Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.
Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):
- Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
- В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса
Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.
Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.
Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.
Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.
Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).
Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)
Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.
Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:
- Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
- Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
- Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.
Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма
Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.
Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):
- Магнитных монополей не существует.
- Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
- На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.
Уравнение 4: Закон Ампера
Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.
Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.
Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме
Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.
Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)
Это же уравнение в интегральной форме:
Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).
Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)
И это же уравнение в интегральной форме:
Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.
Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма
И это же уравнение в интегральной форме:
Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.
Уравнение 4: Закон Ампера
И это же уравнение в интегральной форме:
Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.
Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме
Вы будете перенаправлены на Автор24
Введение тока смещения позволило Дж. Максвеллу создать теорию, которая объяснила все известные на тот момент явления из области электромагнетизма и позволила выдвинуть ряд новых гипотез, которые позднее были подтверждены.
В основу данной теории легли уравнения Максвелла, которые в электромагнетизме играют такую же роль, как начала в термодинамике или законы Ньютона в классической механике.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
В настоящей интерпретации система уравнений Максвелла имеет четыре структурных векторных уравнения:
Первое уравнение устанавливает связь между полным током (суммой тока проводимости и током смещения) и магнитным полем, которое они вызывают.
Второе уравнение является выражением закона электромагнитной индукции в интерпретации Максвелла (переменное магнитное поле — один из источников возникновения электрического поля).
Третье уравнение — указывает на факт отсутствия магнитных зарядов.
Четвертое уравнение говорит о том, что источниками электрического поля являются электрические заряды.
Уравнения (1) — (4) являются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме. Каждое из векторных уравнений эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые связывают компоненты векторов в правых и левых частях выражений.
Для того, чтобы применять систему уравнений Максвелла для расчета конкретных полей, уравнения данной системы дополняются материальными уравнениями, которые связывают векторы $\overrightarrow
где величины $\varepsilon $,$\ \mu $, $\sigma $ — материальные постоянные, характеризующие свойства среды.
Если уравнения (1) — (4) являются фундаментальными, то относительно уравнений (5) надо отметить, что они выполняются совсем не всегда. Так, если речь идет о нелинейных явлениях, получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.
Готовые работы на аналогичную тему
Уравнения Максвелла в интегральной форме
Систему структурных уравнений Максвелла можно представить в интегральной форме. Так, если проинтегрировать уравнение (1) по произвольной поверхности $S$:
По теореме Стокса левая часть выражения (6) преобразуется к виду:
где интеграл в правой части берется по контуру $L$, который ограничивает поверхность $S$. Если считать, что контур и поверхность неподвижны, то операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами в выражении (6) левой части, получим:
здесь интеграл $\int\limits_S<\overrightarrow>$ является функцией только от времени, поэтому можно заменить частную производную обычной. Интегрируя уравнение (2) подобным образом, получим второе уравнение системы Максвелла:
Если проинтегрировать уравнение (3) по объему $V$, и использовать для преобразования левой части теорему Остроградского — Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности $S$, которая ограничивает объем $V$, то получим:
Аналогичную процедуру проводят с уравнением (4). Получается:
Так получают систему уравнений Максвелла в интегральной форме:
Уравнения Максвелла применимы к поверхностям любого размера. Эти уравнения описывают электрические и магнитные поля в покоящихся средах.
Задание: Ток, текущий по обмотке прямого соленоида, который имеет радиус $R$, изменяется так, что модуль индуктивности магнитного поля внутри соленоида растет в соответствии с законом: $B=Ct^2,\ $где $C=const.$ Запишите функцию тока смещения $j_
Решение:
По определению, плотность тока смещения можно записать как:
Используя одно из уравнений системы Максвелла:
найдем напряженность электрического поля, которое порождается переменным магнитным полем, а зная связь напряжённости электрического поля и электрического смещения:
получим функцию $D(r)$.
Итак, используя уравнение изменения индукции магнитного поля из условий задачи, найдем частную производную $\frac<\partial \overrightarrow><\partial t>:$
Для $r \[2\pi rE=-\pi r^22Ct\to E=-rCt\to D=-C\varepsilon <\varepsilon >_0rt\to j_
Для $r>R$, из (1.2) — (1.4) получим:
Для $r=R$, из (1.2) — (1.4) найдем ток смещения:
Ответ: $j_
Задание: Запишите систему уравнений Максвелла для стационарных полей ($\overrightarrow
Решение:
В том случае, если поля стационарны, система уравнений максвелла распадается на две группы независимых уравнений. Первую группу составляют уравнения электростатики:
Вторая группа — уравнения магнитостатики:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 02 03 2021
http://spravochnick.ru/fizika/uravneniya_maksvella/uravneniya_maksvella_v_integralnoy_i_differencialnoy_forme/