Дифференциальное уравнение для плоской волны имеет вид
Уравнения плоской и сферической волн |
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.
Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом. Уравнение плоской волны Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )
Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время . Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.
– это уравнение плоской волны. Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой. Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z. В общем виде уравнение плоской волны записывается так:
Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны. Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид: . Уравнение волны можно записать и в другом виде. Введем волновое число , или в векторной форме:
где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности. Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:
Уравнение сферической волны В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической. Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:
где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице. Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной. Дифференциальное уравнение для плоской волны имеет видотстоящие друг от друга на расстоянии λ, колеблются одинаковым образом. Уравнение плоской волны Найдем вид функции . в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Пусть колебание точек, лежащих в плоскости x = 0, имеет вид (при начальной фазе ф = 0) Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время τ = х/v. Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0, т. е. — это уравнение плоской волны (рис. 2.4.3). Таким образом, . есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания A = const. Это будет, если энергия волны не поглощается средой. Такой же вид уравнение (2.4.5) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z. В общем виде уравнение плоской волны записывается так: Выражения (2.4.5) и (2.4.6) есть уравнения бегущей волны. Уравнение волны можно записать и в другом виде. Введем волновое число k = 2π/λ, или в векторной форме где k — волновой вектор; n — нормаль к волновой поверхности. Так как λ = vT , то k = 2π/vT = 2πν/v = ω/v. Отсюда v = ω/k. Тогда уравнение плоской волны запишется так: Электронная библиотекаВ общем случае уравнение плоской волны (волновой поверхностью является плоскость), распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид: где А = const – амплитуда волны; w – циклическая частота; j0 – начальная фаза волны; – фаза плоской волны. Для характеристики волн используется волновое число С учётом (3.12) и (3.13) уравнение плоской волны примет вид: Основываясь на формуле Эйлера, уравнение плоской волны можно записать в виде: Аналогично плоской волне, уравнение сферической волны (волновой поверхностью является концентрическая сфера) записывается в виде: где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение справедливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (когда источник колебаний можно считать точечным). Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных: где v – фазовая скорость; – оператор Лапласа. Срочно? источники: http://www.chem-astu.ru/chair/study/physics-part1/?p=136 http://libraryno.ru/3-3-2-uravnenie-ploskoy-i-sfericheskoy-volny-differencial-noe-volnovoe-uravnenie-2013_fiz_electro/ |