Диф уравнение поступательного движения твердого тела

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела

Из теоремы о движении центра тяжести системы получаем дифференциальное уравнение для поступательного движения твердого тела. У нас есть L / ac = EAe). Однако при перемещении твердого тела ускорение во всех точках тела одинаково по модулю и направлению, то есть ac — a.

Некоторые представления о напряженном состоянии системы в заданном направлении можно вывести из силы смещения, которую можно назвать коэффициентом жесткости в заданном положении. Людмила Фирмаль

Где a — ускорение в любой точке тела. Учитывая это, из теоремы о движении центра тяжести получено следующее дифференциальное уравнение для поступательного движения тела в векторной форме: AW-Å † Когда проецируется на оси, это выглядит так: Mx = EFL; My = bFly, Mz = ZFL.

Это дифференциальные уравнения для поступательного движения твердого тела в проекции на декартовы оси. В этих уравнениях x, y и z являются координатами любой точки на теле, в частности, они являются координатами их центроидов. Поскольку поступательный объект имеет три степени свободы, он может составлять три дифференциальных уравнения движения.

Полное решение этой системы обыкновенных неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом состоит из общего решения однородных систем, полученного в задаче 18. Людмила Фирмаль

Дифференциальное уравнение для поступательного движения твердого тела аналогично дифференциальному уравнению для движения одной материальной точки. Эти уравнения могут быть использованы для решения той же проблемы, что и одна точка.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Поступательное движение твердого тела в теоретической механике

Содержание:

Поступательное движение твердого тела:

До сих пор мы изучали движения одной материальной точки. Перейдем теперь к изучению движения твердого тела. Начнем с изучения простого вида движения тела—поступательного, а затем рассмотрим более сложные виды его движений.

Движение тела называется поступательным, если любая прямая, неизменно связанная с телом, перемещается параллельно самой себе. Примерами поступательного движения тела могут служить движение кузова вагона на прямолинейном участке пути, движение поршня внутри цилиндра и пр.

Пусть тело А (рис. 160) движется поступательно.

Возьмем две любые точки твердого тела

Выразим скорости точек по формуле (72):

Но так как , то

в силу того, что

Отсюда следует, что при поступательном движении тела все его точки описывают конгруэнтные кривые, имеют равные скорости, а следовательно, и равные ускорения.

Поэтому, изучение поступательного движения тела может быть сведено к изучению движения одной его какой-либо точки. Следовательно, все выводы, полученные при исследовании движения одной точки, могут быть распространены на случай поступательного движения тела.

Задача:

Клавиша соломотряса АВ соединена шарнирно в точках А и В с одинаковыми кривошипами OA и делающими вокруг осей постоянное число оборотов 240 об/мин (рис. 161).

Определить скорость и ускорение любой точки М клавиши, если .

Решение. При равенстве длин кривошипов и одинаковом числе их оборотов клавиша АВ движется поступательно, а поэтому точка М движется тождественно с точками А и В. Скорость и ускорение точки А находим по формулам (89) и (91):

но так как по формуле (94):

Скорость и ускорение точки М, равные скорости и ускорению точки А, показаны на рисунке 161.

Поступательное движение твердого тела

Поступательным движением называют такое движение твердого тела, при котором любая прямая, взятая в теле, остается параллельной своему начальному направлению

Поступательное движение тела и его уравнение

Наиболее простым движением твердого тела является поступательное движение. Соединим две какие-либо точки тела отрезком прямой. При поступательном движении тела этот прямолинейный отрезок передвигается параллельно самому себе, не изменяя своего направления. Движение тела называют поступательным, если каждая проведенная в теле прямая сохраняет свое направление.

Для выяснения вопроса, является ли данное движение поступательным, нет необходимости проводить в теле множество прямых и проверять, не меняет ли . каждая из них своего направления во время движения тела. Движение тела вполне определяется движением трех его точек, не лежащих на одной прямой. Следовательно, нужно провести минимум две прямые; конечно, эти прямые должны быть непараллельны между собой.

Из определения видно, что поступательное движение может совершать только тело. Одна точка не может двигаться поступательно. Вместе с тем поступательное движение твердого тела вполне характеризуется движением любой из его точек.

Если тело движется поступательно, то все его точки описывают одинаковые траектории.

Пусть некоторое тело совершает поступательное движение относительно системы координат хОуz (рис. 97, а), которую мы примем за неподвижную и будем называть основной системой отсчета. Отметим в этом теле какую-либо точку Е, движущуюся вместе с телом. Не обращая пока внимания на прочие точки тела, рассмотрим движение точки Е, которое, как движение всякой точки, определяется уравнениями

Давая аргументу t последовательные значения, получим положения точки Е, геометрическое место которых является ее траекторией. На рис. 97 траектория не изображена.

Рис. 97

Проведем теперь в теле через E три взаимно перпендикулярные оси (рис. 97, б), которые назовем подвижной системой отсчета, или подвижными осями координат. Для простоты доказательства в этом параграфе подвижные оси взяты параллельными неподвижным. Подвижные оси передвигаются вместе с телом относительно основных осей, оставаясь им параллельными, по условию поступательного движения.
Отметим в теле какую-либо другую точку К (рис. 97, в), координаты которой относительно подвижных осей обозначим x’κ, y’κ и z’, а относительно основных:

Обратим внимание на то, что координаты x’_K, y’_K и z’_K точки К относительно подвижных осей постоянны, потому что и точка К и подвижные оси взяты в одном и том же твердом теле. Следовательно, при всяком положении поступательно движущегося тела координаты точек E и K отличаются друг от друга на постоянные величины. Отсюда следует, что траектории точек E и К одинаковы и одинаково ориентированы относительно основной системы координат xОyz. Поскольку точки выбраны нами произвольно, доказанное относится к любым точкам тела.

Если определять движение тела по движению его точек, то можно определить поступательное движение тела как движение, при котором перемещения всех точек тела за один и тот же произвольно выбранный промежуток времени равны между собой.

Именно поэтому поступательное движение иногда различают по траекториям, описываемым точками тела. Так, например, говорят, что спарник паровой машины, установленной на фундаменте, совершает круговое поступательное движение; это означает, что все точки спарника описывают одинаковые окружности. Говорят, например, что поршень совершает прямолинейное поступательное движение; это означает, что все точки поршня описывают одинаковые и параллельные прямолинейные траектории.

Задача:

Определить движение спарника тепловоза на прямолинейном участке пути.

Решение. Спарник AB (рис. 98) — это стержень, соединенный шарнирами А и В с кривошипами OA и O1B равной длины. Длина спарника равна расстоянию между осями О и O₁. Такой механизм O₁OAB называют шарнирным параллелограммом. Противоположные звенья его, как противоположные стороны всякого параллелограмма, параллельны между собой: AB ∣∣ OO₁.

При заданном движении тепловоза точки О и O₁ движутся прямолинейно и прямая AB не меняет своего направления, т. е. движется поступательно. (При повороте тепловоза или при изменении уклона железнодорожного пути поступательное движение нарушается.) Все точки спарника описывают одинаковые траектории — укороченные циклоиды.

Ответ. Движение спарника AB поступательное.

Задача:

Круг l радиуса r₁ (рис. 99, а) движется поступательно, постоянно соприкасаясь с неподвижным кругом ll радиуса r₂. Найти траекторию любой точки круга l.

Рис. 99

Решение. Возьмем на подвижном круге l произвольную точку К и соединим с ней центр E подвижного круга отрезком EK (рис. 99, б). От центра О неподвижного круга ll отложим отрезок При поступательном движении круга l отрезок EK, как всякая прямая, проведенная в поступательно движущемся теле, не меняет своего направления и остается равным и параллельным неподвижному отрезку OO_K. Соединив точку О с точкой Е, а точку О_K — с точкой К, получим параллелограмм KE00_K, в котором

Следовательно, при поступательном движении круга l по кругу ll точка К движется, оставаясь на постоянном расстоянии r₁ + r₂ от неподвижной точки О_K, т. е. описывает окружность.

Ответ. Точки круга l описывают окружности радиуса r₁ + r₂.

Задать движение тела — это значит дать положение всех его точек для каждого мгновения. Мы видим, что при поступательном движении твердого тела все его точки движутся одинаково и движение всего тела вполне характеризуется движением какой-либо из его точек. Следовательно, уравнения движения точки E являются одновременно и уравнениями поступательного движения тела.

Часто даже в тех случаях, когда движущееся тело не является твердым, пренебрегают движением некоторых его частей по отношению к другим частям и рассматривают движение системы как по ступательное движение абсолютно твердого тела. Например, движение поезда иногда принимают за поступательное, пренебрегая вращением колес, движениями частей машины и т. п.

Если тело движется поступательно, то все его точки имеют одинаковые скорости

Скорости точек поступательно движущегося тела

Чтобы определить проекции скорости произвольной точки К поступательно движущегося тела на неподвижные оси координат, продифференцируем по времени уравнения (79), помня, что xκ, ук и z’κ постоянны. Найдем

Отсюда следует, что равны и полные скорости (64), и направляющие косинусы (62), иными словами, что равны векторы скоростей точек E и К:
(80 / )

Поскольку эти точки взяты произвольно, доказанное относится к любым точкам тела, а потому во всякое мгновение скорости всех точек поступательно движущегося тела одинаковы.

Одинаковость скоростей не следует понимать как их постоянство, как неизменяемость во времени. Если тело движется поступательно, то в данное мгновение скорости всех точек тела одинаковы; с течением же времени скорости могут измениться. Но если изменится скорость одной точки, то на столько же изменятся скорости всех других точек тела, и они опять-таки останутся одинаковыми.

Одинаковость скоростей всех точек тела — необходимый, но недостаточный признак поступательного движения тела.

Может оказаться, что в какое-либо мгновение скорости всех точек тела одинаковы, но в следующее мгновение они различны. Так, например, движение шатуна AB кривошипно-ползунного механизма не является поступательным, но при некоторых положениях механизма (рис. 100) скорости всех его точек одинаковы.

Рис. 100

Если тело движется поступательно, то все его точки имеют одинаковые ускорения

Ускорения точек поступательно движущегося тела

Продифференцировав по времени (80), найдем

откуда следует, что равны векторы ускорений обеих точек:

(81′)

Траектории точек K и E одинаковы и одинаково расположены, а потому к написанным равенствам надо присоединить еще следующие:
a_KT = a_ET и a_KN=a_EN

Во всякое мгновение ускорения всех точек поступательно движущегося тела одинаковы. В этой теореме, как и в предыдущей, одинаковость не надо понимать как неизменяемость с течением времени.

Рекомендую подробно изучить предмет:

Теоретическая механика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Сферическое движение твердого тела
Плоско-параллельное движение твердого тела
Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку
Момент силы относительно точки и относительно оси
Теория пар, не лежащих в одной плоскости
Произвольная пространственная система сил
Центр параллельных сил и центр тяжести

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Из общих теорем динамики можно получить дифференциальные уравнения движения твердого тела. При поступательном движении твердого тела все его точки движутся так же, как и центр масс. Поэтому дифференциальные уравнения поступательного движения получим из теоремы о движении центра масс: ; ; , (14.1) где М—масса тела;

, , — проекция главного вектора внешних сил на оси координат. Используя дифференциальные уравнения (14.1), можно решать две задачи динамики поступательного движения твердого тела:

1. по заданным уравнениям движения тела определять главный вектор внешних сил, приложенных к твердому телу;

2. по заданным внешним силам, действующим на тело, и известным начальным условиям определять закон движения тела, если оно движется поступательно;

Таким образом, изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения одной его точки – центра масс тела.

Из теоремы об изменении кинетического момента системы относительно оси (10.15) с учетом (10.6) можно получить дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела или . (14.2) Уравнение (14.2) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела, с помощью которого можно решать следующие задачи:

1. по заданному уравнению вращения тела и известному моменту инерции определять главный момент внешних сил, действующих на тело: ;

2. по заданным внешним силам, приложенным к телу, и известным начальным условиям вращения и и моменту инерции находить уравнение вращения тела ;

3. по заданному закону вращательного движения тела и известному моменту внешних сил определять момент инерции тела относительно оси вращения.

Если к твердому телу приложен постоянно действующий момент внешних сил, то угловое ускорение тела также будет постоянным, т.е. может вращаться равноускоренно или равнозамедленно. Решение задачи целесообразно проводить в следующем порядке:

1. изобразить тело, вращение которого рассматривается;

2. приложить все активные силы и моменты, действующие на тело;

3. освободить тело от связей, заменив их реакциями;

4. составить уравнение вращательного движения;

5. решить полученное уравнение в соответствии с условием задачи.

Рисунок 46

К ведущему валу ременной передачи (рис. 46) приложен вращающий момент М_вр=200н/м. Натяжение ведущей и ведомой ветви ремня соответственно равны: Т₁=1500Н, Т₂=750Н. Определить момент трения в опорах ведущего вала, если вал вращается в соответствии с уравнением

, радиус шкива R=0,25м, масса вала со шкивом m=5кг и радиус инерции

=0,15м.

1. На вал действует сила тяжести , вращающий момент М_вр, момент трения в опорах М_тр, реакции опор , , , , натяжение ведущей и ведомой ветвей ремня.

2. Составим дифференциальное уравнение вращательного движения вала . (1) Момент инерции кгм 2 . Момент внешних сил относительно оси вращения . (2) Зная закон вращательного движения, определим угловое ускорение вала . (3) Выразим момент трения в опорах из уравнения (2) с учетом (1) и (3):

Нм.

Так как плоское движение твердого тела состоит из поступательного движения с центром масс и вращения вокруг оси, проходящей через центр масс, то дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела имеют вид: ; ; . (14.3) Первые два уравнения описывают поступательную часть движения тела вместе с центром масс. Третье уравнение выражает закон вращения тела вокруг оси, проходящей через центр масс. При решении задач динамики плоского движения твердого тела необходимо:

1. изобразить все внешние силы, приложенные к телу;

2. выбрать систему координат и определить положительное направление отсчета угла поворота ;

3. составить дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела;

4. решить систему уравнений в соответствии с условием задачи.

Барабан радиуса R весом

представляет собой ступенчатый цилиндр с радиусом r=0,6R (рис. 47). К концу намотанной на барабан нити приложена постоянная сила

, направление которой задано углом

. Кроме силы

к барабану приложена пара сил с моментом М=0,3РR. Барабан приводит в движение из состояния покоя и катится без скольжения по шероховатой горизонтальной поверхности. Пренебрегая сопротивлением качения, определить закон движения центра масс С барабана , т.е.

и наименьшее значение коэффициента

трения f о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.

1. Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием заданных сил: , и момента М. Полная реакция шероховатой поверхности состоит из нормального давления и силы трения , направленной вдоль горизонтальной шероховатой поверхности. Так как направление движения барабана под действием приложенных сил заранее не известно, направление силы трения показываем произвольно.

;

; (1)

2. Составим дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения барабана:

или ; (2)

; (3)

. (4)

3. Определение уравнение движения центра масс барабана. Так как , , то уравнение (2), (3) и (4) содержат 4 неизвестных величины: N, F_тр, , . Так как центр масс барабана движется по прямолинейной траектории, . Мгновенный центр скоростей барабана находится в точке В: ; ; следовательно, . (5) Момент инерции однородного цилиндра . Подставив (5) в (4), и разделив на R, получим ;

. (6) Сложив равенства (2) и (6), получим (7) или . (8) Дважды проинтегрируем уравнение (8): ; (9)

. (10) Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определим из начальных условий:

x_C₀=0; C₂=0 . Окончательное уравнение движения центра масс барабана имеет вид: х_с=-0,266gt 2 . (11) Знак «-» показывает, что движение барабана происходит в направлении противоположном положительному направлению оси х.

4. Определение f_min.

При качении без скольжения сила трения удовлетворяет неравенству: . (12) Величину нормального давления N определим из уравнения (3): ; . Значение силы трения F_тр определим из уравнения (6), подставив в него значение : . Подставляя полученное значение силы трения в неравенство (12), получим , откуда . Следовательно, наименьшее значение коэффициента трения, при котором возможно качение барабана без скольжения f_min=0,38.

источники:

http://www.evkova.org/postupatelnoe-dvizhenie-tverdogo-tela-v-teoreticheskoj-mehanike

http://mydocx.ru/7-83742.html