вида

где нужно:

1) решить уравнение f(x) = g(x);

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:

1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду затем к виду f(x) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решение:

Перейдем от заданного уравнения к уравнению и решим его. Имеем Проверку найденных значений х выполним с помощью неравенств Число -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.

Ответ: -3.

Пример 2.

Решение:

Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду

Из последнего уравнения находим

Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств

Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.

Ответ: -1.

Пример 3.

Решение:

Так как заданное уравнение можно переписать следующим образом:

Введем новую переменную, положив Получим

Но ; из уравнения находим х = 4.

Ответ: 4.

Примеры решения показательно-логарифмических уравнений

Пример 1.

Решение:

Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение

равносильное уравнению (1). Далее имеем

Полагая получим уравнение , откуда Остается решить совокупность уравнений Из этой совокупности получим — корни уравнения (1).

Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению

Пример 2.

(2)

Решение:

Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду

Полагая , получим уравнение корнями которого являются

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Так как , а -1 0 и мы получаем

если , то D = 0 и мы получаем , т. е. (поскольку ) .

Итак, если то действительных корней нет; если = 1, то ; если ,то ; если и , то

Пример 3.

При каких значениях параметра уравнение

имеет два различных отрицательных корня?

Решение:

Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня его дискриминант должен быть положительным. Имеем

Значит, должно выполняться неравенство

По теореме Виета для заданного уравнения имеем

Так как, по условию, , то и

В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):

Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) ; из второго ; из третьего . С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо , либо

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

x i	Коэффициенты многочлена
2	— 11	12	9
— 0 . 5	2	— 11 + 2 · ( — 0 . 5 ) = — 12	12 — 12 · ( — 0 . 5 ) = 18	9 + 18 · ( — 0 . 5 ) = 0

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Уравнения высших степеней в математике с примерами решения и образцами выполнения

Уравнение n-й степени с одним неизвестным:

Определение:

Уравнением n-й степени с одним неизвестным х называется уравнение

где — любые комплексные числа, а₀ ≠ 0, n— натуральное.

Изучение уравнения (1) в общем виде выходит за рамки школьного курса алгебры. В этой главе рассматриваются лишь некоторые свойства уравнения (1) и, кроме того, изучаются некоторые его частные виды.

Деление многочлена относительно х на х—а

Теорема:

Остаток от деления многочлена относительно х на двучлен х — а равен значению этого многочлена при х, равном а.

Доказательство:

Разделим многочлен n-й степени

на двучлен х — а. Как известно, частным (неполным) в этом случае будет многочлен n— 1 степени

а остатком — некоторое число r. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток, то

Равенство (3) есть тождество, оно справедливо при любых значениях х. В частности, оно справедливо и при х = а. При х = а. первое слагаемое правой части равенства (3) обращается в нуль, а потому

Следствие:

Для того чтобы многочлен относительно х делился на двучлен х — а, необходимо и достаточно, чтобы число а было корнем этого многочлена, т. е. чтобы при х = а многочлен обращался в нуль.

Доказательство:

Необходимость:

Пусть многочлен (1) делится на х — а, т. е. остаток r равен нулю. Тогда на основании равенства (4)

т. е. а — корень многочлена (1).

Достаточность:

Пусть а — корень многочлена (1), т. е. имеет место равенство (5). Тогда на основании равенства (4) r = 0, т. е. многочлен (1) делится на двучлен х — а.

Рассмотрим вновь тождество (3). Если в правой части его раскрыть скобки и сделать приведение подобных членов, в результате должен получиться тот же многочлен, что и в левой части. На этом основании, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем

Перепишем эти равенства так:

Полученные равенства показывают, что коэффициенты частного и остаток, т. е. , удобно вычислять последовательно одно за другим. Эти вычисления обычно располагают следующим образом:

Пример:

Решение:

Первый коэффициент 2 второй строки просто сносится (b₀ = а₀). Второй коэффициент 3 получен так:

Третий коэффициент 10 получен так:

и т. д. Неполное частное равно

Пример:

Найти значение многочлена

Решение:

Искомое значение многочлена равно остатку от деления многочлена на x + 2

В двух местах первой строки потребовалось вписать 0. Объясняется это тем, что делимое имеет следующий вид:

Обычно члены, коэффициенты которых равны нулю, пропускаются. Здесь их пропускать нельзя.

Составление уравнения n-й степени по его корням

Теорема:

Каковы бы ни были числа можно составить уравнение n-й степени, корнями которого будут эти числа и только они. Доказательство. Составим произведение

где a₀ — любое число, отличное от нуля. При x = x₁ двучлен x — x₁ обращается в нуль, значит, при этом значении х обращается в нуль и произведение (1). При х = х₂ обращается в нуль двучлен х — x₂, и опять произведение (1) обращается в нуль. То же самое происходит при х =x₃; х = хₙ.

Пусть теперь х = а, где a — число, отличное от x₁ x₂ , …., хₙ . Ни одна из разностей а— x₁ а— x₂ ,…..о— хₙ „ не равна нулю. Число а₀ тоже отлично от нуля. Значит, и произведение

отлично от нуля.

Таким образом, уравнение

имеет корнями x₁ x₂ , …., хₙ и только эти числа.

Раскрыв скобки и выполнив приведение подобных членов, получим в левой части уравнения многочлен n-й степени относительно х, т. е.

Корнями уравнения (2) являются числа x₁ x₂ , …., хₙ и только эти числа.

Возможно, что корни x₁ x₂ , …., хₙ уравнения (2) не все различны между собой. В этих случаях говорят, что уравнение (2) имеет кратные корни. Так, например, если x₁ = x₂ и отлично от других корней уравнения (2), число является корнем второй кратности уравнения (2). Левая часть уравнения (2) делится в этом случае на (x — x₁ )³ и не делится на (х — x₁)³. Если x₁ = x₂ = x₃ и отлично от других корней уравнения (2), число x₁ является корнем третьей кратности уравнения (2). Левая часть уравнения (2) делится в этом случае на (х — x₁ )³ и не делится на (х— x₁ )⁴.

Вообще корнем кратности k уравнения (2) называется такое число а, что левая часть уравнения (2) делится на (х — а)ᵏ и не делится на

Пример:

Составить уравнение второй степени, корни которого

Решение:

. Положим а₀ = 3. Имеем

Пример:

Составить уравнение второй степени, корни которого x₁ = 1; х₂ =i.

Решение:

Положим

Пример:

Составить уравнение четвертой степени, корни которого i; —i; 1+i; 1-i

Решение:

Пример:

Составить уравнение третьей степени, корни которого x₁ = 1; х₂ = 1; х₃ = — 1.

Решение:

. Положим а₀ = 1.

Число единица является здесь корнем второй кратности,

Основная теорема алгебры и некоторые следствия из нее

Мы видели, что, выбрав произвольные п комплексных чисел, можно составить уравнение п-й степени, корнями которого будут выбранные числа. Коэффициенты этого уравнения могут при -этом оказаться как вещественными, так и мнимыми. Возникает следующий весьма важный вопрос.

Дано уравнение n-й степени с комплексными коэффициентами

Можно ли утверждать, что среди комплексных чисел найдется хоть одно число, являющееся корнем этого уравнения?

В свое время мы видели, что среди целых чисел нет числа, являющегося корнем уравнения 2х— 3 = 0 с целыми коэффициентами. Среди положительных чисел нет числа, являющегося корнем уравнения x+ 1 = 0 с положительными коэффициентами.

Среди рациональных чисел нет числа, являющегося корнем уравнения x² — 2 = 0 с рациональными коэффициентами. Среди действительных чисел нет числа, являющегося корнем уравнения x²+ 1 = 0 с действительными коэффициентами.

Понятно поэтому, сколь важное значение имеет поставленный вопрос. Ответ на него дает основная теорема алгебры.

Всякое уравнение n-й степени с любыми комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьной программы.

Теорема:

Всякий многочлен n-й степени с любыми комплексными коэффициентами может быть представлен и притом единственным образом в виде произведения п двучленов первой степени, т. е.

где a ≠ 0, n ≥ 1. (Два таких разложения, отличающиеся только порядком расположения множителей, не считаются различными.)

Доказательство:

Доказательство разбивается на две части. В первой части доказывается возможность представления многочлена n-й степени в виде произведения п двучленов первой степени, во второй—единственность такого представления.

Для n = 1 теорема верна, так как

Предположим, что теорема справедлива для многочленов степени n—1.

Согласно основной теореме алгебры многочлен имеет по крайней мере один корень x₁ и, следовательно, делится на х — х₁ т. е.

Для многочлена теорема справедлива. Значит,

Допустим, что имеется два таких разложения:

Так как коэффициенты при хⁿ в правой и левой частях равенств (2) и (3) должны быть равны, то

Приравниваем правые части равенств (2) и (3). После сокращения на а₀ имеем

Методом математической индукции докажем, что правая и левая части равенства (4) состоят из соответственно равных множителей, но, быть может, записанных в другом порядке.

Для n= 1 утверждение, очевидно, справедливо.

Пусть утверждение справедливо для произведений, состоящих из n—1 множителей. Докажем, что утверждение справедливо и для произведений, состоящих из n множителей.

Левая часть равенства (4) при x = x₁ обращается в нуль. Значит, при x = x₁ обращается в нуль и правая часть этого равенства, т. е.

Произведение равно нулю. Значит, хоть один из сомножителей равен нулю. Допустим, что В случае необходимости мы можем изменить нумерацию сомножителей так, чтобы первым был множитель, равный нулю. Тогда

Сократим равенство (4) на х— x₁ получим

По допущению правая и левая части равенства (5) состоят из соответственно равных множителей, но, быть может, записанных в другом порядке. Приписав в каждую часть равенства (5) по одинаковому множителю х— x₁ получим, что правая и левая части равенства (4) состоят из соответственно равных сомножителей.

Теорема доказана полностью.

некоторые из сомножителей правой части могут быть одинаковы. Обозначив различные из них, а буквами кратность их вхождения, получим

где все различны между собой

Представление левой части уравнения в виде (6) называется представлением левой части уравнения в канонической форме.

Теорема:

Всякое уравнение п-й степени с любыми комплексными коэффициентами имеет ровно п корней, среди которых могут быть и равные друг другу.

Доказательство:

где a₀ ≠ 0, n ≥ 0 Как доказано, левая часть может быть представлена в виде произведения n множителей первой степени. Таким образом, имеем

При x=x₁; х = х₂; х=хₙ левая часть уравнения превращается в нуль и, следовательно, х₁, х₂, …,xₙ— корни уравнения. Покажем, что никакое число а, отличное от х₁ х₂,…..хₙ, не может быть корнем этого уравнения.

Действительно, произведение а₀ (а — x₁) (а — х ₂ ,)… (а — x ₙ )не равно нулю, так как ни один из множителей его не равен нулю. Таким образом, корнями рассматриваемого уравнения являются числа x₁; х ₂ ;…; x ₙ и других корней нет.

Следствие:

Уравнение n-й степени имеет n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Теорема:

Если уравнение n-й степени имеет действительные коэффициенты и мнимое число а + bi является корнем этого уравнения, то и сопряженное число а — bi является также корнем этого уравнения.

Доказательство:

Пусть мнимое число а + bi является корнем уравнения

с действительными коэффициентами. Требуется доказать, что сопряженное число а — bi также является корнем уравнения (7). Составим многочлен

Этот многочлен имеет действительные коэффициенты. Разделим левую часть уравнения (7) на многочлен (8). В частном получим многочлен n— 2 степени с действительными коэффициентами, в остатке многочлен степени не выше первой и тоже с действительными коэффициентами.

Так как делимое равно делителю, умноженному на частное плюс остаток, то

Положим в этом равенстве х = а + bi . Получим

так как и левая часть равенства и трехчлен при х = а + bi обращаются в нуль. Имеем

Так как b ≠ 0, то A = 0. Из первого уравнения системы (9) имеем В = 0. Выходит, что остаток Ах + В равен нулю, т. е.

При х = а — bi первый сомножитель правой части равенства (10) превращается в нуль, значит, и левая часть равенства тоже обращается в нуль. Значит, число а — bi является корнем уравнения (7).

Теорема:

Всякий многочлен n-й степени с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения многочленов первой или второй степени с действительными коэффициентами.

Доказательство этой теоремы проводится методом математической индукции. Теорема, очевидно, справедлива для многочленов первой и второй степени. При этом многочлен второй степени либо имеет действительные корни и тогда разлагается на множители первой степени с действительными коэффициентами, либо он имеет два мнимых сопряженных корня, и тогда он на множители с действительными коэффициентами не разлагается.

Допустим, что теорема справедлива для многочленов n— 2 степени и многочленов n—1 степени. Докажем, что тогда она справедлива и для многочленов n-й степени.

Пусть — многочлен n-й степени с действительными коэффициентами.

Если этот многочлен имеет действительный корень x₁ то он представляется в виде произведения многочлена первой степени на многочлен n—1 степени с действительными коэффициентами, т. е.

Если же многочлен действительных корней не имеет, то он имеет мнимый корень а + bi и сопряженный с ним корень а — bi. В этом случае многочлен представляется в виде произведения трехчлена второй степени на многочлен n— 2 степени с действительными коэффициентами, т. е.

Так как теорема для многочленов п—1 степени и многочленов n— 2 степени справедлива, то она справедлива и для многочленов степени n.

Теорема Виета

легко получить теорему Виета для уравнений любой степени. Перепишем это равенство так:

К правой части этого равенства применим правило умножения двучленов, первые члены которых одинаковы (см. гл. VIII, § 5). Получаем

где имеют тот же смысл, что и в гл. VIII. Обозначим знаком f₁ сумму корней уравнения (1), т. е.

Знаком f₂ обозначим сумму всевозможных произведений корней, взятых по два. Подобный же смысл имеют знаки f₃, f₄, …, f ₙ . Тогда

Равенство (1) теперь можно переписать так:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях равенства (2), получим

Последние равенства и выражают теорему Виета для уравнения любой степени. При n= 2, т. е. для уравнения получаем известный результат:

Пример:

Не решая уравнения , определить сумму квадратов его корней.

Решение:

Пусть х₁ x₂, х₃, — корни данного уравнения. Рассмотрим равенство

По теореме Виета

Полученный результат означает, что среди чисел х₁ x₂, х₃, имеются мнимые, иначе сумма квадратов их не могла бы быть отрицательной.

Предложенное уравнение нетрудно решить и подсчитать сумму квадратов корней непосредственно:

О решении уравнений высших степеней

Прежде всего возникает такой вопрос: можно ли для уравнений любой степени составить формулы для выражения корней уравнения через его коэффициенты, подобно известной формуле для квадратного уравнения? Оказывается, что это можно сделать для уравнений 3-й и 4-й степени, при этом формулы эти содержат столь сложные радикалы, что на практике ими предпочитают не пользоваться.

Что же касается уравнений выше 4-й степени, то доказано, что для них при помощи радикалов такие формулы составить нельзя.

В математике разработан ряд способов, дающих возможность вычислить любой корень любого уравнения с любой точностью. Один из таких способов разработан великим русским математиком, творцом неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским.

Ограничимся рассмотрением графического способа. Этот способ может применяться для вычисления действительных корней уравнений с действительными коэффициентами.

Пример:

Вычислить вещественные корни уравнения

Решение:

Построим график функции у = х³ — 2х— 5 (рис. 107). Имеем

Нетрудно видеть, что при x > 2,5 первое слагаемое х³ будет столь большим сравнительно с остальными, что у будет положительным числом.

По мере продвижения направо от х = 2,5 график будет подниматься кверху и, следовательно, больше пересекать ось Ох не будет.

Точно так же при х

Это означает, что точка 2,1 лежит правее корня, так как соответствующая ордината положительна (см. график).

Таким образом, 2 Вычисление рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами

Теорема:

Для того чтобы несократимая дробь была корнем уравнения

с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы р было делителем свободного члена аₙ, a q было делителем старшего коэффициента а₀.

Доказательство:

Пусть —корень уравнения (1), т. е. имеет место тождество

Умножим обе части тождества на qⁿ, получим

Из тождества (2) имеем

Правая часть равенства — целое число. Значит, целое.

По условию, дробь несократима, значит, ни одно простое число, входящее в р, в число q не входит. По этой причине ни одно простое число, входящее в р, не может входить и в qⁿ. Выходит, что аₙ делится на р.

Из тождества (2) имеем

Так как ни одно простое число, входящее в q, не входит в р, число может быть целым только тогда, когда а₀ делится на q.

Следствие:

Если уравнение имеет целые коэффициенты и старший из них равен единице, то рациональными корнями такого уравнения могут быть только целые числа.

Действительно, а₀ = 1, a q — делитель а₀ . Значит, q = ± 1, а тогда целое.

Следствие:

Целые корни уравнения с целыми коэффициент тами являются делителями свободного члена.

Пример:

Вычислить рациональные корни уравнения

Решение:

Свободный член равен 2. Поэтому для р возможны только следующие значения: 1, —1, 2 и —2.

Старший коэффициент равен 2. Поэтому для q возможны только следующие значения: 1, —1, 2, —2.

Составляя всевозможными способами несократимые дроби найдем, что рациональные корни данного уравнения, если они имеются, содержатся среди следующих чисел:

Подстановкой в уравнение легко выяснить, что из этих шести

чисел удовлетворяют уравнению 2, ,— 1.

Таким образом, уравнение имеет три рациональных корня:

Для испытания, является ли данное число корнем уравнения, удобно пользоваться правилом сокращенного деления многочлена на двучлен х — а. Для данного примера эти испытания проводятся так:

1 не является корнем уравнения, так как при делении левой части уравнения на х — 1 в остатке получилось — 2.

Испытываем число 2

2 — корень уравнения. В результате деления оказалось, что

Поэтому для отыскания остальных корней данного уравнения достаточно решить уравнение

Ответ.

Пример:

Найти рациональные корни уравнения

Решение:

Старший коэффициент уравнения равен единице, поэтому рациональными корнями уравнения могут быть только целые числа.

Делители свободного члена суть: 1,2, — 1, — 2. Сразу видно,-что никакое положительное число не может быть корнем данного уравнения, так как при любом положительном значении х левая часть уравнения положительна. Остается испытать — 1 и — 2:

Ответ. Уравнение рациональных корней не имеет.

Полученный в последнем примере результат означает, что корни рассматриваемого уравнения иррациональные или мнимые.

Пример:

Решение:

Выясним прежде всего, не имеет ли уравнение рациональных корней. Испытанию подлежат два числа 1 и — 1:

x₁² = 1. Остальные корни данного уравнения являются корнями уравнения третьей степени х³ — х² + х —1=0:

x₂ = 1. Остальные корни данного уравнения являются корнями квадратного уравнения х² + 1 = 0.

Ответ. x₁ = x₂ = 1; х₃ = i; x₄= — 1.

Решение двучленных уравнений 3-й, 4-й и 6-й степени

Определение. Двучленным уравнением n-й степени называется уравнение вида Очевидно, что делением на a₀ такое уравнение сводится к уравнению Если коэффициенты уравнения действительны, то двучленное уравнение можно представить в виде хⁿ — аⁿ = 0 или хⁿ + aⁿ= 0 где а — положительное число.

В этом параграфе излагается решение двучленных уравнений с действительными коэффициентами при n= 3, 4 и 6.

Уравнение имеет один действительный и два мнимых сопряженных корня.

Уравнение имеет два действительных и два мнимых сопряженных корня.

Уравнение имеет две пары мнимых сопряженных корней.

Уравнение распадается на два кубических двучленных уравнения. На основании рассмотренного в п. а)

Уравнение имеет два действительных и две пары мнимых сопряженных корней

Уравнение распадается на три квадратных уравнения. Решая их, получаем

Уравнение имеет три пары мнимых сопряженных корней.

Замечание. Пользуясь извлечением корня n-й степени из комплексного числа, можно решить двучленное уравнение хⁿ = а любой степени n при любой правой части а.

Корнями уравнения хⁿ = а являются все значения корня n-й степени из а.

Пример: