Действия над матрицами обратная матрица матричные уравнения

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X :

• Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Матрицы

Содержание:

Матрицы — основные определения

Понятие матрицы впервые появилось в середине прошлого столетия в работах английских математиков У. Гамильтона (1805-1865) и А. Келли (1821-1895). В современной прикладной математике матрицы и связанные с ними понятия используются очень широко при решении самых разнообразных задач. В частности, использование матриц значительно упрощает решение сложных систем уравнений.

Матрицей называют прямоугольную таблицу с m строчек и n столбцов, составленную из чисел или любых объектов.

Ограничимся рассмотрением только действительных матриц, то есть матриц составленных из действительных чисел:

Числа называют элементами матрицы. Первый индекс i означает номер строчки, второй j — номер столбца. Количество строчек и столбцов важно для матрицы, поэтому часто говорят, что матрица имеет тип или что матрица имеет размер . Строчки и столбцы ещё называют рядами матрицы.

— круглыми скобками или двойными вертикальными черточками:

— большими буквами А, В, С:

— через сокращённую запись:

В зависимости от чисел вида и расположения элементов выделяют следующие типы матриц:

— если то матрицу называют квадратной;

— если то матрицу называют прямоугольной;

— если (матрица типа ), то её называют строчечной или вектором-строчки;

— если n=1 (матрица типа ), то её называют столбцовой, или вектором-столбца;

— матрица типа скаляр (число);

(если рассмотреть следующие матрицы

то видим, что матрица А — квадратная, матрицы В, С — прямоугольные, матрица D — вектор-строчки, матрица М — вектор-столбец, матрица К — скаляр);

— если все элементы квадратной матрицы, кроме при равны 0, то матрицу называют диагональной

— если все ненулевые элементы диагональной матрицы равны 1, то её называют единичной матрицей и обозначают Е:

(если ввести символ Кронекера

тогда единичную матрицу можно записать в сокращённом виде );

— если все элементы матрицы — нули, то её называют нулевой матрицей

называют треугольными (нижняя треугольная и верхняя треугольная).

Действия над матрицами

Над матрицами можно выполнять определённые действия, которые, по аналогии с числами, называют сложением, вычитанием, умножением. Также существуют действия, которые определены только для матриц. Введём правила действий над матрицами.

1. Матрицы считают равными, если они одного и того же типа, то есть имеют одинаковое количество строчек и столбцов, и соответствующие элементы равны, то есть матрицы равны , если .

2. Суммой двух матриц и одинакового типа называют матрицей того же типа, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, то есть

Свойства действий сложения матриц:

Пример.

а) Найти сумму матриц А и В.

б) Записать матрицу А как сумму матриц:

3. Аналогично вычисляют разность матриц:

4. Произведением матрицы (или произведением числа на матрицу) называют матрицу, элементы которой получены умножением элементов матрицы А на число k:

Свойства действий умножения матрицы на число:

4. Матрица (-1)А=-А называется противоположной для А.

(Если матрицы отрицаются только знаками своих элементов, то их называют противоположными).

Пример.

5. Умножение матриц.

Если количество столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то для них определена матрица , которую называют их произведением.

Элементы матрицы С находят по следующим правилам:

элемент равный сумме попарных произведений элементов i-ой строчке матрицы А и j-ого столбца матрицы B.

Пример. Найти произведение матриц А и В, если

Решения. Согласно приведённого правила, что бы найти элементы первого ряда матрицы А почленно умножаем на элементы первого столбца матрицы В; с₁₂ — элементы первого ряда матрицы А на элементы второго столбца матрицы В; с₂₁ — элементы второго ряда матрицы А на элементы первого столбца матрицы В; с₂₂— элементы второго ряда матрицы А на элементы второго столбца матрицы В. Получим:

Свойства действий умножения матриц:

Внимание!

Если АВ=ВА, то матрицы называют коммутативными. Единичная матрица Е коммутативная с любой другой, то есть АЕ=ЕА=А и играет роль единицы при умножении.

Пример.

а) Найти произведение матриц АВ и ВА если:

Как видим,

б) Проверить существуют ли произведения АВ и ВА, если

Решение. Количество столбцов матрицы А совпадает с количеством строчек матрицы В, следовательно можно найти произведение матриц АВ:

Найти произведение матриц ВА невозможно, поскольку количество столбцов матрицы В не совпадает с количеством строчек матрицы А.

Транспонирование матриц

Если в матрице типа заменить строчки столбцами, то получим так называемую транспонированную матрицу типа .

Пример.

Свойства действий транспонирования матриц:

— дважды транспонированная матрица равна начальной

— транспонированная матрица суммы равна сумме транспонированных матриц слагаемых

— транспонированная матрица произведения равна произведению транспонированных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке

7. Матрица называется симметричной, если она совпадает со своей транспонированной матрицей, то есть если

— симметричная матрица обязательно квадратная;

— элементы, симметричные относительно основной диагонали равны;

— произведение является симметричной матрицей.

Пример.

8. Две матрицы называют эквивалентными, если одна получена из другой с помощью элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матриц называют следующие операции:

а) перестановка двух строк или столбцов матрицы;

б) умножение всех элементов любой строки (столбца) на одно и тоже число, отличное от нуля;

в) прибавление к элементам любой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умножение на одно и тоже число.

Пример. Рассмотрим матрицы:

Матрицы А, В, С, D эквивалентны, поскольку: матрица В получена из матрицы А перестановкой первой и второй строки; матрица С получена из матрицы А через умножение всех элементов второй строки на число 5; матрица D получена из матрицы А с помощью замены третьей строки суммой удвоенных элементов первой строки с элементами третьей.

Матрица и её определение

Матрицей называется прямоугольная таблица из m × n чисел, содержащая m строк и n столбцов, взятая в квадратные или круглые скобки. (1.2)

Или коротко [ а_ij ] (i = 1, 2, . m; j = 1, 2, . n).
В этом случае считают, что матрица имеет размерность m × n. Матрицы обозначают большими латинскими буквами А, В, С, Е, .

Числа a_ij называются элементами матрицы, где первый индекс i означает номер строки, а второй j — номер столбца. Если количество строк не равно количеству столбцов, то есть m ≠ n, то матрица называется прямоугольной, размерности m × n, а если m = n — квадратной. В этом случае число m = n называется порядком матрицы. Элементы квадратной матрицы, в которых i = j , образуют главную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то есть

А =
Здесь отдельные элементы главной диагонали могут быть нулевыми.

Если в диагональной матрицы все элементы главной диагонали равны единице, то ее называют единичной матрицей. Она обозначается буквой Е и имеет вид:

Е =

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют равное количество строк и столбцов и соответствующие элементы которых совпадают.

Матрица, в которой все элементы равны нулю, называется нуль-матрицей или нулевой. Ее обозначают буквой О.

Если матрица состоит только из одной строки, то она называется матрицей-строкой.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Если в матрице А поменять строки на столбцы, а столбцы — на соответствующие строки, то полученную матрицу называют транспонированной и обозначают А T .

Если определитель квадратной матрицы равен нулю , то матрица А называется вырожденной (или особенной) и при — невырожденной (или неособенной).
матрица вида
А =
а матрица
А =

Матрицу
A =

называют матрицей трапецеидального вида, если одновременно a₁₁, a₂₂, . a_jj отличные от нуля.

Пример 1. Заданs матрицы:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
Здесь:
1) A — прямоугольная матрица размерности 2 × 3,
2) A T — транспонированная матрица к матрице A;
3) B — матрица-столбец;
4) C — матрица-строка;
5) D — диагональная матрица четвертого порядка;
6) О — нулевая матрица второго порядка.

Пример 2. Для изготовления пяти видов елочных украшений на фабрике тратится определенное количество материала. Конкретные цифровые данные указаны в таблице:
Охарактеризовать содержание строк и столбцов этой таблицы.

Решение. Указанные 15 чисел можно записать в виде прямоугольной матрицы размерности 3 × 5.

Каждые строка и столбец этой матрицы имеют определенный экономический смысл. Так, элементы первой строки указывают количество израсходованного стекла (в кг) на изготовление каждого из пяти видов елочных украшений. Числа второй строки указывают на потребности в количестве железных прищепок, необходимых для изготовления этих изделий. Элементы третьей строки характеризуют потребности в краске (в кг), которая используется при изготовлении соответствующего вида продукции.

Столбцы матрицы указывают на конкретное количество стекла, железных прищепок и краски, которые нужны на изготовление каждого из пяти видов елочных украшений. Так, например, элементы третьего столбца означают, что на изготовления украшений третьего вида нужно 2,8 кг стекла, 185 шт. железных прищепок и 1,4 кг краски.

Пример 3. Цены на некоторые виды товара характеризуются в гривнах, долларах США (USD), евро (EUR), английских фунтах (GBR) и рублях России (RUR).

Охарактеризовать содержание отдельных элементов таблицы.
Решение. Числовые данные этой таблицы можно записать в виде прямоугольной матрицы:

Каждый элемент имеет определенный экономический смысл. Например, элемент a₂₁ значит, что женская кофта стоит 120 гр., элемент a₃₂ означает, что спортивный костюм стоит 60,4 долларов США, а элемент a₄₄ указывает на цену сапог в 52,4 английских фунтов. Элементы, например, первой строки определяют цены мужской куртки в различных денежных единицах: 1230 грн.; 232,1 долларов США; 238,8 евро; 155,3 английских фунтов; 7318,5 российских рублей.

Действия над матрицами

Пусть заданы две матрицы одной размерности m × n:

Определение. Суммой (разностью) двух матриц А и В называется такая матрица С размерности m × n, элементы которой с_ij равны алгебраической сумме (разности) соответствующих элементов a_ij и b_ij матриц А и В, то есть:

Из этого определения вытекают свойства:
1. A + B = B + A (коммутативность)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (ассоциативность)
3. A ± 0 = 0 ± A = A (нейтральность)
4. (A ± B) T = A T ± B T (транспонированность).

Пример 1. Найти сумму и разность матриц.

Пример 2. Три магазина «Продтовары» продают продукты в течение рабочего дня. Данные о торговле двух смен характеризуются таблицами:
I смена:

II смена

Найти данные о совокупной однодневной продаже товара каждым магазином.

Решение. Содержание этих таблиц можно записать в виде двух прямоугольных таблиц:

Сумма этих двух матриц характеризует данные о совокупную однодневную продажу каждого из видов продукции:

Определение. Произведением матрицы A на число k (или числa k на матрицу A) называется матрица, элементами которой являются произведения элементов матрицы A на число k:

A ⋅ k = k ⋅ A = k ⋅
Из определения произведения матрицы на число (или числа на матрицу) вытекает, что
1. k (mA) = (km) A;
2. (k + m) A = A (k + m) = kA + mA = Ak + Am;
3. λ (A + B) = λA + λB;
4. λA = 0, если λ = 0;
5. λA = 0, если A = 0.

Пример 3. Найти матрицу 4A, если матрица
A =
Решение. Согласно определению, получим:
4A =

Пример 4. Вычислить матрицу C = 2A – 4B, если

Решение. Использовав формулу умножения матрицы на число и формулу вычитания матриц, получим:

Пример 5. Предприятие производит три вида продукции А, В, С. Нормы затрат ресурсов на единицу продукции заданы в таблице:

Найти затраты ресурсов на изготовление 6 комплектов продукции.

Решение. Затраты ресурсов на производство единицы продукции можно представить в виде матрицы:

A =

Каждый элемент матрицы имеет определенный экономический смысл. Например, a₂₁ = 2 означает, что на изготовление единицы вида продукции A расходуется 2 кг сырья Y; элемент a₁₂ = 4 означает, что для изготовления единицы вида продукции B нужно потратить 4 шт. единиц сырья X.
Очевидно, что для нахождения затрат на изготовление 6 комплектов продукции, нужно вычислить матрицу 6 A, то есть
6A = 6
Замечание. Умножение матрицы на число отличается от умножения определителя на число. Матрицу умножают на число k, умножив все ее элементы на это число. Если определитель умножается на число k, то умножают на него все элементы одной какой-нибудь строки (или столбца).

Пусть матрица A содержит m строк и p столбцов, а матрица B имеет p строк и n столбцов.

Определение. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы с_ij которой равны сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, то есть c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + . + a_ip b_pj (i = 1, 2, . m; j = 1, 2, . n).

Произведение матрицы A на матрицу B обозначают АВ (A × B). Умножение матрицы A на матрицу B выполняется по следующей схеме:

Здесь элемент c_ij находят как скалярное произведение элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Произведение матриц характеризуется свойствами:
1. AE = EA = A;
2. A⋅ 0 = 0 ⋅ A = 0;
3. AB ≠ BA (некоммутативность)
4. (AB) C = A (BC) (ассоциативность)
5. C (A+B) = CA + CB , (A+B) C= AC + BC (дистрибутивность)
6. (A ⋅ B) T = B T ⋅ A T .
Это свойство имеет место для произвольного числа множителей

7. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Пример 6. Найти произведения AB и BA, если

и убедиться, что AB ≠ BA.

Решение.
AB =
аналогично
BA =
Отсюда следует, что AB ≠ BA.

Пример 7. Найти произведение AB, если

Решение.
AB =
(Здесь произведение BA неопределенный, так как количество столбцов первой матрицы не равно количеству строк второй матрицы).

Пример 8. Найти произведение AE, если
A =

Решение.
AE =


(Легко убедиться, что имеет место и равенство EA = A).

Пример 9. Найти произведение AB, если

Решение. Произведение этих матриц возможен, поскольку количество столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Получим
AB =
Пример 10. Дана матрица:
A = Найти А 2 .
Решение.
А 2 = A ⋅ A =

=

Замечание 1. Произведение двух матриц может быть нулевой матрицей и тогда, когда каждая из матриц сомножителей не является нулевой.

Пример 11. Найти произведение матриц:
A ⋅ B =

=

Замечание 2. Произведением двух диагональных матриц одного и того же порядка является диагональная матрица того же порядка.

Пример 12. Найти произведение диагональных матриц:

Тогда
A⋅ B =

Для таких двух матриц произведение коммутативно:
A⋅ B = B⋅ A.

Пример 13. Торгово-строительная компания заключила договор на строительство 6 жилых домов, 3 офисных зданий и 4 домов отдыха. Цены на отдельные виды материалов следующие: кирпич — 32 у.е./тыс. шт., цемент — 300 у.е./т., лес круглый — 44 у.е./м 3 , оцинкованное железо — 6 у.е./м 2 , стекло — 5 у.е./м 2 .

Информация о количестве материалов на каждый вид строительства представлена ​​в таблице:

Необходимо найти:
1) общее количество материалов;
2) цену материалов для каждого вида строения;
3) общую стоимость материалов.

Решение. 1) Запишем в виде матрицы А данные, которые характеризуют количество материалов на каждый вид строения, а данные об их ценах — в виде матрицы-столбца С.

Обозначим данные о договоре, заключенном на строительство сооружений через
Чтобы найти общее количество материалов для строительства, нужно перемножить матрицы В и А и найти произведение BA, то есть

BА =

Таким образом, для выполнения договора на строительство 6 жилых, 3 офисных и 4 домов отдыха компания должна приобрести 960 тыс. шт. кирпича; 116 т цемента; 506 м 3 круглого леса; 2580 м 2 оцинкованного железа и 1780 м 2 стекла.
2) Чтобы найти общую стоимость материалов для каждого вида строительства, нужно перемножить матрицу А на матрицу-столбец С, составленную из чисел, характеризующих цены на соответствующие материалы:

Стоимость материалов для строительства жилого дома составляет 8860 у.е., для строительства офиса — 9348 у.е. и для строительства дома отдыха — 7740 у.е.

3) Для того, чтобы найти общую стоимость строительства согласно договора 6 жилых, 3 офисных и 4 домов отдыха нужно найти произведение матриц

Это же число можно получить еще так:

Таким образом, общая стоимость всего здания составляет 112 164 у.е.

Обратная матрица

Определение 1. Квадратная матрица А n-го порядка называется невырожденной (или неособенной), если ее определитель не равен нулю.

Определение 2. Квадратная матрица А n-го порядка называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю.

Определение 3. Матрица А -1 называется обратной матрицей для квадратной невырожденной матрицы А, если выполняются равенства AA -1 = A -1 A = E.

ТЕОРЕМА. Если матрица А n-го порядка невырожденная, то для нее существует обратная матрица А -1 .

Доказательство. Пусть задана квадратная невырожденная матрица А, то есть ее определитель ≠ 0.
A =
Рассмотрим другую матрицу
В =
где A_ij — алгебраические дополнения элементов a_ij матрицы A.
Найдем произведение АВ:
АВ = = C .

Если i ≠ j, то есть выражение, которое является суммой произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения элементов другой строки определителя матрицы А. По теореме аннулирования эта сумма равна нулю.

Если i = j, то выражение c_ii = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + . + a_inA_in представляет собой сумму произведений элементов произвольной строки на соответствующие алгебраические дополнения этой строки определителя матрицы А. По теореме Лапласа такая величина равна определителю матрицы .

То есть матрица С имеет вид

С =

Если каждый элемент этой матрицы С разделить на (т.е. умножить ее на ), то получим единичную матрицу Е, то есть

Это доказывает теорему.

Итак, обратная матрица имеет вид:

Дадим схему нахождения обратной матрицы для заданной квадратной невырожденной матрицы.
1. Вычислим определитель матрицы .
2. Транспонирует матрицу A, то есть получаем матрицу:

3. Находим алгебраические дополнения каждого элемента транспонированной матрицы А Т и запишем их в виде матрицы А П :

4. Делим каждый элемент матрицы А П на определитель матрицы A, то есть умножим число
на матрицу А П . Полученная матрица будет обратной:

Матрица А П , которая составлена ​​из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, называется присоединенной (или союзной) к матрице A.

Замечание 1. Присоединенная матрица будет иметь такой же вид A П , если транспонировать матрицу, составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы A.

Пример 1. Найти обратную матрицу для матрицы
A =
и показать, что AA -1 = A -1 A = E.

Решение. Определитель этой матрицы

Транспонированная матрица A Т имеет вид

Найдем алгебраические дополнения каждого элемента этой матрицы

Присоединена матрица будет такой:

Обратная матрица А -1 для заданной матрицы А имеет вид

Легко проверить, что

Пример 2. Найти обратную матрицу для матрицы
A =

Решение. Вычислим определитель этой матрицы:

Поскольку , то есть матрица A вырождена, то обратной для нее не существует.
Замечание 2. Квадратная невырожденная матрица второго порядка имеет обратную A -1 , и она находится по формуле:

Пример 3. Найти обратную матрицу к матрице
A =
Решение. Заданная квадратная матрица второго порядка невырожденная, поскольку ее определитель

поэтому обратная к матрице A существует, и ее можно найти по предыдущей формуле:

Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу размерности m × n (1.2).

Определение. Рангом матрицы называется самый высокий порядок отличных от нуля миноров. Его обозначают через r (или rang (A)).

Из определения вытекают следующие свойства ранга матрицы.

1. Ранг матрицы равен нулю только тогда, когда матрица нулевая. В других случаях ранг матрицы равен некоторому положительному числу.

2. Ранг прямоугольной матрицы не превышает меньшего из двух чисел m и n, то есть 0 ≤ r ≤ min (m, n).

3. Для квадратной матрицы n-го порядка r = n только тогда, когда матрица невырожденная.

4. Если r

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Примеры решения матриц с ответами

Простое объяснение принципов решения матриц и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения матриц

Матрица – это математическая таблица с числовыми значениями. Обозначаются матрицы латинскими буквами.

Есть два отличия между матрицами:

1. Комплексные матрицы. Это когда хотя бы одно число равно комплексному.
2. Действительные матрицы. Это когда в матрице содержаться действительные числа.

С матрицей можно выполнять самые наипростейшие действия: умножение, деление, сложение, вычитание и трансформация.

Сложение и вычитание

Данные действия можно совершать тогда, когда матрицы равны между собой, чтобы в конце получилось выражение аналогичной размерности. Сложение и вычитание выполняются по аналогии друг друга.

Задание

Даны две матрицы, найдите их сумму.

Решение

Элемент первой строки складывается с элементом второй. Абсолютно также совершается вычитание, только вместо плюса, нужно поставить минус.

Задание

Даны две матрицы, найдите их разность.

Решение

Задание

Найдите C=2A +3B, если :

Решение

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Умножение

В математике умножать таблицу с числами можно абсолютно любую. В таком случае число умножается с показателем. Умножаем первое число на первой строке с числом второго столбца и так далее.

Задание

Даны две матрицы. Умножьте их друг на друга.

Решение

Матрицы можно перемножать друг на друга, только если количество столбцов в первой матрице, равно количеству строк второй. Элемент матрицы будет равняться сумме произведений (Aji), где i – строки в таблице; j – строки чисел второй таблицы.

Возведение матрицы в степень

Данную формулу используют лишь в случаях, если матрица стоит в квадратном выражении. Важно знать, что степень должна быть у таких выражений натуральной!

Если число не будет натуральным, то это усложняет возведение матрицы в степень, так как степень n придётся умножить саму на себя n количество раз. Но если у Вас такой случай, то используется следующая формула.

Задание

Решение

В первую очередь найдём, для этого нужно будет просто умножить её саму на себя.

После по формуле подставляем числовые значения.

Расчёт определителя

В математике линейной есть два понятия – определитель и детерминант. Определитель – это какое-либо число, которое ставится в соответствии с квадратной матрицей. Определитель используется при решении многих задач. Найти его можно с помощью формулы.

А детерминант находиться с помощью перемножения простых матриц, используются числа только с побочной и главной диагоналях.

Есть вероятность, что произведения матрицы будут значительно отличаться друг от друга. Если индекс чётный, то число будет со знаком плюс, если нечётный, то число будет со знаком минус. Обозначается определитель det А, а круглые скобки меняются на квадратные.

Дано

Решение

Пользуемся свойствам степеней – A^<3>=A^<2>*A

Далее используем свойство степеней

Ответ

Задание

Найдите определитель матрицы А.

Решение

Обратная матрица

Перед тем, как речь непосредственно пойдёт о самой обратной связи матрицы, давайте разберём алгоритм трансформирования матрицы. Во время трансформации столбцы и строки меняются местами.

Задание

Найти обратную матрицу А.

Решение

Приписываем к матрице А матрицу третьего ряда.

Переводим всё в единичную матрицу.

Ответ

Обратная матрица

Обратная матрица схожа с алгоритмом нахождения обратных чисел. К примеру, если умножить матричную таблицу на обратную матрицу, то в итоге мы получаем A*A(-1)=E. Но чтобы перейти уже к нахождению обратной матрицы, нам придётся найти её определитель. Мы рассмотрим самый простой способ – алгебраических дополнений.

Задание

В пример возьмём квадратную матрицу, она находиться с помощью следующей формулы:

-транспортированные матрицы;|А| – определитель.

Рассмотрим самый простейший пример, где размер таблицы 2*2.

Найти обратную матрицу

Решение

Для начала находим определитель матрицы.

Если ответ равен нулю, то обратной матрицы нет! Так как наш ответ равен -2, то всё в порядке. Следующим действием нам нужно будет рассчитать матрицу миронов. Таблица элементов при этом не изменяется. Где прописан нужным нам элемент, нужно вычеркнуть строчку или столбец, оставшееся число и будет являться мироном.

Подставляем числа, возвращаясь к матрица, которая указана выше.

Всегда начинаем с левого верхнего угла и делаем следующее:

← линиями показано, что нужно и как зачеркнуть.

Как итог, у нас остаётся число 4

Теперь мы переходим к нахождению алгебраических дополнений.

Первым делом нужно поменять знаки у двух чисел в мироне.

← подчёркнуты те числа, у которых мы будем менять знаки.

, вот что у нас получилось.

И наконец-то мы переходим к завершающему этапу, к нахождению транспортированной матрице.

, вспоминаем формулу нахождения, и подставляем числовые значения

В завершении желательно проверить правильно ли мы нашли числовую таблицу. Это делать не обязательно, но рекомендуется, чтобы удостовериться в том, то ответ верный.

Задание

Найдите матрицу А.

Решение

Начинаем с определения матрицы.

Дело осталось за малым – осталось начти алгебраическое дополнение матрицы А: