Затухающие колебания в контуре и их уравнение
Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением R , с емкостью конденсатора C , с катушкой индуктивности L , изображенный на рисунке 1 . Колебания, происходящие в нем, — затухающие.
Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.
Характеристики затухающих колебаний
Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания β . Применив второй закон Ньютона, получим:
m a = — k x — y v , d 2 x d t 2 + r m d x d t + k m x = 0 , ω 0 2 = k m , β = r 2 m .
Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ ,
Значение a ( t ) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а N e — период времени уменьшения амплитуды в e раз.
Для R L C контура применима формула с ω частотой.
При небольшой δ ≪ 1 говорят, что β ≪ ω 0 ω 0 = 1 L C — собственная частота, отсюда ω ≈ ω 0 .
При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :
Q = 1 R L C = ω 0 L R , где R , L и C — сопротивление, индуктивность, емкость, а ω 0 — частота резонанса. Выражение L C называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:
Q = R L C = R ω 0 L .
R является входным сопротивлением параллельного контура.
Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:
Q = ω 0 W P d = 2 π f 0 W P d , называемое общей формулой.
Уравнения затухающих колебаний
Рассмотрим рисунок 1 . Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:
q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .
Если t = 0 , то заряд конденсатора становится равным q 0 , и ток в цепи отсутствует.
Если R > 2 L C изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.
Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое R k .
Функция изображается аналогично рисунку 2 .
Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W ( t ) при W ( t = 0 ) = W 0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β , а собственную частоту — ω 0 .
Решение
Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в R L C — контуре:
q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .
Предположим, что при t = 0 , a ‘ 0 = 0 . Тогда применим выражение
Для нахождения I ( t ) :
I ( t ) = — ω 0 q 0 e ( — 2 β t ) sin ( ω t + α ) , где t g α = β ω .
Очевидно, что электрическая энергия W q запишется как:
W q = q 2 2 C = q 0 2 2 C e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) = W 0 e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) .
Тогда значение магнитной энергии контура W m равняется:
W m = L 2 ω 0 2 q 0 2 e ( — 2 β t ) sin 2 ω t + a = W 0 e — 2 β t sin 2 ω t + a .
Запись полной энергии будет иметь вид:
W = W q + W m = W 0 e ( — 2 β t ) ( cos 2 ( ω t ) + sin 2 ( ω t + a ) ) = = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + α ) .
Где sin α = β ω 0 .
Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) .
Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W ( t ) , при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.
Решение
Если колебания в контуре затухают медленно, то:
Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из
W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) , предварительно преобразовав до W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) .
Такое упрощение возможно по причине выполнения условия β ω 0 ≪ 1 , sin ( 2 ω t + a ) ≤ 1 , что означает β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) ≪ 1 .
Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) . Энергия в контуре убывает по экспоненте.
Лекция № 5 Свободные электромагнитные колебания
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Выписка из рабочей программы дисциплины «Колебания и волны» – 010900
2.1 Свободные электромагнитные колебания.
Колебательный контур. Процессы в идеализированном колебательном контуре. Электромагнитные гармонические колебания. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний и его решение. Собственная частота свободных электромагнитных колебаний. Формула Томсона. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре.
1. Свободные электромагнитные колебания
Электромагнитные колебания представляют собой взаимосвязанные периодические изменения зарядов, токов, характеристик электрического и магнитного полей, сопровождающиеся взаимными превращениями этих полей.
Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из конденсатора ёмкостью и катушки индуктивностью .
Если сопротивление контура равно нулю, колебательный контур называют идеальным. В идеальном колебательном контуре отсутствуют потери энергии, поэтому собственные колебания, возникающие в нем, являются незатухающими.
Рассмотрим процесс возникновения свободных незатухающих колебаний в идеальном колебательном контуре. Чтобы возбудить колебания, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд, а потом замкнуть ключ К (рис.1).
Пусть в начальный момент времени () конденсатору сообщили некоторый заряд . При этом напряжение между его обкладками , напряженность электрического поля и энергия электрического поля – максимальны, а ток в цепи отсутствует (рис. 2,а). Затем начинается разряд конденсатора. Возникающий при этом разрядный ток, проходя через катушку , создает в ней изменяющееся магнитное поле, которое продолжает расти до тех пор, пока ток не достигает максимального значения . При этом вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки , а индукция магнитного поля достигает максимума (рис. 2,б). Несмотря на то, что конденсатор полностью разрядился, ток в колебательном контуре не прекращается и поддерживается э. д.с. самоиндукции, что в итоге приведет к перезарядке конденсатора. При этом заряд конденсатора, напряжение между обкладками, напряженность и энергия электрического поля вновь достигают максимальных значений, однако полярность обкладок конденсатора и направление напряженности электрического поля между ними противоположны тем, какие были в начальный момент времени (рис. 2, в). По окончании перезарядки энергия магнитного поля катушки перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Начиная с этого момента, ток в контуре меняет направление, и процесс воспроизводится в обратном направлении (рис. 2, г). Система возвращается в исходное состояние (рис. 2, д), и начинается следующий период колебаний.
В контуре возникают электромагнитные колебания, при которых происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот. Рисунок 2 представляет собой график зависимости заряда конденсатора от времени , , на котором значениям заряда в моменты времени сопоставлены соответствующие состояния колебательного
контура (а; б; в; г; д).
Так как сопротивление контура равно нулю, т. е. нет потерь энергии, такой процесс должен продолжаться бесконечно, а возникающие колебания называются собственными или свободными.
Период собственных незатухающих колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона
, (5)
а циклическая частота
. (6)
Колебания заряда происходят по гармоническому закону
, (7)
где – максимальный заряд на обкладках конденсатора;
– циклическая частота собственных колебаний;
– начальная фаза.
На рисунках 3 и 4 представлены соответственно идеальный колебательный контур и график зависимости при .
Очевидно, что изменение напряжения между обкладками описывается таким же законом
(8)
где – максимальное напряжение между обкладками конденсатора.
Так как электрический ток характеризует скорость изменения заряда на обкладках конденсатора,
(9)
где – амплитуда силы тока.
Из выражений (7), (8), (9) следует, что колебания заряда (напряжения) и тока в контуре сдвинуты по фазе на , т. е. ток достигает максимального значения в те моменты времени, когда заряд и напряжение на обкладках конденсатора равны нулю, и наоборот. Этот же вывод следует из анализа рис. 2 (а, б, в, г, д).
Идеальный колебательный контур (рис. 3), в котором происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, представляет собой электрическую цепь, состоящую из конденсатора емкостью и катушки индуктивности . Запишем для этого замкнутого контура второе правило Кирхгофа: сумма падений напряжений равна сумме э. д.с., действующих в контуре.
В контуре действует только одна э. д.с. – э. д.с. самоиндукции, следовательно
,
где – падение напряжения на конденсаторе;
– мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора;
.
Так как , , то дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний может быть записано в виде
,
,
где – собственная циклическая частота контура.
Уравнение колебаний принимает вид
и называется уравнением свободных незатухающих электромагнитных колебаний в дифференциальной форме.
Из математики известно, что решение этого уравнения имеет вид
,
т. е. соответствует формуле (7) и рис. 4 (при ).
Таким образом, свободные незатухающие электромагнитные колебания являются гармоническими, а их период определяется формулой Томсона:
2. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре
Исключительно важным является вопрос об энергии гармонических колебаний. С энергетической точки зрения гармоническое колебание представляет собой непрерывный процесс перехода кинетической энергии движущихся частей осциллятора в потенциальную энергию упругого элемента. Полная энергия гармонического осциллятора есть величина постоянная, так как для него потерь нет. Она равна либо максимальной кинетической энергии ( в момент прохождения положения равновесия) , либо максимальной потенциальной энергии (при амплитудном смешении). В задачах используются именно эти энергии, так как с их помощью можно оценить величину амплитуды и частоты собственных колебаний осциллятора.
Расчет энергии W гармонического осциллятора осуществляют стандартным образом. Для механических осцилляторов:
Свободные электромагнитные колебания в контуре (Порохов Д.А.)
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
Успехи развития электромагнетизма конца XVIII века послужили бурному развитию промышленности и техники, основанной на использовании свойств постоянного и в дальнейшем переменного тока. Прежде всего, это средство передачи информации – телеграф. Однако по мере развития телеграфа инженеры и пользователи начали сталкиваться с весьма любопытными и, казалось, необъяснимыми фактами и явлениями. В начале XX века английский ученый Уильям Томсон заинтересовался неудачами инженеров, прокладывающих трансатлантический телеграф. Он теоретически изучил законы распространения электрических импульсов по кабелям и пришел к выводам, имеющим огромную практическую ценность, и тем самым способствовал прокладке трансатлантического телеграфа между Европой и США. Вместе с тем он разработал теорию электрических колебаний, которая легла в основу современной теории электромагнитных колебаний. Мы с вами начнем рассматривать элементы теории электромагнитных колебаний, разработанных Уильямом Томсоном. Тема сегодняшнего урока: «Свободные электромагнитные колебания и их описание».
http://pandia.ru/text/80/142/13117.php
http://interneturok.ru/lesson/physics/11-klass/belektromagnitnye-kolebaniya-i-volny-b/svobodnye-elektromagnitnye-kolebaniya-v-konture