Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Данная статья раскрывает смысл нахождения и алгоритм для общего решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с подробным просмотром их решений.
Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , неоднородное — y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) . F ( x ) , p ( x ) и q ( x ) являются функциями, которые непрерывны из интервала интегрирования x . Частным случаем принято считать p ( x ) = p и q ( x ) = q , то есть при наличии постоянных в записи функции.
Нахождение общего решения линейных дифференциальных уравнений
Общее решение y 0 для линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 из интервала x при наличии постоянных коэффициентов f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) , располагаемых на x , считают линейную комбинацию n линейно независимых частных решений ЛОДУ y j , j = 1 , 2 , . . . , n , где имеются произвольные коэффициенты C j , j = 1 , 2 , . . . , n , то есть y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j .
Общим решением y для линейного неоднородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) из интервала x при наличии коэффициентов f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и функции f ( x ) является сумма вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 , где y
считается одним из общих решений ЛНДУ.
Отсюда следует, что
- выражение y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 считается общим решением дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , а y 1 и y 2 считаются линейно независимыми частными решениями;
- y = y 0 + y
обозначают в качестве общего решения уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) , где y
принимает одно из любых частных решений, y 0 соответствует общему решению ЛОДУ.
После чего необходимо находить y 1 , y 2 и y
Если функции простые, то применяется метод подбора.
Линейно независимые функции y 1 и y 2 находятся из
1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 · x , e k 2 · x , . . . , e k n · x 3 ) e k 1 · x , x · e k 1 · x , . . . , x n 1 · e k 1 · x , e k 2 · x , x · e k 2 · x , . . . , x n 2 · e k 2 · x , . . . e k p · x , x · e k p · x , . . . , x n p · e k p · x .
Линейную независимость проверяют определителем Вронского вида W ( x ) = y 1 ( x ) y 2 ( x ) y 1 ‘ ( x ) y 2 ‘ ( x ) . Когда функции располагаются на интервале х , тогда такой определитель не равен 0 на заданном промежутке.
Когда имеются функции вида y 1 = 1 и y 2 = x , где x принадлежит множеству действительных чисел, то W ( x ) = 1 x 1 ‘ x ‘ = 1 x 0 1 = 1 ≠ 0 ∀ x ∈ R .
Функции вида y 1 = sin x и y 2 = cos x считаются линейно независимы на области действительных чисел, потому как W ( x ) = sin x cos x ( sin x ) ‘ ( cos x ) ‘ = sin x cos x cos x — sin x = = — sin 2 x — cos 2 x = — 1 ≠ 0 ∀ x ∈ R
Функции y 1 = — x — 1 и y 2 = x + 1 считаются линейно независимыми из интервала ( — ∞ ; + ∞ )
W ( x ) = — x — 1 x + 1 — x — 1 ‘ ( x + 1 ) ‘ = — x — 1 x + 1 — 1 1 = = — x — 1 + x + 1 = 0 ∀ x ∈ R
Не всегда можно подобрать y 1 , y 2 , y
. Поэтому следует использовать другой метод. При наличии ненулевого частного решения y 1 ЛОДУ второго порядка y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) , тогда общее решение находится понижением степени и подстановкой y = y 1 · ∫ u ( x ) d x .
Найти общее решение уравнение вида y » — y ‘ + y x = 0 .
Решение
Частное решение записывается как y 1 = x для дифференциального уравнения y » — y ‘ + y x = 0 , когда x не равен 0 . Необходимо перейти к понижению степени при помощи постановки. Тогда получим уравнение вида y = y 1 · ∫ u ( x ) d x = x · ∫ u ( x ) d x , а итоговое значение примет вид интеграла ∫ u ( x ) d x = y x .
По правилу дифференцирования произведения и свойству неопределенного интеграла получаем выражение вида
y ‘ = x · ∫ u ( x ) d x ‘ = x ‘ · ∫ u ( x ) d x + x · ∫ u ( x ) d x ‘ = = ∫ u ( x ) d x + x · u ( x ) = y x + x · u ( x ) y » = ∫ u ( x ) d x + x · u ( x ) ‘ = ∫ u ( x ) d x ‘ + x ‘ · u ( x ) + x · u ‘ ( x ) = = 2 u ( x ) + x · u ‘ ( x )
Производим подстановку в исходное выражение. Запишем равенство вида:
y » — y ‘ + y x = 0 ⇔ 2 u + x · u ‘ — y x — x · u + y x = 0 ⇔ 2 u + x · u ‘ — x · u = 0 ⇔ x · d u d x + u · — x + 2 = 0 ⇔ d u u = 1 — 2 x d x , u = 0
Интегрируем обе части выражения и получаем, что ln u + C 1 = x — 2 ln x + C 2 ⇔ ln u = x + ln 1 x 2 + C 2 — C 1 . Переходим к записи общего вида выражения. Тогда она примет вид u = C · e x x 2 с C являющейся произвольной постоянной.
Ответ: из выражения y = x · ∫ u d x очевидно, что общее решение заданного ЛОДУ примет вид y = x · C · ∫ e x x 2 d x = x · C · ( F ( x ) + C 3 ) , когда F ( x ) считается одной из первообразных функции e x x 2 .
Для решения неоднородного дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) нужно подбирать y
, если возможно найти y 1 и y 2 . Поиск общего решения производится при помощи метода вариации произвольных постоянных.
В таком случаем ЛОДУ принимает вид y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 . Преобразовывая произвольные постоянные для общего решения, ЛНДУ принимает вид y 0 = C 1 ( x ) ⋅ y 1 + C 2 ( x ) ⋅ y 2 , где производные неизвестных функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) можно определить из системы вида C 1 ‘ ( x ) · y 1 + C 2 ‘ ( x ) · y 2 = 0 C 1 ‘ ( x ) · y 1 ‘ + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ = f ( x ) , а получение самих функций производится путем интегрирования.
Найти общее решение уравнения y » — y = 2 x .
Решение
Для решения необходимо обратить внимание на его частные решения. Для ЛОДУ y » — y = 0 они являются y 1 = e — x и y 2 = e x , то есть выражение вида y 0 = C 1 · e — x + C 2 · e x . Изменяя постоянные, общее решение получит вид
y = C 1 ( x ) · e — x + C 2 ( x ) · e x .
Необходимо составить систему линейных уравнений и решить
C 1 ‘ ( x ) · y 1 + C 2 ‘ ( x ) · y 2 = 0 C 1 ‘ ( x ) · y 1 ‘ + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ = f ( x ) ⇔ C 1 ‘ ( x ) · e — x + C 2 ‘ ( x ) · e x = 0 — C 1 ‘ ( x ) · e — x + C 2 ‘ ( x ) · e x = 2 x
Чтобы разрешить ее, следует применить метод Крамера. Тогда
∆ = e — x e x — e — x e x = e — x · e x + e — x · e x = 2 ∆ C 1 ‘ ( x ) = 0 e x 2 x e x = — ( 2 e ) x ⇒ C 1 ‘ ( x ) = ∆ C 1 ‘ ( x ) ∆ = — 1 2 · 2 e x ∆ C 2 ‘ ( x ) = e — x 0 — e — x 2 x = 2 e x ⇒ C 2 ‘ = ∆ C 2 ‘ ( x ) ∆ = 1 2 · 2 e x
После интегрирования полученных выражений для того, чтобы найти C 1 ( x ) и C 2 ( x ) , запишем, что
C 1 ( x ) = — 1 2 · ∫ ( 2 e ) x d x = — 1 2 · ( 2 e ) x ln ( 2 e ) + C 3 = = — 1 2 · ( 2 e ) x ln 2 + 1 + C 3 C 2 ( x ) = 1 2 · ∫ 2 e x d x = 1 2 · 1 ln 2 e · 2 e x + C 4 = = 1 2 · 1 ln 2 — 1 · 2 e x + C 4
Ответ: общим решением для заданного уравнения получим уравнение вида
y = — 1 2 · ( 2 e ) x ln 2 + 1 + C 3 · e — x + 1 2 · 1 ln 2 — 1 · 2 e x + C 4 · e x .
Итоги
- Поиск общего решения ЛОДУ 2 порядка y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 выполняется из y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 считаются линейно независимыми частными решениями. Для подбора частных решений y 1 и y 2 чаще всего начинается с нахождения общего дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 . Когда подбор невозможен, тогда производится снижение порядка с помощью замены y = y 1 · ∫ u ( x ) d x , причем его решение приведет к общему виду ЛОДУ второго прядка.
- Поиск общего решения ЛНДУ 2 порядка вида y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) производится с помощью y = y 0 + y
является любым частным решением, а y 0 считают в качестве общего решения ЛОДУ. Нахождение y 0 , то есть общего дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , производится первоначально. После чего производится подбор y
. Если необходимо, то в начале производится подбор y 1 и y 2 для определения общего решения ЛНДУ с помощью применения метода вариации произвольных постоянных.
Лекция по высшей математике»Дифференциальные уравнения второго порядка»(для 26 гр.)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную (искомую) функцию у(х) , независимую переменную х , первую и вторую производные у’, у» или дифференциалы
Дифференциальное уравнение второго порядка символически можно записать в общем виде следующим образом:
Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной, имеет вид:
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает его в тождество. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет бесчисленное множество решений, которые можно представить в виде функции Эта совокупность решений называется общим решением .
Функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных С 1 и С 2 , называется частным решением . Частное решение находится при помощи задания начальных условий: у(х=х 0 )=у 0 и у'(х=х 0 )=у 0 ‘ , где х 0 , у 0 , у 0 ‘ – конкретные числа.
Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей Коши . Практически задачу Коши решают следующим образом: находят общее решение, затем в него подставляют начальные условия, получают систему двух уравнений, определяют произвольные постоянные С 1 и С 2 и подставляют их конкретные значения в общее решение.
2) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, которые позволяют понизить порядок уравнения и привести его к уравнениям первого порядка.
2.1. Дифференциальное уравнение вида
Правая часть уравнения не содержит у и у’ . Уравнение решается путем последовательного интегрирования. Найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):
Интегрируя еще раз, получим общее решение:
Пример 1. Найти частное решение уравнения при заданных начальных условиях у(х= 0 )= 1 и у'(х= 0 )= 1.
Решение. Последовательно интегрируя, найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):
Интегрируя еще раз, получим общее решение:
Так как мы интегрировали дважды, то получили две произвольные постоянные С 1 и С 2 . Подставляя начальные условия в соотношения (2.1) и (2.2), получим С 1 =1 и С 2 =1. Следовательно, частное решение имеет вид:
2.2. Дифференциальное уравнение вида
Правая часть уравнения не содержит искомой функции у . Уравнение решается с помощью подстановки:
где z – функция от х . Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка: .
Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
Пример 2. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные: Интегрируем:
Получаем промежуточное общее решение: или
Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
Интегрируя, получим общее решение:
Пример 3. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
Уравнение (2.3) является однородным и решается с помощью подстановки:
Подставляя (2.4) в (2.3), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Сокращаем на х и разделяем переменные:
Интеграл в левой части равенства (2.5) вычисляем методом замены переменной:
После интегрирования (2.5) получаем промежуточное общее решение:
Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или .
Разделяем переменные и интегрируем: (2.6)
Интеграл, стоящий в правой части, вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
После интегрирования (2.6) получим общее решение:
Пример 4. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
Уравнение (2.7) является линейным неоднородным и решается с помощью подстановки:
Подставляя (2.8) в (2.7), получим:
Квадратную скобку приравняем к нулю и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные и интегрируем: Получаем: или
Функцию подставляем в соотношение (2.9):
Сокращаем на х , разделяем переменные и интегрируем:
Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
Разделяем переменные и интегрируем:
Интеграл, стоящий в правой части (2.10), вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
После интегрирования (2.10) получим общее решение:
2.3. Дифференциальное уравнение вида
Правая часть уравнения не содержит независимой переменной х . Уравнение решается с помощью подстановки: или
где z – функция от у , т.е. z = z [ y ( x )] – сложная функция от х . Тогда :
Исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
где z – искомая функция, у – независимая переменная.
Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
Пример 5. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку:
Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
Сокращаем на z ( z ≠0) и разделяем переменные:
Получаем промежуточное общее решение: или
Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные: Интегрируя, получим общее решение:
3) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , (1)
т.е. уравнение, которое содержит искомую функцию и её производные только в первой степени и не содержит их произведений. В этом уравнении и — некоторые числа, а функция задана на некотором интервале .
Если на интервале , то уравнение (1) примет вид , (2)
и называется линейным однородным . В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным . Рассмотрим комплексную функцию , (3)
где и — действительные функции. Если функция (3) является комплексным решением уравнения (2), то и действительная часть , и мнимая часть решения в отдельности являются решениями этого же однородного уравнения. Таким образом, всякое комплексное решение уравнения (2) порождает два действительных решения этого уравнения.
Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:
Если есть решение уравнения (2), то и функция , где С – произвольная постоянная, также будет решением уравнения (2);
Если и есть решения уравнения (2), то и функция также будет решением уравнения (2);
Если и есть решения уравнения (2), то их линейная комбинация также будет решением уравнения (2), где и – произвольные постоянные.
Функции и называются линейно зависимыми на интервале , если существуют такие числа и , не равные нулю одновременно, что на этом интервале выполняется равенство
Если равенство (4) имеет место только тогда, когда и , то функции и называются линейно независимыми на интервале .
Пример 1 . Функции и линейно зависимы, так как на всей числовой прямой. В этом примере .
Пример 2 . Функции и линейно независимы на любом интервале, т. к. равенство возможно лишь в случае, когда и , и .
Построение общего решения линейного однородного уравнения.
Для того, чтобы найти общее решение уравнения (2), нужно найти два его линейно независимых решения и . Линейная комбинация этих решений , где и – произвольные постоянные, и даст общее решение линейного однородного уравнения. Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать
в виде , (5) ,где – некоторое число. Тогда , . Подставим эти выражения в уравнение (2):
Так как , то . Таким образом, функция будет решением уравнения (2), если будет удовлетворять уравнению . (6)
Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.
Пусть и есть корни этого уравнения. Они могут быть или действительными и различными, или комплексными, или действительными и равными. Рассмотрим эти случаи.
Пусть корни и характеристического уравнения действительные и различны. Тогда решениями уравнения (2) будут функции и . Эти решения линейно независимы, так как равенство может выполняться лишь тогда, когда и , и . Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид , где и — произвольные постоянные.
Пример 3 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Характеристическим уравнением для данного дифференциального будет . Решив это квадратное уравнение, найдём его корни и . Функции и являются решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .
Комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а называется мнимой единицей. Если , то число называется чисто мнимым. Если же , то число отождествляется с действительным числом .
Число называется действительной частью комплексного числа, а — мнимой частью. Если два комплексных числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части, то они зазываются сопряжёнными: ,
Пример 4 . Решить квадратное уравнение .
Решение . Дискриминант уравнения . Тогда . Аналогично, . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет сопряжённые комплексные корни.
Пусть корни характеристического уравнения комплексные , т.е. , , где . Решения уравнения (2) можно записать в виде , или , . По формулам Эйлера: , .
Тогда , . Как известно, если комплексная функция является решением лин. одн. ур-я, то решениями этого уравнения являются и действительная, и мнимая части этой функции. Таким образом, решениями уравнения (2) будут функции и . Так как равенство
может выполняться только в том случае, если и , то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид ,
где и — произвольные постоянные.
Пример 5 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Уравнение является характеристическим для данного дифференциального. Решим его и получим комплексные корни , . Функции и являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .
Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е. . Тогда решениями уравнения (2) являются функции и . Эти решения линейно независимы, так как выражение может быть тождественно равным нулю только тогда, когда и . Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид .
Пример 6 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Характеристическое уравнение имеет равные корни . В этом случае линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются функции и . Общее решение имеет вид .
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения: .
В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти довольно просто по виду правой части уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда это возможно.
Пусть неоднородное уравнение имеет вид , (7)
т.е. правая часть неоднородного уравнения является многочленом степени m . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде многочлена степени m , т.е. .
Коэффициенты определяются в процессе нахождения частного решения.
Если же является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде .
Пример 7 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Соответствующим однородным уравнением для данного уравнения является
. Его характеристическое уравнение имеет корни и .
Общее решение однородного уравнения имеет вид .
Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде функции . Найдём производные этой функции , и подставим их в данное уравнение :
или . Приравняем коэффициенты при и свободные члены: Решив данную систему , получим , . Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид , а общим решением данного неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:
Пусть неоднородное уравнение имеет вид (8)
Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Если же есть корень характеристического уравнения кратности k ( k =1 или k =2), то в этом случае частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид .
Пример 8 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Его корни , . В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде .
Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Найдём производные первого и второго порядков: ,. Подставим в дифференциальное уравнение: +,
Приравняем коэффициенты при и свободные члены:
Тогда частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Основные понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка и их решениях
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
где y — функция, которую требуется найти, а p(x) , q(x) и f(x) — непрерывные функции на некотором интервале (a, b) .
Если правая часть уравнения равна нулю ( f(x) = 0 ), то уравнение называется линейным однородным уравнением. Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю ( f(x) ≠ 0 ), то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (смотрите отдельный урок).
В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y» :
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и его решение
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
Если y 1 (x) и y 2 (x) — частные решения этого уравнения, то верны следующие высказывания:
1) y 1 (x) + y 2 (x) — также является решением этого уравнения;
2) Cy 1 (x) , где C — произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.
Из этих двух высказываний следует, что функция
также является решением этого уравнения.
Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то есть таким решением, в котором при различных значениях C 1 и C 2 можно получить все возможные решения уравнения?
Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения y 1 (x) и y 2 (x) .
И это условие называется условием линейной независимости частных решений.
Теорема. Функция C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y 1 (x) и y 2 (x) линейно независимы.
Определение. Функции y 1 (x) и y 2 (x) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:
Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W(x) :
.
Если определитель Вронского не равен нулю, то решения — линейно независимые. Если определитель Вронского равен нулю, то решения — линейно зависимымые.
Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .
Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .
Так как определитель Вронского
не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
где p и q — постоянные величины.
На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность — нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.
Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида
которое, как видно, является обычным квадратным уравнением.
В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать, что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю. Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.
Корни характеристического уравнения — действительные и различные
Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и — вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и — вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Корни характеристического уравения — вещественные и равные
То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
Пример 5. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Корни характеристического уравнения — комплексные
То есть, , , . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Пример 6. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Соответственно и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Пример 7. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Соответственно и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Решить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 8. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Пример 9. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
http://infourok.ru/lekciya-po-visshey-matematikedifferencialnie-uravneniya-vtorogo-poryadkadlya-gr-2311306.html
http://function-x.ru/differential_equations7.html