Дифференциальное уравнение движения идеальной машины

Уравнение движения машины в дифференциальной форме.

Продифференцируем полученное выше уравнение по обобщенной координате

После подстановки получим

уравнение движения машины в дифференциальной форме.

Из этого уравнения после преобразований

получим формулу для расчета углового ускорения звена приведения.

Для механических систем в которых приведенный момент не зависит от положения звеньев механизма.

Определение параметров машины (приведение сил и масс).

Рассмотрим изображенную на рис. 6.1 механическую систему и ее динамическую модель. Запишем для них уравнение изменения кинетической энергии. Кинетическая энергия:

для механической системы

для модели

Суммарная работа внешних сил:

для механической системы

для машины

Модель будет энергетически эквивалентна рассматриваемой механической системе, если правые и левые части уравнений изменения кинетической энергии для модели и для системы будут соответственно равны. То есть для левых частей выполняется условие Т_с = Т_м , а для правых — A_{å c} = A_{å м}. Для того чтобы второе равенство выполнялось в течение всего диапазона изменения обобщенной координаты, необходимо обеспечить не равенство интегралов, а равенство подынтегральных выражений dA_{å c} =dA_{å м}. Подставляя в равенства, записанные ранее выражения для кинетических энергий и работ получим:

для левых частей

для правых частей

Из уравнения для левых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента инерции машины

Из уравнения для правых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента машины

Механические характеристики машин.

Механической характеристикой машины называется зависимость силы или момента на выходном валу или рабочем органе машины от скорости или перемещения точки или звена ее приложения.

Рассмотрим примеры механических характеристик различных машин.

Двигатели внутреннего сгорания (ДВС):
- четырехтактный ДВС

Рис 6.2

o Индикаторная диаграмма — графическое изображение зависимости давления в цилиндре поршневой машины от хода поршня.

двухтактный ДВС

Рис 6.3

Электродвигатели
- асинхронный электродвигатель переменного тока На диаграмме: М_дп —пусковой момент; М_дн— номинальный крутящий момент; М_дкили М_дmax— критический или максимальный момент; w_дн —номинальная круговая частота вращения вала двигателя; w_дххили w_дс— частота вращения вала двигателя холостого хода или синхронная. Уравнение статической характеристики асинхронного электродвигателя на линеаризованном участке устойчивой части

o где М_д — движущий момент на валу двигателя,

o w_д — круговая частота вала двигателя ,

o Статическая характеристика асинхронного двигателя, выражающая зависимость нагрузки от скольжения, определяется формулой Клосса

Рис 6.4

двигатель постоянного тока с независимым возбуждением

Рис 6.5

· Уравнение статической характеристики для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

· В электрических параметрах характеристика записывается в следующем виде

· где k_M = M_дн/I_ян — коэффициент момента, kw = (U_ян — R_ян _× I_ян ) / w _дн — коэффициент противоэлектродвижущей силы, U_я — напряжение в цепи якоря, R_я — сопротивление цепи якоря

Рабочие машины
- поршневой насос

Рис 6.6
поршневой компрессор

Рис 6.7

o Линии bc и ad — линии сжатия и расширения газа (воздуха) определяются параметрами газа (объемом, давлением и температурой) и в общем виде описываются уравнением политропы p× V n = const , где n — показатель политропы ( 1 пр _å , I пр _å =?

1. Определение сил веса G_i = m_i ×g.

2.Определение кинематических передаточных функций.

Простой и наглядный метод определения передаточных функций — графоаналитический метод планов возможных скоростей. При этом в произвольном масштабе строятся планы скоростей для рада положений цикла движения механизма. По отрезкам плана скоростей рассчитываются соответствующие передаточные функции по следующим формулам ( для машины, схема которой изображена на рис.6.8 ):

По этим формулам строятся цикловые диаграммы передаточных функций для рассматриваемого механизма ( см. рис. 6.10 ).

3. Определение суммарного приведенного момента М пр _å

Для определения суммарного приведенного момента необходимо просуммировать приведенные моменты от всех внешних сил, действующих на рассматриваемую систему. Приведенный момент от силы равен скалярному произведению вектора силы на вектор передаточной функции точки ее приложения, от момента — произведению момента на передаточное отношение от звена приложения момента к звену приведения. На рассматриваемую систему действуют силы веса звеньев G_i , сила сопротивления F_с и движущий момент М_д . Приведенный момент от этих сил рассчитывается по формуле:

4. Определение суммарного приведенного момента инерции I пр _å .

Для определения суммарного приведенного момента инерции необходимо просуммировать приведенные моменты инерции от всех масс и моментов инерции подвижных звеньев рассматриваемой системы. Приведенный момент инерции от массы равен произведению массы на квадрат передаточной функции ее центра, от момента инерции — произведению момента инерции звена на квадрат передаточного отношения от этого звена к звену приведения. Инерционность рассматриваемой системы определяется массами звеньев 2 и 3 и моментами инерции ротора двигателя, редуктора, коленчатого вала, маховика и звена 2. В суммарный приведенный момент инерции входят как составляющие не зависящие от положения механизма, так и составляющие, зависящие от обобщенной координаты. Первые имеют постоянный момент инерции и относятся к первой группе звеньев, момент инерции других — переменный, они образуют вторую группу. Приведенный момент для рассматриваемой системы определяется по формуле:

Рис. 6.12

Таким образом выполнена поставленная задача — определены параметры динамической модели поршневого насоса: приведенный суммарный момент М пр _å и приведенный суммарный момент инерции I пр _å .

Лекция 7

Режимы движения машины.

В зависимости от того какую работу совершают внешние силы за цикл движения машины различают три режима движения: разгон, торможение и установившееся движение. Циклом называют период времени или период изменения обобщенной координаты через который все параметры системы принимают первоначальные значения.

Разгон => А_д ц > А_с ц , А_å ц > 0;
Установившееся движение => А_д ц = А_с ц , А_å ц = 0;
Торможение (выбег) => А_д ц А_с ц , А_å ц 0, e _1n стремиться к бесконечности ;
остановка с мягким ударом (рис. 7.3 ) w _1n = 0, e _1n не равно 0 .

Для динамической модели в конечном положении

безударная остановка или остановка с удержанием в конечном положении (рис. 7.4) w _1n = 0, e _1n = 0 .

В этом случае к рассмотренному выше условию w _1n = 0 , добавляется условие e _1n = 0. Для динамической модели в конечном положении

Таким образом при остановке с мягким ударом необходимо выполнить условие

при безударной установке и фиксации объекта в конечном положении нужно выполнить одновременно два условия

Дифференциальное уравнение движения идеальной машины

Динамическая модель машинного агрегата.

Прямая задача динамики машины, как отмечалось и ранее, является задачей анализа, задачей по определению закона движения механической системы под действием заданных внешних сил. При решении этой задачи параметры машинного агрегата и действующие на него внешние силы известны, необходимо определить закон движения: скорости и ускорения в функции времени или обобщенной координаты. Иначе эту задачу можно сформулировать так: заданы управляющие силы и силы внешнего сопротивления, определить обеспечиваемый ими закон движения машины. Обратная задача — это задача синтеза управления, когда задан требуемый закон движения машины и внешние силы сопротивления, а определяются управляющие силы. При решении задач динамики используются либо уравнения силового равновесия системы — метод кинетостатики, либо уравнения энергетического равновесия — закон сохранения энергии. Для идеальной механической системы, в которой не потерь энергии и звенья абсолютно жесткие, этот закон можно применять в виде теоремы о изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме работа всех внешних сил действующих на систему расходуется только на изменение ее кинетической энергии. При этом потенциальные силы — силы веса рассматриваются как внешние

где D T — изменение кинетической энергии системы, T — текущее значение кинетической энергии системы, T нач -начальное значение кинетической энергии системы,

суммарная работа внешних сил, действующих на систему.

Рассмотрим сложную механическую систему (рис.6.1), состоящую из n подвижных звеньев из которых r — звеньев совершают вращательное движение, j — плоское, k — поступательное. Основная подвижность системы равна W=1 . На систему действуют: f — внешних сил и m — внешних моментов. Движение этой системы определяется изменением одной независимой обобщенной координаты. Такую систему при решении задач динамики можно заменить более простой динамической моделью. Положение звена этой модели определяется обобщенной координатой, а динамические параметры заменяются: инерционные — суммарным приведенным моментом инерции I пр å , силовые — суммарным приведенным моментом М пр å . Эти параметры динамической модели рассчитываются по критериям подобия модели и объекта, которые определяются соответственно из равенства правых и левых частей уравнений изменения кинетической энергии для модели и объекта, т.е.

— сумма работ всех внешних сил, действующих на систему,

— работа суммарного приведенного момента,

— сумма кинетических энергий звеньев системы,

— кинетическая энергия динамической модели.

Уравнения движения динамической модели

Уравнение движения динамической модели в интегральной форме.

Запишем для динамической модели теорему о изменении кинетической энергии

где

и уравнение движения динамической модели в интегральной или энергетической форме

Из этого уравнения после преобразований

получим формулу для расчета угловой скорости звена приведения.

Для машин работающих в режиме пуск-останов

формула принимает вид

Уравнение движения динамической модели в дифференциальной форме.

Продифференцируем полученное выше уравнение по обобщенной координате

где

После подстановки получим

уравнение движения динамической модели в дифференциальной форме.

Из этого уравнения после преобразований

получим формулу для расчета углового ускорения звена приведения.

Для механических систем в которых приведенный момент не зависит от положения звеньев механизма.

Определение параметров динамической модели машины (приведение сил и масс) .

для механической системы
для модели

Суммарная работа внешних сил:

для механической системы
для модели

Модель будет энергетически эквивалентна рассматриваемой механической системе, если правые и левые части уравнений изменения кинетической энергии для модели и для системы будут соответственно равны. То есть для левых частей выполняется условие Т с = Т м , а для правых — A _{å c = A _{å м . Для того чтобы второе равенство выполнялось в течение всего диапазона изменения обобщенной координаты, необходимо обеспечить не равенство интегралов, а равенство подынтегральных выражений dA _{å c =dA _{å м} . Подставляя в равенства, записанные ранее выражения для кинетических энергий и работ получим:}}}

для левых частей

для правых частей

Из уравнения для левых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента инерции динамической модели

Из уравнения для правых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента динамической модели

Механические характеристики машин.

Рассмотрим примеры механических характеристик различных машин.

Двигатели внутреннего сгорания (ДВС):

четырехтактный ДВСРис 6.2

Индикаторная диаграмма — графическое изображение зависимости давления в цилиндре поршневой машины от хода поршня.
двухтактный ДВС

Рис 6.3

Электродвигатели

асинхронный электродвигатель переменного тока На диаграмме: М дп — пусковой момент; М дн — номинальный крутящий момент; М дк или М дmax — критический или максимальный момент; w дн — номинальная круговая частота вращения вала двигателя; w дхх или w дс — частота вращения вала двигателя холостого хода или синхронная. Уравнение статической характеристики асинхронного электродвигателя на линеаризованном участке устойчивой части
где М д — движущий момент на валу двигателя,
w д — круговая частота вала двигателя ,

Статическая характеристика асинхронного двигателя, выражающая зависимость нагрузки от скольжения, определяется формулой Клосса
Рис 6.4
двигатель постоянного тока с независимым возбуждением

Рис 6.5
Уравнение статической характеристики для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

где k = М дн ( w дхх — w дн ).
В электрических параметрах характеристика записывается в следующем виде

где k M = M дн /I ян — коэффициент момента, k w = (U ян — R ян Ч I ян ) / w дн — коэффициент противоэлектродвижущей силы, U я — напряжение в цепи якоря, R я — сопротивление цепи якоря
Рабочие машины
поршневой насос

поршневой компрессор
Рис 6.7
Линии bc и ad — линии сжатия и расширения газа (воздуха) определяются параметрами газа (объемом, давлением и температурой) и в общем виде описываются уравнением политропы p × V n = const , где n — показатель политропы ( 1 n 0 ).
строгальный станок
Рис 6.8
Механические характеристики определяют внешние силы и моменты, действующие на входные и выходные звенья, рассматриваемой механической системы со стороны взаимодействующих с ней внешних систем и окружающей среды. Характеристики определяются экспериментально, по результатам экспериментов получают регрессионные эмпирические модели, которые в дальнейшем используются при проведении динамических расчетов машин и механизмов.
Пример на определение параметров динамической модели (на приведение сил и масс ).
Дано: Кинематическая схема механизма поршневого насоса( l i , j i ) , М д , F c , m i , I Si ;
Рис 6.8

Рис 6.9

1. Определение сил веса G i = m i × g.

2.Определение кинематических передаточных функций.

Передаточные функции:

3. Определение суммарного приведенного момента М пр _å

Для определения суммарного приведенного момента необходимо просуммировать приведенные моменты от всех внешних сил, действующих на рассматриваемую систему. Приведенный момент от силы равен скалярному произведению вектора силы на вектор передаточной функции точки ее приложения, от момента — произведению момента на передаточное отношение от звена приложения момента к звену приведения. На рассматриваемую систему действуют силы веса звеньев G i , сила сопротивления F с и движущий момент М д . Приведенный момент от этих сил рассчитывается по формуле:

4. Определение суммарного приведенного момента инерции I пр _{å .}

Таким образом выполнена поставленная задача — определены параметры динамической модели поршневого насоса: приведенный суммарный момент М пр _{å и приведенный суммарный момент инерции I пр _{å .}}

1. Определите прямую задачу динамики машин ? (стр. 1)

2. Сформулируйте теорему о изменении кинетической энергии для идеальной механической системы ? (стр.1)

3. Запишите уравнения движения динамической модели в интегральной и дифференциальной форме ? (стр. 2-3)

4. Что называется динамической моделью машины ? (стр. 1)

5. Какие параметры характеризуют динамическую модель машины ? (стр.3-4)

6. Что называется механической характеристикой машины ? (стр.4)

7. Изобразите механические характеристики (д.в.с., асинхронного электродвигателя, поршневого компрессора) и укажите их основные параметры ? (стр. 4-8)

8. Изложите алгоритм определения параметров динамической модели для поршневого насоса ? (стр.8-12)

Звено приведения движется поступательно

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 1116 ; Нарушение авторских прав

Уравнения движения машины в дифференциальной форме

Дифференциальные уравнения движения машины можно получить путем использования методов приведения сил и масс.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы материальных тел на бесконечно малом перемещении

где А – работа всех внешних сил, реально действующих в машине;

Т – кинетическая энергия всех звеньев машины.

На бесконечно малом перемещении работа сил бесконечно малая величина и изменение кинетической энергии также бесконечно мало. Разделим обе части уравнения на бесконечно малую величину dt:

, ,

где — мгновенная мощность всех сил, действующих на звенья механизма.

Метод приведения масс и сил позволяет нам выразить N и Т машины через приведенную массу и приведенную силу. Тогда теорема об изменении кинетической энергии запишется в следующем виде:

Рассмотрим случай поступательного движущегося звена приведения (материальной точки). В этом случае вся система может быть представлена материальной точкой, движущейся со скоростью V_пр и ускорением _пр под действием силы F_пр и имеющей массу m_пр (рисунок 1). Тогда мощность звена приведения:

а его кинетическая энергия

Тогда уравнение движения машины может быть записано в следующем виде:

В правой части уравнения мы имеем производную от произведения двух переменных величин и . Как правило , и . Возьмем производную от произведения двух переменных величин m_пр и V_пр по времени t:

здесь — ускорение материальной точки.

Разделим и умножим первый член правой части полученного равенства на бесконечно малую величину dS_пр – перемещение материальной точки приведения.

здесь — скорость материальной точки приведения.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение

Сократим левую и правую части уравнения на Vпр

|5|

Уравнение |5| — дифференциальное уравнение движения машины в общем виде. Это уравнение применяется в том случае, когда силы и массы приводятся к поступательно движущемуся звену или точке механизма.

Если m_пр=const, т. е. приведенная масса точки приведения не зависит от времени или положения механизма, то и тогда уравнение |5| принимает вид дифференциального

источники:

http://tmm-umk.bmstu.ru/lectures/lect_6.htm

http://life-prog.ru/1_4399_zveno-privedeniya-dvizhetsya-postupatelno.html