Дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока

Основные теоретические положения

Важное свойство ДПТ с независимым возбуждением от постоянных магнитов состоит в том, что результирующий момент сил от всех проводников якоря, называемый электромагнитным моментом двигателя M, пропорционален току якоря I_я, потребляемому двигателем от источника питания:

,

где k _m — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной момента двигателя. Его размерность [Нм/А]. По законам электромагнитной индукции в проводнике, движущемся в магнитном поле, возникает электродвижущая сила. Суммарная ЭДС катушек якоря E через коллектор и щетки прикладывается к внешним выводам двигателя. В двигательном режиме работы эта ЭДС направлена против внешнего напряжения U _я, подведенного к якорю от источника питания. Поэтому ЭДС двигателя часто называется противоЭДС. Она прямо пропорциональна угловой скорости вращения вала двигателя w _дв[рад/с]:

,

где k _ω — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной ЭДС двигателя. Его размерность [Вс/рад].

Природа электромагнитных явлений в ДПТ такова, что если используется система единиц СИ, то значения коэффициентов k _ω и k_m численно равны.

Уравнения, описывающие электрические процессы в ДПТ

В электрической якорной цепи двигателя протекает ток I _я под действием напряжения постоянного тока U_a источника питания и противоЭДС двигателя.

Рис. 1

Эта цепь характеризуется параметрами: активным сопротивлением R _я [Ом] и индуктивностью L _я [Гн] якорной обмотки. Вращающийся ротор, обладающий моментом инерции J_a [Нм с 2 /рад] , приводится в движение одновременным действием электромагнитного момента двигателя M _дв и момента внешних сил M _вн, приложенного к валу двигателя.

Исходные дифференциальные уравнения ДПТ составляются на основании законов физики. Для электрической цепи используется второй закон Кирхгофа, согласно которому можно записать уравнение

,

где член R _я I _я характеризует падение напряжения на активном сопротивлении якорной цепи в соответствии с законом Ома, а член L _я ( dI _я/ dt ) отражает наличие ЭДС самоиндукции, возникающей в обмотке при изменении тока якоря. В представленном уравнении не учитывается падение напряжения на щетках, зависящее нелинейно от тока якоря, но имеющее, как правило, относительно небольшое значение по сравнению с напряжением U _я .

Дифференциальное уравнение, характеризующее процессы в механической части двигателя, составляется на основании второго закона Ньютона:

,

где M _вн — момент внешних сил, действующий относительно оси вращения вала двигателя. В этом уравнении не учитывается действие сил трения, возникающих при вращении ротора, но оказывающих относительно слабое действие на ускорение вала ДПТ.

Используя вышеприведенные формулы и приводя дифференциальные уравнения к нормальной форме Коши, получим описание ДПТ в форме:

Для исследования процессов с помощью ЭВМ удобно использовать структурное представление математической модели ДПТ. Для этого преобразуем полученную систему линейных дифференциальных уравнений по Лапласу при нулевых начальных условиях. В результате получим систему алгебраических уравнений:

в которых s — переменная Лапласа, а величины I _я( s ), w _дв( s ), U _я( s ), M _вн( s ) — изображения по Лапласу переменных I _я , w _дв, U _я, M _вн соответственно. После эквивалентных преобразований эти уравнения могут быть представлены в форме:

где Т_э = L _я / R _я — электромагнитная постоянная времени якорной цепи двигателя.

По уравнениям с помощью системы SIMULINK может быть сформирована структурная схема ДПТ для его математического моделирования (рис.1).

Важным параметром ДПТ, определяющим его динамические свойства, является электромеханическая постоянная времени двигателя:

.

Зависимость между электромагнитным моментом двигателя и частотой вращения ротора в установившемся режиме при постоянных U _я и M _вн называется механической характеристикой двигателя. Уравнение механической характеристики имеет вид:

.

При пуске двигателя, когда скорость равна нулю, развивается пусковой момент

.

Частота вращения вала двигателя при отсутствии сопротивления называется частотой вращения холостого хода

.

Основные уравнения двигателя постоянного тока (ДПТ)

В этой статье описаны основные формулы, величины и их обозначения которые относятся ко всем двигателям постоянного тока.

В результате взаимодействия I_я тока якоря в проводнике L обмотки якоря с внешним магнитным полем возникает электромагнитная сила создающая электромагнитный момент М который приводит якорь во вращение с частотой n.

Противо ЭДС двигателя E_я

При вращении якоря пазовый проводник пресекает линии поля возбуждения с магнитной индукцией B и в соответствии с явлением электромагнитной индукции в проводнике наводится ЭДС E_я направленная навстречу I_я. Поэтому эта ЭДС называется противо ЭДС и она прямо пропорциональна Ф магнитному потоку и частоте вращения n.

C_e — постоянный коэффициент определяемой конструкцией двигателя.

Применив второй закон Кирхгофа получаем уравнение напряжения двигателя.

где ∑R — суммарное сопротивления обмотки якоря включающая сопротивление :

• обмотки якоря
• добавочных полюсов
• обмотки возбуждения (для двигателей с последовательным возбуждением)

Ток якоря I_я

Выразим из формулы 2 ток якоря.

Частота вращения якоря

Из формул 1 и 2 выведем формулу для частоты вращения якоря.

Электромагнитная мощность двигателя

Электромагнитный момент

где: ω = 2*π*f — угловая скорость вращения якоря, C_м — постоянный коэффициент двигателя (включает в себя конструктивные особенности данного двигателя)

Момент на валу двигателя, т.е. полезный момент, где М₀ момент холостого хода;

ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Электродвигатели постоянного тока могут иметь независимое, параллельное, последовательное или смешанное возбуждение (рис. 6.1).

В электродвигателе параллельного возбуждения обмотка возбуждения присоединяется параллельно к зажимам якоря. Но ток, протекающий по этой обмотке, в отличие от тока якоря не зависит от нагрузки и определяется приложенным к якорю напряжением и общим сопротивлением цепи возбуждения. По этой причине электродвигатель параллельного возбуждения называют также электродвигателем с независимым возбуждением.

Вращающий момент М двигателя постоянного тока и его ЭДС Е определяются по формулам

где к – конструктивный коэффициент двигателя;

Ф – магнитный поток, Вб;

ω – угловая скорость, рад/с.

Уравнения электромеханической ω = ƒ (I_я) и механической ω = ƒ (М) характеристик имеют вид

Угловая скорость идеального холостого хода (при I_я = 0 или М = 0)

На рис. 6.2 представлены механические характеристики двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (ДПТ НВ) во всех режимах работы. Характерными точками характеристик в двигательном режиме являются: точка идеального холостого хода (ω₀, М = 0); точка номинального режима (ω_н, М_н); точка короткого замыкания (ω = 0, М = М_к).

Жесткость механической характеристики определяется потоком возбуждения и сопротивлением якорной цепи:

Наибольшее значение модуля жесткости соответствует естественной механической характеристике, так как ток возбуждения равен номинальному и регулировочное сопротивление R_р = 0. По мере увеличения сопротивления реостата R_р наклон механической характеристики возрастает, а угловая скорость снижается. При заданном значении сопротивления R_р и номинальном моменте М_н угловая скорость двигателя

Для расчета механических характеристик необходимо знать сопротивление якоря двигателя R_я, которое задается в каталогах. При отсутствии заводских данных величину R_я находят ориентировочно по формуле

Так как механические характеристики ДПТ НВ прямолинейны, для их построения достаточно иметь две точки:

Для ДПТ НВ возможны следующие три режима электрического торможения.

1. Рекуперативное торможение, которое происходит, когда скорость двигателя выше скорости идеального холостого хода. Оно является наиболее экономичным, поскольку энергия торможения передается в электрическую сеть. Механические характеристики в этом режиме являются продолжением соответствующих характеристик двигательного режима во II квадранте. Схема двигателя при рекуперативном торможении не изменяется.

2. Динамическое торможение. Якорь двигателя отключается от сети и замыкается на сопротивление. При этом механическая энергия движущихся частей (механизма и якоря двигателя) преобразуется в электрическую, которая теряется в виде тепловой энергии в сопротивлениях якорной цепи. Механические характеристики в данном режиме торможения проходят через начало координат (на рис. 6.2 – линии с тремя засечками).

3. Торможение противовключением осуществляется двумя способами:

1) введением большого сопротивления в цепь якоря. При этом вращающий момент двигателя становится меньше, чем статический момент нагрузки М_с. Двигатель останавливается (в точке А), а затем под действием момента М_с начинает вращаться в другом направлении, развивая тормозной момент; в точке Б наступает установившийся режим. Механические характеристики являются продолжением соответствующих характеристик двигательного режима (на рис. 6.2 – линии с четырьмя засечками);

2) торможение переключением полярности обмотки якоря по ходу. Двигатель, работающий в точке 1, после переключения перейдет на реостатную характеристику в точку 2. По линии 2–3 происходит торможение (линия с пятью засечками). В точке 3 двигатель останавливается и его следует отключить от сети, чтобы избежать перехода в двигательный режим с вращением в обратном направлении.

В двигателе постоянного тока с последовательным возбуждением ток якоря одновременно является и током возбуждения. Магнитный поток возбуждения растет с увеличением нагрузки, вследствие чего угловая скорость снижается согласно уравнению (6.1) и механическая характеристика двигателя будет мягкой (рис. 6.3). Благодаря этому ДПТ НВ сравнительно легко и плавно преодолевает перегрузки и имеет высокий пусковой момент. Данные свойства двигателя позволяют широко применять его в приводе транспортных механизмов. Механические характеристики двигателя значительно смягчаются при введении в цепь якоря реостата (рис. 6.3, линии с одной засечкой).

У ДПТ ПВ нельзя осуществить режим рекуперативного торможения, поскольку в нем отсутствует скорость идеального холостого хода.

Динамическое торможение может осуществляться по схеме с самовозбуждением и с независимым возбуждением. В первом случае якорь и обмотка возбуждения отключаются от сети и замыкаются на реостат. Чтобы избежать размагничивания машины, необходимо переключить обмотку возбуждения (или якорь) таким образом, чтобы направление тока в обмотке возбуждения не изменилось. В этом случае машина самовозбуждается при данном сопротивлении цепи якоря лишь при определенном значении угловой скорости; возбудившись, она создает тормозной момент. Механические характеристики нелинейны (на рис. 6.3 – кривые с четырьмя засечками).

Механические характеристики двигателя в режиме динамического торможения с независимым возбуждением аналогичны соответствующим характеристикам двигателя с независимым возбуждением (на рис. 6.3 – линии с двумя засечками). Такой способ торможения нашел широкое применение, а первый способ используют редко, в основном как аварийный, например, при исчезновении напряжения сети.

Торможение противовключением осуществляется, как у ДПТ НВ, двумя способами:

1) включением в цепь якоря большого сопротивления;

2) изменением полярности обмотки якоря, оставив направление тока в обмотке возбуждения без изменения.

При первом способе механическая характеристика будет продолжением характеристики, соответствующей двигательному режиму (на рис. 6.3 – линия с тремя засечками). При втором способе торможение осуществляется по линии 1–2–3.

Регулирование скорости электроприводов постоянного тока. Скорость ДПТ НВ можно регулировать:

1) путем изменения сопротивления в цепи якоря;

2) изменением потока возбуждения;

3) изменением напряжения, подводимого к якорю.

Регулирование по первому способу имеет существенно недостатки:

– уменьшается жесткость механических характеристик при снижении угловой скорости, а потери мощности в главной цепи возрастают;

– диапазон регулирования ограничен, особенно при малых нагрузках;

– невелики плавность и точность регулирования.

По этим причинам такой способ регулирования в приводе постоянного тока используется редко.

По второму способу можно регулировать магнитный поток только в сторону уменьшения (так как в номинальном режиме магнитная цепь двигателя насыщена), что соответствует увеличению скорости выше номинальной. Возможный диапазон регулирования скорости при этом не превышает 2 для двигателя нормального исполнения. Верхний предел скорости ограничивается механической прочностью элементов якоря двигателя – бандажей обмотки якоря, коллектора.

Основным способом регулирования скорости ДПТ НВ является способ, основанный на изменении подводимого к якорю напряжения, которое осуществляется с помощью специального регулируемого преобразователя. В качестве индивидуальных источников питания используют в основном тиристорные преобразователи. Жесткость механических характеристик привода по системе «преобразователь – ДПТ НВ» практически постоянна. Механические характеристики представляют собой семейство параллельных друг другу прямых. Диапазон, плавность, точность регулирования здесь выше, чем при других способах регулирования. Поэтому данная система привода применяется для механизмов, требующих глубокого и плавного регулирования скорости.

Расчет добавочных резисторов в цепи якоря ДПТ НВ.Если известна естественная электромеханическая или механическая характеристика 1 двигателя (рис. 6.4) и его паспортные данные, то расчет сопротивления R_д, при включении которого в цепь якоря желаемая искусственная характеристика 2 пройдет через точку А с заданными координатами ω_и, I_и или ω_и, М_и, можно выполнить следующими наиболее распространенными методами.

Метод пропорций. Запишем отношение перепадов скорости при токе I_и или моменте М_и на естественной Δω_е и желаемой искусственной Δω_и характеристиках:

Тогда искомая величина

Метод отрезков не требует знания значения собственного сопротивления двигателя R_я (более того, его значение можно определить по известной естественной характеристике).

Запишем выражение для скорости двигателя на заданной искусственной характеристике (см. рис. 6.4) при номинальных токе I_н, моменте М_н, магнитном потоке Ф_н и напряжении U_н:

где U_н / (кФ_н) = ω₀.

Здесь R_н = U_н / I_н – так называемое номинальное сопротивление, являющееся базовой величиной при расчетах, Ом.

отражает важное свойство ДПТ НВ: относительный перепад скорости δ = Δω / ω₀ равен относительному активному сопротивлению цепи якоря R / R_н.

Таким образом, для нахождения R_д необходимо сначала по характеристикам определить длины отрезков bс и аd при номинальном токе или моменте и рассчитать номинальное сопротивление R_н = U_н / I_н.

Расчет добавочных резисторов можно выполнить также по следующим формулам для заданного допустимого тока I_доп, который определяется величиной допустимого момента М_доп или условиями пуска, реверса и торможения.

Сопротивление резистора R_д1 при пуске (Е = 0)

Сопротивление резистора R_д2 при динамическом торможении

Сопротивление резистора R_д3 при реверсе или торможении противовключением

Пример.ДПТ НВ типа ПБСТ-53 имеет следующие паспортные данные: Р_н = 4,8 кВт; n_н = 1500 об/мин; U_н = 220 В; I_н = 24,2 А; R_я = 0,38 Ом; I_в.н = 0,8 А. Требуется определить:

1) сопротивление резистора, включение которого в цепь якоря двигателя обеспечит прохождение искусственной механической характеристики через точку с координатами ω_и = 90 рад/с, М_н = 25 Н×м;

2) сопротивления резисторов, включение которых ограничит ток при пуске и торможении противовключением до уровня I_доп = 3 I_н.

Решение

1. Для нахождения сопротивления R_д используем метод пропорций, предварительно определив требуемые параметры двигателя:

ω_н = 2π n_н /60 = 2 × 3,14 × 1500/60 = 157 рад/с;

Тогда искомое сопротивление резистора

2. Сопротивление пускового резистора

Сопротивление резистора, используемого при торможении:

Лекция 7.ТИРИСТОРНЫЙ ЭЛЕКТРОПРИВОД

ПОСТОЯННОГО ТОКА

В промышленности широко применяется регулируемый тиристорный электропривод постоянного тока. Тиристоры – это самые мощные полупроводниковые приборы, используемые в силовых схемах электропривода. Они выпускаются на токи от нескольких килоампер при допустимом обратном напряжении до нескольких киловольт. С помощью тиристора, включенного в цепь переменного тока, можно не только выпрямлять напряжение, но и регулировать его величину.

Управление тиристором, т.е. включение, осуществляется с помощью управляющего электрода УЭ (рис. 7.1), на который в момент отпирания подаются отпирающие импульсы тока I_отп из схемы управления. При отсутствии отпирающего сигнала (вентиль заперт) сопротивление вентиля равно бесконечности, а при подаче на управляющий электрод отпирающего импульса I_отп его сопротивление падает до нуля (вентиль открывается). В точке естественной коммутации (точка а на рис. 7.1, а) тиристор запирается. Запереть тиристор с помощью управляющего электрода невозможно, т.е. тиристор в отличие от транзистора является прибором полууправляемым.

С помощью фазосдвигающего устройства схемы управления можно изменять фазу (момент) подачи отпирающего импульса (рис. 7.1, г) относительно точки естественной коммутации вентиля, т.е. можно изменять угол регулирования α.

Величина выпрямленного напряжения тиристорного преобразователя соответствует площади заштрихованного участка U(t) (рис. 7.1, а – в).

U_dα = m / π sin (π / m) U₂ cos α = U_d0 cos α,

где m – число фаз выпрямления;

U₂ – действующее значение линейного напряжения питающего трансформатора;

U_d0 – максимальное выпрямленное напряжение преобразователя при полностью открытых тиристорах (α = 0):

U_d0 = m / π sin (π / m) U₂.

Таким образом, изменяя с помощью системы импульснофазового управления (СИФУ) угол регулирования α, можно плавно и в широких пределах (от нуля до U_d0) изменять величину выпрямленного напряжения и соответственно угловую скорость электродвигателя ω.

Параметр m связывает число фаз напряжения питающей сети (р = 1; 2; 3) с числом полупериодов (q = 1; 2) этого напряжения, в которых работают вентили: m = рq. Величина m определяется частотой пульсаций за период напряжения сети.

В обобщенном виде схема тиристорного электропривода с трехфазным преобразователем представлена на рис. 7.2.

В СИФУ фиксация момента подачи управляющего импульса обычно осуществляется путем сравнения двух напряжений с использованием так называемого вертикального принципа, т.е. момент подачи отпирающего импульса определяется равенством постоянного управляющего напряжения u_у (рис. 7.3, а) и опорного на-пряжения u_оп. В момент равенства напряжений u_у и u_оп (точка а) в схеме возникает либо один, либо пачка импульсов с крутым передним фронтом i_отп, которые затем подаются на управляющие электроды тиристоров.

На рис. 7.3, б в упрощенном виде представлена схема управления тиристором. Напряжение, подаваемое на базу транзистора VТ, равно алгебраической сумме управляющего напряжения u_у и выходного напряжения генератора пилообразного напряжения ГПН. При положительном напряжении на базе транзистор заперт. В момент, соответствующий точке а (см. рис. 7.3, а), когда результирующее напряжение на базе станет равным нулю, транзистор откроется и в первичной обмотке W1 импульсного трансформатора ТИ возникнет напряжение. Импульс напряжения через вторичную обмотку трансформатора будет подведен к управляющему электроду тиристора VS, он откроется. Для формирования крутого переднего фронта импульса используется дополнительная обмотка обратной связи трансформатора (на схеме не показана). Резистор R1 и диод VD служат для защиты управляющего р – n-перехода тиристора от действия недопустимого тока или напряжения обратной полярности. Изменяя управляющее напряжение u_у, оператор изменяет момент отпирания тиристора, т.е. изменяет угол регулирования α от 0 до π (см. рис. 7.3, а). При этом изменяется выходное напряжение преобразователя, а следовательно, и скорость подклю

ченного к нему электродвигателя.

Электропривод постоянного тока с системой подчиненного регулирования.В теории электропривода широко используется инженерный метод синтеза унифицированных контуров регулирования, называемый методом последовательной коррекции с подчиненным регулированием координат (или проще–метод подчиненного регулирования координат). Сущность его заключается в том, что объект регулирования представляется в виде последовательно соединенных звеньев П1– П_i, выходными параметрами (координатами) которых могут быть скорость, ток, момент, положение и т.п. Для управления каждой из этих координат служит отдельный регулятор Р_i, образующий с объектом управления замкнутый контур с соответствующей обратной связью к_о.с. Регуляторы соединяются последовательно, так что выход одного из них является входом другого. При этом замкнутые контуры регулирования образуют систему, в которой имеется внешний контур, состоящий из звена П1 объекта управления и соответствующего регулятора Р1, и внутренние контуры. Выходной сигнал внешнего контура является задающим для последующего (внутреннего), заключенного внутри него контура. Таким образом, каждый внутренний контур регулирования подчинен соответствующему внешнему контуру. Каждому регулируемому параметру соответствует свой регулятор с обратной связью. Число контуров равно числу регулируемых параметров (координат) объекта управления и соответственно – числу регуляторов.

Достоинства системы подчиненного регулирования:

– широкая унификация узлов управления;

– возможность реализации систем управления из наборов стандартных элементов независимо от структуры и параметров электропривода.

Структурная схема электропривода постоянного тока (тиристорного, реверсивного) с системой подчиненного регулирования приведена на рис. 7.4. Электродвигатель М получает питание от реверсивного тиристорного преобразователя UZ1, UZ2, который питается от трехфазной сети через автоматический выключатель QF и трансформатор Т. Выключатель QF защищает блоки тиристоров от коротких замыканий. Пульсации выпрямленного тока сглаживаются реактором L.

СИФУ генерирует управляющие импульсы для тиристоров, изменяет фазу их в зависимости от величины управляющего сигнала на ее входе с целью регулирования напряжения преобразователя и скорости электропривода. Величина входного сигнала u_вх СИФУ является функцией от управляющего сигнала u_у и сигналов обратных связей, поступающих в схему управления электроприводом. Управление электродвигателем (пуск, реверс, регулирование скорости) осуществляется бесконтактным командоконтроллером SА (ручным или педальным) обычно сельсинного типа с поста управления.

Сигнал u_у переменного тока на выходе SА необходимо преобразовать в сигнал постоянного тока, полярность которого определялась бы фазой напряжения u_у, фиксируемой положением ручки командоконтроллера. Для этой цели используют фазочувствительное выпрямительное устройство ФВУ.

Командоконтроллер SА дает обычно ступенчатый сигнал управления, что может вызвать чрезмерный бросок динамического тока. Поэтому для ограничения динамического тока при разгоне и торможении на вход регулятора скорости РС подается сигнал, изменяющийся линейно во времени и получаемый на выходе задатчика интенсивности ЗИ.

В схеме (см. рис. 7.4, а) предусмотрена возможность шунтирования ЗИ бесконтактным ключом БК оператором (в случае возникновения ненормальных ситуаций).

С помощью тахогенератора ВR осуществляется отрицательная обратная связь по частоте вращения двигателя, а с помощью датчика тока UА – отрицательная обратная связь по току двигателя.

Схема электропривода имеет два самостоятельных регулятора: регулятор скорости РС и регулятор тока РТ. РС осуществляет прием сигнала задания скорости двигателя u_з.с, обеспечение изменения скорости двигателя с определенным ускорением и т.д. Кроме своей основной функции он также ограничивает сигнал u_з.т допустимым значением, которое часто зависит от величины потока двигателя; ограничивает скорость изменения тока якоря di/dt, осуществляет формирование требуемой жесткости механических характеристик электропривода и т.п.

Регулятор тока якоря РТ получает на входе сигнал задания u_з.м с выхода регулятора скорости и сигнал обратной связи u_д.м с выхода датчика тока UА. На выходе он формирует напряжение управления u_вх к СИФУ UZ, определяющее угол регулирования тиристоров a. Регулятор тока осуществляет также ограничение скорости нарастания тока, улучшение динамики контура тока в зоне прерывистого тока, управление переключением выпрямительных мостов реверсивного преобразователя и др.

Схема простейшего регулятора тока представлена на рис. 7.4, б. В составе регулятора имеется усилитель А с ограничением тока. На выходе регулятор тока формирует напряжение управления, поступающее в СИФУ. Блоки питания БП обеспечивают питание СИФУ, регуляторов и других элементов системы управления. Для ограничения тока якоря допустимым значением в схему управления введен блок токовой отсечки (БТО), который защищает электропривод от недопустимых перегрузок и аварийных токов, воздействуя непосредственно на вход СИФУ и ограничивая выпрямленный ток предельно допустимым значением. Принцип токовой отсечки состоит в том, что при достижении током двигателя заданного значения (уставки) фаза отпирающих импульсов изменяется так, что напряжение на выходе силового блока снижается, ограничивая ток заданным значением.

Рассмотренная система электропривода широко используется в механизмах, требующих широкого и плавного регулирования скорости. Автоматизированный электропривод в общем случае осуществляет регулирование различных параметров: скорости, тока, напряжения, момента, положения и др.

Дата добавления: 2015-12-01 ; просмотров: 3953 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ