Дифференциальное уравнение бернулли в аэродинамике

Школьная Энциклопедия

Nav view search

Navigation

Search

Закон Бернулли в аэродинамике

Details Category: Человек и небо Published on Wednesday, 23 July 2014 16:59 Hits: 25115

Какое отношение к авиации имеет закон Бернулли? Оказывается, самое прямое. С его помощью можно объяснить возникновение подъёмной силы крыла самолёта и других аэродинамических сил.

Автор этого закона — швейцарский физик-универсал, механик и математик. Даниил Бернулли — сын известного швейцарского математика Иоганна Бернулли. В 1838 г. он опубликовал фундаментальный научный труд «Гидродинамика», в котором и вывел свой знаменитый закон.

Следует сказать, что в те времена аэродинамика как наука ещё не существовала. А закон Бернулли описывал зависимость скорости потока идеальной жидкости от давления. Но в начале ХХ века начала зарождаться авиация. И вот тут закон Бернулли оказался очень кстати. Ведь если рассматривать воздушный поток как несжимаемую жидкость, то этот закон справедлив и для воздушных потоков. С его помощью смогли понять, как поднять в воздух летательный аппарат тяжелее воздуха. Это важнейший законом аэродинамики, так как он устанавливает связь между скоростью движения воздуха и действующим в нём давлением, что помогает делать расчёты сил, действующих на летательный аппарат.

Закон Бернулли — это следствие закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости.

В аэродинамике воздух рассматривается как несжимаемая жидкость, то есть, такая среда, плотность которой не меняется с изменением давления. А стационарным считается поток, в котором частицы перемещаются по неизменным во времени траекториям, которые называют линиями тока. В таких потоках не образуются вихри.

Чтобы понять сущность закона Бернулли, познакомимся с уравнением неразрывности струи.

Уравнение неразрывности струи

Если жидкость течёт по трубе, имеющей разное поперечное сечение, то давление в разных местах трубы будет неодинаковое.

Мысленно выделим в трубе несколько сечений, обозначив их площади S₁ и S₂. Соответственно, v₁ и v₂ – скорости течений несжимаемой жидкости через эти сечения.

За время ∆t через сечения протекут жидкости, объёмы которых будут равны:

Так как мы рассматриваем стационарное течение несжимаемой жидкости, то по закону сохранения массы через любое поперечное сечение трубы за одинаковый промежуток времени проходит одинаковый объём жидкости. Следовательно, ∆V₁ = ∆V₂.

Произведение площади поперечного сечения потока на его скорость есть величина постоянная. Это уравнение называют уравнением неразрывности струи.

Уравнение Бернулли

Объединив условие неразрывности жидкости и закон сохранения энергии, Бернулли вывел уравнение, согласно которому с увеличение скорости потока уменьшается давление, и наоборот.

То есть, скорости жидкостей обратно пропорциональны площадям сечений. И чем больше площадь сечения, тем меньше скорость жидкости, протекающей через него, и наоборот.

Подобное явление мы видим, когда стоим на берегу реки и наблюдаем за её течением. В узком месте русла скорость течения воды всегда больше, чем в широком.

Жидкость, поступающая из широкой в более узкую часть трубы, ускоряется. Это означает, что на неё действует сила со стороны жидкости, находящейся в более широкой части трубы. Откуда же берётся эта сила? Для горизонтальной трубы причина возникновения этой силы — разность давлений в широком и узком участках трубы. В широкой части давление выше, чем в узкой, а скорость ниже. Отсюда следует вывод: «При стационарном течении жидкости давление больше в тех местах, где меньше скорость течения, и наоборот».

Уравнение Бернулли имеет вид:

где ρ – плотность жидкости,

ν – скорость потока,

h – высота, на которой располагается элемент жидкости,

ɡ — ускорение свободного падения,

p – давление в точке пространства, в которой расположен центр массы элемента жидкости.

Первое слагаемое уравнения Бернулли – кинетическая энергия потока, или динамическое давление. Его создаёт движение жидкости или газа. В авиации его также называют скоростным напором.

Второе слагаемое — потенциальная энергия, или гидростатическое давление. Оно создаётся весом столба жидкости или газа высотой h.

И, наконец, третье слагаемое, Р – это статистическое давление, которое оказывают друг на друга соседние слои жидкости или газа.

Сумма всех слагаемых уравнения называется полным давлением.

Для трубы, расположенной горизонтально, или горизонтального воздушного потока уравнение Бернулли выглядит так:

Из него видно, что чем выше скорость течения жидкости (а в аэродинамике – скорость воздушного потока), тем меньше давление, и наоборот.

Эффект Бернулли можно наблюдать, сидя у камина. Во время сильных порывов ветра скорость воздушного потока возрастает, а давление падает. В комнате давление воздуха выше. И языки пламени устремляются вверх в дымоход.

Закон Бернулли и авиация

С помощью этого закона очень просто объяснить, как возникает подъёмная сила для летательного аппарата тяжелее воздуха.

Во время полёта крыло самолёта как бы разрезает воздушный поток на две части. Одна часть обтекает верхнюю поверхность крыла, а другая нижнюю. Форма крыла такова, что верхний поток должен преодолеть больший путь для того, чтобы соединиться с нижним в одной точке. Значит, он двигается с большей скоростью. А раз скорость больше, то и давление над верхней поверхностью крыла меньше, чем под нижней. За счёт разности этих давлений и возникает подъёмная сила крыла.

Во время набора самолётом высоты возрастает разница давлений, а значит, увеличивается и подъёмная сила, что позволяет самолёту подниматься вверх.

Сразу сделаем уточнение, что вышеописанные законы действуют, если скорость движения воздушного потока не превышает скорость звука (до 340 м/с). Ведь мы рассматривали воздух как несжимаемую жидкость. Но оказывается, что при скоростях выше скорости звука воздушный поток ведёт себя по-другому. Сжимаемостью воздуха пренебрегать уже нельзя. И воздух в этих условиях, как любой газ, старается расшириться и занять больший объём. Появляются значительные перепады давления или ударные волны. А сам воздушный поток не сужается, а, наоборот, расширяется. Решением задач о движении воздушных потоков со скоростями, близкими или превышающими скорость звука, занимается газовая динамика, возникшая как продолжение аэродинамики.

Используя аэродинамические законы, теоретическая аэродинамика позволяет сделать расчёты аэродинамических сил, действующих на летательный аппарат. А правильность этих расчётов проверяют, испытывая построенную модель на специальных экспериментальных установках, которые называются аэродинамическими трубами. Эти установки позволяют измерить величину сил специальными приборами.

Кроме исследования сил, действующих на аэродинамические модели, с помощью аэродинамических измерений изучают распределение значений скорости, плотности и температуры воздуха, обтекающего модель.

Уравнение Бернулли для сжимаемого газа

Уравнения аэродинамики больших скоростей

Уравнение Бернулли для сжимаемого газа

Рассмотрим идеальное течение газа без вязкости. Кроме того, будем считать газ легким, следовательно, в нем будут отсутствовать массовые силы.

В потоке газа выделим элементарную струйку, ограниченную трубкой тока (рис.1.1). Здесь нужно вспомнить эти понятия основ аэродинамики и динамики полета.

Линия тока – кривая в потоке газа, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной.

Трубка тока – поверхность, образованная линиями тока, проведенными через все точки произвольного замкнутого контура площадью dS. Трубка тока считается непроницаемой для воздушных частиц.

Элементарная струйка – часть потока газа, ограниченная трубкой тока.

В связи с этим можно считать, что поток газа состоит из совокупности элементарных струек.

Рис.1.1 Элементарная струйка в потоке газа

Запишем для элементарной струйки 2-ой закон Ньютона

, (1.1)

который показывает, что произведение массы (газа) на ускорение равно сумме всех сил, действующих на тело (в данном случае – элементарную струйку). Проведем анализ данного уравнения (рис.1.2).

Рис.1.2 К выводу уравнения Бернулли для потока сжимаемого газа

В правой части уравнения (1.1) на элементарную струйку действуют силы давления по площадкам dS1, и dS2 , которые можно считать равными

.

По боковым поверхностям элементарной струйки силами давления пренебрегаем, так как они взаимно уравновешиваются. Силами трения (идеальный газ) и силами тяжести (легкий газ) также пренебрегаем.

или учитывая

,

.

Учитывая и сокращая на dS, имеем

. Перенося – dp в левую часть уравнения, и разделив обе части уравнения на , получим

. (1.2)

Внося скорость V под знак дифференциала, получим

. (1.3)

Уравнения (1.2) и (1.3) являются двумя формами записи уравнения Бернулли для газа в дифференциальном виде. Вспомним, что в основе уравнения Бернулли лежит закон сохранения энергии.

Современные магистральные ВС (Ту-204, Airbus A320 и др.) летают с достаточно большими скоростями. При числах Маха М>0,4 плотность газа начинает изменяться, и движение газа уже нельзя считать движением несжимаемой жидкости.

Чтобы найти конечные величины p и V или связь между этими параметрами в дифференциальном уравнении Бернулли, необходимо проинтегрировать уравнение (1.3)

. (1.4)

Для сжимаемого течения зависимость между p и r (без определения которой нельзя выполнить интегрирование) имеет вид

Для изоэнтропного (энтропия S не меняется), энергоизолированного (над газом не совершается работа) течения вместо показателя политропы n можно подставить k, и тогда интегрирование уравнения (1.4) можно выполнить.

В случае сжимаемого газа, когда плотность газа уже непостоянна, уравнение (1.4) после интегрирования преобразуется к виду

(1.5)

где k – постоянная изоэнтропы (адиабаты) и для воздуха равна 1,4.

Это и есть уравнение Бернулли для потока сжимаемого газа.

Величина в формуле (1.5) учитывает влияние сжимаемости. Для газа как несжимаемой жидкости при М

ПВД измеряют скоростной напор набегающего потока

. (1.7)

Здесь q – скоростной напор,

Dp – перепад давления или разность между полным и статическим давлением,

r – плотность воздуха на данной высоте,

V – скорость воздушного потока.

Однако указатель скорости измеряет не саму скорость, а скоростной напор . Поскольку при изменении высоты и скорости существенно изменяется плотность r, что происходит при полете магистральных ВС, то при измерении скорости полета возникают погрешности.

Воздушная (истинная) скорость полета V не совпадает с той скоростью, которую показывает прибор, т.к. на ПВД оказывает влияние создаваемые самолетом возмущения, а также сжимаемость воздуха. Кроме того, величина воздушной скорости зависит от инструментальной и других поправок.

Градуировка приборов для измерения скорости соответствует лишь полету у земли, когда Н = 0, а (или 1,225 ). При наборе высоты плотность падает и r

Индикаторная скорость в аэродинамике – это идеальная скорость, которую показывает прибор с учетом всех поправок.

Элементы гидро- и аэродинамики

Для того, чтобы описать такой сложный процесс, как движение жидкостей или газов, применяют разного рода упрощенные модели. Например, для упрощения используется предположение, что жидкость или даже газ несжимаемы и идеальны, не имеют внутреннее трение между слоями, которые движутся. Когда такая идеальная жидкость находится в движении, отсутствует переход механической энергии во внутреннюю, т.е. имеет место выполнение закона сохранения механической энергии. В свою очередь, из этого закона для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости вытекает уравнение (принцип) Бернулли, которое было сформулировано в 1738 г.

Элементы гидродинамики. Уравнение Бернулли

Стационарный поток жидкости – это поток без образования вихрей. В этом случае частицы жидкости осуществляют перемещение по постоянным во времени траекториям, называемым линиями тока.

В рамках имеющегося опыта можно утверждать, что возникновение стационарных потоков возможно лишь тогда, когда скорость движения жидкости достаточно мала.

Возьмем для рассмотрения стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости по трубе переменного сечения (рис. 1 . 22 . 1 ). Различные части трубы располагаются на разных высотах.

Рис. 1 . 22 . 1 . Поток идеальной жидкости в трубе переменного сечения.

Рассматриваемая труба имеет два сечения: S 1 и S 2 ; Δ t — это время прохождения жидкости в трубе. Так, за Δ t через сечение S 1 жидкость осуществит перемещение на l 1 = υ 1 Δ t ; через сечение S 2 – на l 2 = υ 2 Δ t ( υ 1 и υ 2 – обозначение скоростей частиц жидкости в трубе соответствующих сечений). Условие несжимаемости будет иметь следующую запись: Δ V = l 1 S 1 = l 2 S 2 или υ 1 S 1 = υ 1 S 1 , где Δ V является объемом жидкости, прошедшей через сечения S 1 и S 2 .

С переходом жидкости из участка трубы большего сечения в участок меньшего сечения скорость движения потока увеличивается: жидкость перемещается с ускорением. Это означает, что жидкость испытывает воздействие силы. Если речь идет о движении потока в горизонтальной трубе, можно утверждать, что возникновение этой силы возможно только как следствие разности давления в широком и узком участках трубы (в широком участке давление должно быть больше, чем в узком). В случае же, когда различные участки трубы располагаются на разной высоте, ускорение потока обусловлено совокупным воздействием силы тяжести и силы давления.

Сила давления есть упругая сила сжатия жидкости.

Явление несжимаемости жидкости означает только то, что возникновение упругих сил имеет место при пренебрежимо малом изменении объема любой части жидкости.

Поскольку действует предположение, что жидкость идеальна, ее протекание по трубе происходит без трения, а значит к ее движению уместно применять закон сохранения механической энергии.

В процессе движения жидкости силы давления выполняют работу, которую запишем так:

Δ A = p 1 S 1 l 1 – p 2 S 2 l 2 = p 1 S 1 υ 1 Δ t — p 2 S 2 υ 2 Δ t = ( p 1 – p 2 ) Δ V .

Работа Δ A сил давления есть изменение потенциальной энергии упругой деформации жидкости, взятое с обратным знаком.

Те изменения, которые происходят за промежуток времени Δ t в выделенной части жидкости, помещенной между участками трубы с сечениями S 1 и S 2 в начальный момент времени, в случае стационарного течения заключаются в перемещении массы жидкости Δ m = ρ Δ V из участка с сечением S 1 в участок сечением S 2 ( ρ – плотность жидкости). На рисунке 1 . 22 . 1 соответствующие объемы обозначены штриховкой. Закон сохранения механической энергии для этой массы будет иметь запись: E 2 – E 1 = Δ A = ( p 1 – p 2 ) Δ V . E 1 и E 2 здесь являются полными механическими энергиями массы Δ m в поле тяготения и записываются так:

E 1 = ∆ m v 1 2 2 + ∆ m g h 1 ; E 2 = ∆ m v 2 2 2 + ∆ m g h 2 .

Откуда можно вывести:

p v 1 2 2 + p g h 1 + p 1 = p v 2 2 2 + p g h 2 + p 2 .

Выражение p v 1 2 2 + p g h 1 + p 1 = p v 2 2 2 + p g h 2 + p 2 называется уравнением Бернулли.

Из уравнения Бернулли следует, что: p v 2 2 + p g h + p = c o n s t на всей протяженности рассматриваемой трубы. В частном случае, когда труба расположена горизонтально, уравнение Бернулли принимает вид: p v 2 2 + p = c o n s t .

Величина p обозначает статическое давление в жидкости, которое возможно измерить, используя манометр, двигающийся вместе с жидкостью. В практике давление в различных сечениях трубы определяют при помощи манометрических трубок, размещаемых через боковые стенки в поток жидкости таким образом, чтобы нижние концы трубок были параллельны скоростям частиц жидкости (рис. 1 . 22 . 2 ). Из уравнения Бернулли следует:

Давление в жидкости, проходящей по горизонтальной трубе переменного сечения, больше в тех сечениях потока, в которых скорость ее движения меньше, и наоборот, давление меньше в тех сечениях, в коих скорость больше.

Рис. 1 . 22 . 2 . Использование манометров для определения давления в потоке.

В случае, когда сечение потока жидкости достаточно велико, уравнение Бернулли необходимо применять к линиям тока, т. е. линиям, вдоль которых происходит перемещение частиц жидкости при стационарном течении.

Мы имеем широкий сосуд с отверстием в боковой стенке, в котором течет идеальная несжимаемая жидкость. При движении потока из отверстия линии тока начинаются вблизи свободной поверхности жидкости и проходят через отверстие (рис. 1 . 22 . 3 ).

Рис. 1 . 22 . 3 . Истечение жидкости из широкого сосуда.

Так как скорость жидкости вблизи поверхности в широком сосуде является пренебрежимо малой, уравнение Бернулли примет вид: p v 2 2 + p = c o n s t ,

где p 0 – атмосферное давление, h – перепад высоты вдоль линии тока. Тогда: v = 2 g h .

v = 2 g h — это формула, выражающая скорость истечения потока и называемая формулой Торричелли. Скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в сосуде такая же, как и при свободном падении тела с высоты h без начальной скорости.

Элементы аэродинамики

Отличительной чертой газов от жидкостей является возможность значимо изменять свой объем. Расчеты позволяют утверждать, что сжимаемостью газов можно пренебречь, когда наибольшие скорости в потоке являются малыми по сравнению со скоростью звука в этом газе. Следовательно, уравнение Бернулли возможно использовать для достаточно широкого класса задач аэродинамики.

В числе подобных задач — исследование сил, осуществляющих воздействие на крыло самолета. Строго теоретически решить эту задачу достаточно затруднительно, и обычно для изучения сил используют экспериментальные методы. Уравнение Бернулли дает возможность только качественно объяснить появление подъемной силы крыла.

Рис. 1 . 22 . 4 демонстрирует линии тока воздуха, обтекающего крыло самолета. Особый профиль крыла и наличие угла атаки (угла наклона крыла по отношению к набегающему потоку воздуха) определяют тот факт, что скорость течения воздуха над крылом становится больше, чем под крылом. В связи с этим на рис. 1 . 22 . 4 линии тока над крылом расположены ближе друг к другу, чем под крылом. Выводом из принципа Бернулли является то, что давление в нижней части крыла будет больше, чем в верхней, и в итоге мы имеем силу F → , осуществляющую действие на крыло.

F y → – вертикальная составляющая силы F → , называемая подъемной силой.

F x → — горизонтальная составляющая силы F → , называемая силой сопротивления среды.

Подъемная сила дает возможность компенсации силы тяжести, осуществляющей действие на самолет, и этим она и определяет саму возможность движения тяжелых летательных аппаратов в воздушной среде.

Рис. 1 . 22 . 4 . Линии тока при обтекании крыла самолета и возникновение подъемной силы. α – угол атаки.

Теорию подъемной силы крыла самолета сформулировал Н. Е. Жуковский в 1904 г., и она получила название теоремы Жуковского:

Подъёмная сила сегмента крыла бесконечного размаха равна произведению плотности газа (жидкости), скорости газа (жидкости), циркуляции скорости потока и длины выделенного отрезка крыла. Направление действия подъёмной силы получается поворотом вектора скорости набегающего потока на прямой угол против циркуляции.

Жуковский продемонстрировал, что при обтекании крыла значимое влияние оказывают силы вязкого трения в поверхностном слое. Итогом их воздействия является возникновение кругового движения или циркуляции воздуха вокруг крыла (обозначено стрелками зеленого цвета на рис. 1 . 22 . 4 ). В верхней части крыла скорость циркулирующего воздуха соединяется со скоростью набегающего потока, в нижней же части эти скорости противоположно направлены. Подобный эффект и служит причиной появления разности давлений и образования подъемной силы.

Циркуляция воздуха, определяемая силами вязкого трения, появляется и вокруг тела, которое вращается. Практически значимым, к примеру, является вращение цилиндра.

При вращении цилиндра само тело влечет за собой примыкающие слои воздуха, создавая циркуляцию воздушного потока. Когда цилиндр установлен в набегающем потоке, возникает сила бокового давления, подобная подъемной силе крыла самолета. Такое явление носит название эффекта Магнуса.

На рис. 1 . 22 . 5 проиллюстрировано обтекание цилиндра, осуществляющего вращение, набегающим потоком. Примером эффекта Магнуса служит полет закрученного мяча при игре в теннис или футбол.

Рис. 1 . 22 . 5 . Обтекание вращающегося цилиндра набегающим потоком воздуха.

Таким образом, на множество явлений аэродинамики оказывают значимое влияние силы вязкого трения. Они дают толчок к возникновению циркулирующих потоков воздуха вокруг крыла самолета или вокруг вращающегося тела, к появлению силы сопротивления среды и т. д. Уравнение Бернулли не берет в расчет силы трения. Вывод Бернулли опирается на закон сохранения механической энергии при течении жидкости или газа. Поэтому при помощи принципа Бернулли невозможно исчерпывающе объяснить явления, в которых имеется проявление сил трения. В подобных случаях возможно опираться лишь на качественные соображения – чем больше скорость, тем меньше давление в потоке газа.

Особо заметное проявление имеют силы вязкого трения в потоке жидкостей. Некоторые жидкости обладают вязкостью такой значимой величины, что использование уравнения Бернулли может привести к качественно неверным результатам.

К примеру, в случае истечения жидкости высокой вязкости через отверстие в стенке сосуда ее скорость может быть в десятки раз меньше той, что будет рассчитана по формуле Торричелли. Когда сферическое тело движется в идеальной жидкости, оно не должно встречать лобового сопротивления. Когда такое тело перемещается в вязкой жидкости, появляется сила сопротивления, и ее модуль будет пропорционален скорости υ и радиусу сферы r (закон Стокса) F с о п р

Коэффициент пропорциональности в этом выражении имеет зависимость от свойств жидкости. Т.е., если шарик значимого веса бросить в высокий сосуд, содержащий вязкую жидкость (к примеру, глицерин), то спустя некоторое время скорость шарика установится на уровне определенного значения, не изменяющегося при последующем движении шарика. Когда движение будет происходить на некой установившейся скорости, силы, влияющие на шарик (сила тяжести m g → , выталкивающая сила F А → и сила сопротивления среды F с о п р ), оказываются скомпенсированными, и их равнодействующая будет равна нулю.