Дифференциальное уравнение движения ньютоновской жидкости

Уравнение Навье-Стокса и симуляция жидкостей на CUDA

Привет, Хабр. В этой статье мы разберемся с уравнением Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, численно его решим и сделаем красивую симуляцию, работающую за счет параллельного вычисления на CUDA. Основная цель — показать, как можно применить математику, лежащую в основе уравнения, на практике при решении задачи моделирования жидкостей и газов.

Уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

Я думаю каждый хоть раз слышал об этом уравнении, некоторые, быть может, даже аналитически решали его частные случаи, но в общем виде эта задачи остается неразрешенной до сих пор. Само собой, мы не ставим в этой статье цель решить задачу тысячелетия, однако итеративный метод применить к ней мы все же можем. Но для начала, давайте разберемся с обозначениями в этой формуле.

Условно уравнение Навье-Стокса можно разделить на пять частей:

• — обозначает скорость изменения скорости жидкости в точке (его мы и будем считать для каждой частицы в нашей симуляции).
• — перемещение жидкости в пространстве.
• — давление, оказываемое на частицу (здесь — коэффициент плотности жидкости).
• — вязкость среды (чем она больше, тем сильнее жидкость сопротивляется силе, применяемой к ее части), — коэффициент вязкости).
• — внешние силы, которые мы применяем к жидкости (в нашем случае сила будет играть вполне конкретную роль — она будет отражать действия, совершаемые пользователем.

Также, так как мы будем рассматривать случай несжимаемой и однородной жидкости, мы имеем еще одно уравнение: . Энергия в среде постоянна, никуда не уходит, ниоткуда не приходит.

Будет неправильно обделить всех читателей, которые не знакомы с векторным анализом, поэтому заодно и бегло пройдемся по всем операторам, присутствующим в уравнении (однако, настоятельно рекомендую вспомнить, что такое производная, дифференциал и вектор, так как они лежат в основе всего того, о чем пойдет речь ниже).

Начнем мы с с оператора набла, представляющего из себя вот такой вектор (в нашем случае он будет двухкомпонентным, так как жидкость мы будет моделировать в двумерном пространстве):

Оператор набла представляет из себя векторный дифференциальный оператор и может быть применен как к скалярной функции, так и к векторной. В случае скаляра мы получаем градиент функции (вектор ее частных производных), а в случае вектора — сумму частых производных по осям. Главная особенность данного оператора в том, что через него можно выразить основные операции векторного анализа — grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор) и (оператор Лапласа). Стоит сразу же отметить, что выражение не равносильно — оператор набла не обладает коммутативностью.

Как мы увидим далее, эти выражения заметно упрощаются при переходе на дискретное пространство, в котором мы и будем проводить все вычисления, так что не пугайтесь, если на данный момент вам не очень понятно, что же со всем этим делать. Разбив задачу на несколько частей, мы последовательно решим каждую из них и представим все это в виде последовательного применения нескольких функций к нашей среде.

Численное решение уравнения Навье-Стокса

Чтобы представить нашу жидкость в программе, нам необходимо получить математическую репрезентацию состояния каждой частицы жидкости в произвольный момент времени. Самый удобный для этого метод — создать векторное поле частиц, хранящее их состояние, в виде координатной плоскости:

В каждой ячейке нашего двумерного массива мы будем хранить скорость частицы в момент времени , а расстояние между частицами обозначим за и соответственно. В коде же нам будет достаточно изменять значение скорости каждую итерацию, решая набор из нескольких уравнений.

Теперь выразим градиент, дивергенцию и оператор Лапласа с учетом нашей координатной сетки ( — индексы в массиве, — взятие соответствующих компонентов у вектора):

Оператор	Определение	Дискретный аналог
grad
div
rot

Мы можем еще сильнее упростить дискретные формулы векторных операторов, если положим, что . Данное допущение не будет сильно сказываться на точности алгоритма, однако уменьшает количество операций на каждую итерацию, да и в целом делает выражения приятней взгляду.

Перемещение частиц

Данные утверждения работают только в том случае, если мы можем найти ближайшие частицы относительно рассматриваемой на данный момент. Чтобы свести на нет все возможные издержки, связанные с поиском таковых, мы будет отслеживать не их перемещение, а то, откуда приходят частицы в начале итерации путем проекции траектории движения назад во времени (проще говоря, вычитать вектор скорости, помноженный на изменение времени, из текущей позиции). Используя этот прием для каждого элемента массива, мы будем точно уверены, что у любой частицы будут «соседи»:

Положив, что — элемент массива, хранящий состояния частицы, получаем следующую формулу для вычисления ее состояния через время (мы полагаем, что все необходимые параметры в виде ускорения и давления уже рассчитаны):

Заметим сразу же, что при достаточно малом и скорости мы можем так и не выйти за пределы ячейки, поэтому очень важно правильно подобрать ту силу импульса, которую пользователь будет придавать частицам.

Чтобы избежать потери точности в случае попадания проекции на границу клеток или в случае получения нецелых координат, мы будем проводить билинейную интерполяцию состояний четырех ближайших частиц и брать ее за истинное значение в точке. В принципе, такой метод практически не уменьшит точность симуляции, и вместе с тем он достаточно прост в реализации, так что его и будем использовать.

Вязкость

. В таком случае итеративное уравнение для скорости примет следующий вид:

Мы несколько преобразуем данное равенство, приведя его к виду (стандартный вид системы линейных уравнений):

где — единичная матрица. Такие преобразования нам необходимы, чтобы в последствии применить метод Якоби для решения нескольких схожих систем уравнений. Его мы также обсудим в дальнейшем.

Внешние силы

Импульс-вектор легко посчитать как разность между предыдущей позицией мыши и текущей (если такая имелась), и здесь как раз-таки можно проявить креативность. Именно в этой части алгоритма мы можем внедрить добавление цветов в жидкость, ее подсветку и т.п. К внешним силам также можно отнести гравитацию и температуру, и хоть реализовать такие параметры несложно, в данной статье рассматривать их мы не будем.

Давление

Давление в уравнении Навье-Стокса — та сила, которая препятствует частицам заполнять все доступное им пространство после применения к ним какой-либо внешней силы. Сходу его расчет весьма затруднителен, однако нашу задачу можно значительно упростить, применив теорему разложения Гельмгольца.

Назовем векторное поле, полученное после расчета перемещения, внешних сил и вязкости. Оно будет иметь ненулевую дивергенцию, что противоречит условию несжимаемости жидкости (), и чтобы это исправить, необходимо рассчитать давление. Согласно теореме разложения Гельмгольца, можно представить как сумму двух полей:

где — и есть искомое нами векторное поле с нулевой дивергенцией. Доказательство этого равенства в данной статье приводиться не будет, однако в конце вы сможете найти ссылку с подробным объяснением. Мы же можем применить оператор набла к обоим частям выражения, чтобы получить следующую формулу для расчета скалярного поля давления:

Записанное выше выражение представляет из себя уравнение Пуассона для давления. Его мы также можем решить вышеупомянутым методом Якоби, и тем самым найти последнюю неизвестную переменную в уравнении Навье-Стокса. В принципе, системы линейных уравнений можно решать самыми разными и изощренными способами, но мы все же остановимся на самом простом из них, чтобы еще больше не нагружать данную статью.

Граничные и начальные условия

Любое дифференциальное уравнение, моделируемое на конечной области, требует правильно заданных начальных или граничных условий, иначе мы с очень большой вероятностью получим физически неверный результат. Граничные условия устанавливаются для контролирования поведения жидкости близ краев координатной сетки, а начальные условия задают параметры, которые имеют частицы в момент запуска программы.

Начальные условия будут весьма простыми — изначально жидкость неподвижна (скорость частиц равна нулю), и давление также равно нулю. Граничные условия будут задаваться для скорости и давления приведенными формулами:

Тем самым, скорость частиц на краях будет противоположна скорости у краев (тем самым они будут отталкиваться от края), а давление равно значению непосредственно рядом с границей. Данные операции следует применить ко всем ограничивающим элементам массива (к примеру, есть размер сетки , то алгоритм мы применим для клеток, отмеченных на рисунке синим):

Краситель

В формуле отвечает за пополнение красителем области (возможно, в зависимости от того, куда нажмет пользователь), непосредственно является количество красителя в точке, а — коэффициент диффузии. Решить его не составляет большого труда, так как вся основная работа по выводу формул уже проведена, и достаточно лишь сделает несколько подстановок. Краску можно реализовать в коде как цвет в формате RGB, и в таком случае задача сводится к операциям с несколькими вещественными величинами.

Завихренность

есть результат применения ротора к вектору скорости (его определение дано в начале статьи), — градиент скалярного поля абсолютных значений . представляет нормализованный вектор , а — константа, контролирующая, насколько большими будут завихренности в нашей жидкости.

Метод Якоби для решения систем линейных уравнений

Для нас — элементы массива, представляющие скалярное или векторное поле. — номер итерации, его мы можем регулировать, чтобы как увеличить точность расчета или наоборот уменьшить, и повысить производительность.

Для расчет вязкости подставляем: , , , здесь параметр — сумма весов. Таким образом, нам необходимо хранить как минимум два векторных поля скоростей, чтобы независимо считать значения одного поля и записывать их в другое. В среднем, для расчета поля скорости методом Якоби необходимо провести 20-50 итераций, что весьма много, если бы мы выполняли вычисления на CPU.

Для уравнения давления мы сделаем следующую подстановку: , , , . В результате мы получим значение в точке. Но так как оно используется только для расчета градиента, вычитаемого из поля скорости, дополнительные преобразования можно не выполнять. Для поля давления лучше всего выполнять 40-80 итераций, потому что при меньших числах расхождение становится заметным.

Реализация алгоритма

Реализовывать алгоритм мы будем на C++, также нам потребуется Cuda Toolkit (как его установить вы можете прочитать на сайте Nvidia), а также SFML. CUDA нам потребуется для распараллеливания алгоритма, а SFML будет использоваться только для создания окна и отображения картинки на экране (В принципе, это вполне можно написать на OpenGL, но разница в производительности будет несущественна, а вот код увеличится еще строк на 200).

Cuda Toolkit

Сначала мы немного поговорим о том, как использовать Cuda Toolkit для распараллеливания задач. Более подробный гайд предоставляется самой Nvidia, поэтому здесь мы ограничимся только самым необходимым. Также предполагается, что вы смогли установить компилятор, и у вас получилось собрать тестовый проект без ошибок.

Чтобы создать функцию, исполняющуюся на GPU, для начала необходимо объявить, сколько ядер мы хотим использовать, и сколько блоков ядер нужно выделить. Для этого Cuda Toolkit предоставляет нам специальную структуру — dim3, по умолчанию устанавливающую все свои значения x, y, z равными 1. Указывая ее как аргумент при вызове функции, мы можем управлять количеством выделяемых ядер. Так как работаем мы с двумерным массивом, то в конструкторе необходимо установить только два поля: x и y:

где size_x и size_y — размер обрабатываемого массива. Сигнатура и вызов функции выглядят следующим образом (тройные угловые скобки обрабатываются компилятором Cuda):

В самой функции можно восстановить индексы двумерного массива через номер блока и номер ядра в этом блоке по следующей формуле:

Следует отметить, что функция, исполняемая на видеокарте, должна быть обязательно помечена тегом __global__ , а также возвращать void, поэтому чаще всего результаты вычислений записываются в передаваемый как аргумент и заранее выделенный в памяти видеокарты массив.

За освобождение и выделение памяти на видеокарте отвечают функции CudaMalloc и CudaFree. Мы можем оперировать указателями на область памяти, которые они возвращают, но получить доступ к данным из основного кода не можем. Самый простой способ вернуть результаты вычислений — воспользоваться cudaMemcpy, схожей со стандартным memcpy, но умеющей копировать данные с видеокарты в основную память и наоборот.

SFML и рендер окна

Вооружившись всеми этими знаниями, мы наконец можем перейти к непосредственному написанию кода. Для начала давайте создадим файл main.cpp и разместим туда весь вспомогательный код для рендера окна:

строка в начале функции main

создает изображение формата RGBA в виде одномерного массива с константной длиной. Его мы будем передавать вместе с другими параметрами (позиция мыши, разница между кадрами) в функцию computeField. Последняя, как и несколько других функций, объявлены в kernel.cu и вызывают код, исполняемый на GPU. Документацию по любой из функций вы можете найти на сайте SFML, в коде файла не происходит ничего сверхинтересного, поэтому мы не будем надолго на нем останавливаться.

Вычисления на GPU

Чтобы начать писать код под gpu, для начала создадим файл kernel.cu и определим в нем несколько вспомогательных классов: Color3f, Vec2, Config, SystemConfig:

Атрибут __host__ перед именем метода означает, что код может исполнятся на CPU, __device__ , наоборот, обязует компилятор собирать код под GPU. В коде объявляются примитивы для работы с двухкомпонентными векторами, цветом, конфиги с параметрами, которые можно менять в рантайме, а также несколько статических указателей на массивы, которые мы будем использовать как буферы для вычислений.

cudaInit и cudaExit также определяеются достаточно тривиально:

В функции инициализации мы выделяем память под двумерные массивы, задаем массив цветов, которые мы будем использовать для раскраски жидкости, а также устанавливаем в конфиг значения по умолчанию. В cudaExit мы просто освобождаем все буферы. Как бы это парадоксально не звучало, для хранения двумерных массивов выгоднее всего использовать одномерные, обращение к которым будет осуществляться таким выражением:

Начнем реализацию непосредственного алгоритма с функции перемещения частиц. В advect передаются поля oldField и newField (то поле, откуда берутся данные и то, куда они записываются), размер массива, а также дельта времени и коэффициент плотности (используется для того, чтобы ускорить растворение красителя в жидкости и сделать среду не сильно чувствительной к действиям пользователя). Функция билинейной интерполяции реализована классическим образом через вычисление промежуточных значений:

Функцию диффузии вязкости было решено разделить на несколько частей: из главного кода вызывается computeDiffusion, которая вызывает diffuse и computeColor заранее указанное число раз, а затем меняет местами массив, откуда мы берем данные, и тот, куда мы их записываем. Это самый простой способ реализовать параллельную обработку данных, но мы расходует в два раза больше памяти.

Обе функции вызывают вариации метода Якоби. В теле jacobiColor и jacobiVelocity сразу же идет проверка, что текущие элементы не находятся на границе — в этом случае мы должны установить их в соответствии с формулами, изложенными в разделе Граничные и начальные условия.

Применение внешней силы реализовано через единственную функцию — applyForce, принимающую как аргументы позицию мыши, цвет красителя, а также радиус действия. С ее помощью мы можем придать скорость частицам, а также красить их. братная экспонента позволяет сделать область не слишком резкой, и при этом достаточно четкой в указанном радиусе.

Расчет завихренности представляет из себя уже более сложный процесс, поэтому его мы реализуем в computeVorticity и applyVorticity, заметим также, что для них необходимо определить два таких векторных оператора, как curl (ротор) и absGradient (градиент абсолютных значений поля). Чтобы задать дополнительные эффекты вихря, мы умножаем компоненту вектора градиента на , а затем нормализируем его, разделив на длину (не забыв при этом проверить, что вектор ненулевой):

Следующим этапом алгоритма будет вычисление скалярного поля давления и его проекция на поле скорости. Для этого нам потребуется реализовать 4 функции: divergency, которая будет считать дивергенцию скорости, jacobiPressure, реализующую метод Якоби для давления, и computePressure c computePressureImpl, проводящие итеративные вычисления поля:

Проекция умещается в две небольшие функции — project и вызываемой ей gradient для давления. Это, можно сказать, последний этап нашего алгоритма симуляции:

После проекции мы смело можем перейти к отрисовке изображения в буфер и различным пост-эффектам. В функции paint выполняется копирование цветов из поля частиц в массив RGBA. Также была реализована функция applyBloom, которая подсвечивает жидкость, когда на нее наведен курсор и нажата клавиша мыши. Из опыта, такой прием делает картину более приятной и интересной для глаз пользователя, но он вовсе не обязателен.

В постобработке также можно подсвечивать места, в которых жидкость имеет наибольшую скорость, менять цвет в зависимости от вектора движения, добавлять различные эффекты и прочее, но в нашем случае мы ограничимся своеобразным минимумом, ведь даже с ним изображения получаются весьма завораживающими (особенно в динамике):

И под конец у нас осталась одна главная функция, которую мы вызываем из main.cpp — computeField. Она сцепляет воедино все кусочки алгоритма, вызывая код на видеокарте, а также копирует данные с gpu на cpu. В ней же находится и расчет вектора импульса и выбор цвета красителя, которые мы передаем в applyForce:

Заключение

В этой статье мы разобрали численный алгоритм решения уравнения Навье-Стокса и написали небольшую программу-симуляцию для несжимаемой жидкости. Быть может мы и не разобрались во всех тонкостях, но я надеюсь, что материал оказался для вас интересным и полезным, и как минимум послужил хорошим введением в область моделирования жидкостей.

Как автор данной статьи, я буду искренне признателен любым комментариям и дополнениям, и постараюсь ответить на все возникшие у вас вопросы под этим постом.

Дополнительный материал

Весь исходный код, приведенный в данной статье, вы можете найти в моем Github-репозитории. Любые предложения по улучшению приветствуются.

Оригинальный материал, послуживший основой для данной статьи, вы можете прочесть на официальном сайте Nvidia (англ). В нем также представлены примеры реализации частей алгоритма на языке шейдеров:
developer.download.nvidia.com/books/HTML/gpugems/gpugems_ch38.html

Доказательство теоремы разложения Гельмгольца и огромное количество дополнительного материала про механику жидкостей можно найти в данной книге (англ, см. раздел 1.2):
Chorin, A.J., and J.E. Marsden. 1993. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. 3rd ed. Springer.

Канал одного англоязычного ютубера, делающего качественный контент, связанной с математикой, и решением дифференциальных уравнений в частности (англ). Очень наглядные ролики, помогающие понять суть многих вещей в математике и физике:
3Blue1Brown — YouTube
Differential Equations (3Blue1Brown)

Также выражаю благодарность WhiteBlackGoose за помощь в подготовке материала для статьи.

И под конец небольшой бонус — несколько красивых скриншотов, снятых в программе:

Прямой поток (дефолтные настройки)

Водоворот (большой радиус в applyForce)

Волна (высокая завихренность + диффузия)

Также по многочисленным просьбам добавил видео с работой симуляции:

НАВЬЕ́ – СТО́КСА УРАВНЕ́НИЯ

НАВЬЕ́ – СТ О́КСА УРАВНЕ́НИЯ, диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния дви­же­ния сплош­ной сре­ды (жид­ко­сти или га­за), учи­ты­ваю­щие её вяз­кость. Вы­ве­де­ны Л. На­вье в 1822 (опубл. в 1827) на ос­но­ве уп­ро­щён­ной мо­де­ли мо­ле­ку­ляр­ных взаи­мо­дей­ствий. В 1845 Дж. Стокс в ре­зуль­та­те изу­че­ния ста­цио­нар­но­го дви­же­ния не­сжи­мае­мой жид­ко­сти по­лу­чил эти урав­не­ния в совр. фор­ме с ис­поль­зо­ва­ни­ем за­ко­нов со­хра­не­ния мас­сы и им­пуль­са для сплош­ной сре­ды.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Особенности напряженного состояния вязкой жидкости.

Нормальные и касательные напряжения. Тензор напряжений.

Закон трения Ньютона. Законом трения Стокса.

Поперечный и продольной градиент скорости.

Динамический и кинематический коэффициент вязкости.

Скорости угловой и линейной деформации. Тензор скоростей деформаций

Давление в вязкой жидкости. «Вторая вязкость».

Уравнение Навье Стокса.

Уравнения движения идеальной жидкости рассматривались в разделе Уравнения движения[1], где они были представлены в форме Эйлера и в форме Громеки. В настоящем разделе изучается движение вязкой жидкости. Это более сложное явление. В отличие от идеальной жидкости, где поверхностными силами являются только силы нормального давления (нормальные напряжения сжатия), в вязкой жидкости эти силы получаются несколько иными, а именно: появляются касательные напряжения, приложенные к поверхностям, которые ограничивают рассматриваемый объем, нормальные напряжения зависят не только от давления, но и от сил вязкости.

Уравнения движения вязкой жидкости выводятся тем же методом, что и уравнения Эйлера, только расширяется комплект действующих сил — добавляются касательные напряжения, а нормальные напряжения вычисляются более сложно. Поэтому, прежде чем приступить к выводу, необходимо выяснить, как определяются напряжения.

В элементарном объеме, изображенном на рисунке 5, полагая, что жидкость вязкая, векторы поверхностных сил будут направлены не перпендикулярно к площадкам (например, АDЕF, ВСКL), а под косыми углами к ним. Это связано с тем, что векторы напряжений поверхностных сил имеют не только нормальные компоненты, но и касательные. Заметим также, что в теории вязкой жидкости положительными нормальными напряжениями считаются напряжения растяжения. Поэтому на схемах подобных рисунку 5, напряжения от поверхностных сил изображают векторами, направленными не внутрь рассматриваемого объема, а наружу.

Для обозначения проекций вектора напряжения поверхностной силы применяется двойная индексация. Первый индекс указывает ту площадку, на которой рассматриваются напряжения. Этому индексу дается наименование той координатной оси, которая нормальна к заданной площадке. Так, например, для площадки, параллельной координатной плоскости хоу, при обозначении любых напряжений первым индексом будет z. Второй индекс указывает ту ось, на которую проектируется вектор напряжения. Таким образом, на каждой площадке рассматриваются два касательных и одно нормальное напряжение. Касательные имеют разноименные индексы, нормальные — одноименные (см. рисунок 109).

Поскольку частицу жидкости можно представить как элементарный объем кубической формы, то вполне очевидно, что для характеристики ее напряженного состояния нужно задать следующие девять величин:

Если составить моменты сил, вызываемые касательными напряжениями, приложенными к граням кубика, и рассмотреть условия их равновесия относительно координатных осей [2], то нетрудно доказать, что

т.е. касательные напряжения, приложенные к смежным граням и действующие в одной плоскости, численно равны. Это дает значительное упрощение, так как позволяет сократить число рассматриваемых напряжений с девяти до шести.

Для дальнейших рассуждений необходимо связать напряжения со скоростью движения жидкости.

Наиболее простую зависимость касательных напряжений от скорости дает закон жидкостного трения Ньютона

(6.1)

Здесь τ — касательное напряжение, ∂w/∂n — изменение скорости по нормали к линии тока, или поперечный градиент скорости. Коэффициент пропорциональности в этой формуле μ — называется динамическим коэффициентом вязкости, или динамической вязкостью. Он зависит от рода жидкости и характеризует вязкость. Кроме того, он зависит от температуры. Для капельных жидкостей с ростом температуры и уменьшается, следуя зависимости

(6.2)

где а и b — постоянные для данного рода жидкости коэффициенты, t — температура в градусах Цельсия, μ₀ — динамический коэффициент вязкости при t=0°. Для газов μ возрастает с увеличением температуры. Эта зависимость хорошо описывается формулой Сатерлэнда

(6.3)

в которой с — коэффициент, зависящий только от рода газа, Т — абсолютная температура в градусах Кельвина, μ₀ — коэффициент вязкости при Т=Т₀. Для воздуха можно пользоваться также приближенной зависимостью

(6.4)

Наряду с динамическим коэффициентом вязкости применяется еще кинематический коэффициент вязкости

(6.5)

Его размерность [м 2 /сек] не содержит динамических величин, а только кинематические, откуда он и получил свое название.

Единицы измерения дляμ и ν в различных системах следующие:

СИ	СГС	МКГС (техническая)
μ	1	1	1
ν	1	1	1

В системе СГС эти единицы имеют специальные названия: 1 дин сек/см 2 = 1 пуаз; 1 см 2 /сек = 1 стокс. Соотношение между единицами в различных системах такое:

Применяя формулу Ньютона (6.1) к потоку, движущемуся параллельно плоскости хоу (см. рисунок 110), можно записать

(6.6)

Если рассмотреть два бесконечно близко расположенных слоя, которые на рисунке 110 изображены параллельными плоскостями, то можно заметить, что касательные напряжения на верхний слой со стороны нижнего действуют против движения, а на нижний со стороны верхнего — по движению. Иначе говоря, верхний слой стремится увлечь за собой нижний, а нижний слой тормозит верхний. Объем жидкости, находящийся между такими слоями, деформируется, получая деформацию сдвига (см. рисунок 111). Согласно формуле (1.5)[3] скорость угловой деформации определится как

что при =0 (так как w_z=0) даст

(6.7)

Таким образом, между касательным напряжением и скоростью угловой деформации существует линейная зависимость с коэффициентом пропорциональности 2μ.

В более общем виде связь между напряжениями и скоростями деформации жидкости устана­вливается законом трения Стокса. Этот закон имеет формальную аналогию с законом Гука для твердого тела, применяемом в теории упругости или в сопротивлении мате­риалов. По закону Гука напряжения, возникающие в твердом теле, пропорциональны деформациям: нормальные напряжения пропорциональны линейным относительным деформациям, а касательные — угловым. Согласно закону Стокса напря­же­ния пропорциональны не деформациям, а скоростям деформации: нормальные — скорости линейной деформации, а касательные — скорости угловой деформации. Коэффициент пропорциональности, как это следует из рассмотренного выше частного примера, равен 2μ [4].

Обращаясь к теореме Коши-Гельмгольца (1.7)[5] видим, что при движении жидкого объема в общем случае имеют место следующие скорости деформации:

скорости линейной деформации

скорости угловой деформации

Тогда, принимая во внимание формулы (1.5), можно записать касательные напряжения в таком виде:

(6.8)

а нормальные напряжения, возникающие только от действия сил вязкости, представить так:

(6.9)

Нужно обратить внимание, что полные величины нормальных напряжений р_хх, р_уу, р_zz отличаются от записанных формулой (6.9) на величину давления в газе р₀, которое определяется молекулярно-кинетическими процессами. (Давление в газе или жидкости существует и тогда, когда влияние вязкости отсутствует, например, в идеальной жидкости или в неподвижной реальной жидкости). Таким образом,

(6.10)

Знак минус перед величиной р₀ связан с тем, что давление создает напряжения сжатия, в то время как положительными считаются нормальные напряжения растяжения.

Вычитая из утроенной величины р_xх сумму напряжений, можно записать

(6.11)

Теперь следует ввести понятие о том, что такое давление в вязкой жидкости.

Если за величину давления принять нормальные напряжения р_хх, р_yy, р_zz, то возникает неудобство, так как в одной и той же точке эти напряжения различны по величине. В этом случае пришлось бы в каждом направлении рассматривать свою величину давления. Для того чтобы понятия давления в вязкой жидкости и в идеальной жидкости сохранялись идентичными, надо отыскать такую комбинацию, составленную из трех напряжений р_хх, р_yy и р_zz, которая не зависела бы от ориентации системы координат, иначе говоря, которая не зависела бы от ориентации площадки, проведенной внутри жидкости для подсчета действующих на нее сил давления. Таким свойством обладает средняя арифметическая величина

Она и принимается в качестве давления в вязкой жидкости.

Пользуясь таким представлением о давлении, можно записать выражение (6.11) для р_хх и аналогичные ему для р_yy и р_zz в следующем виде:

(6.13)

В случае несжимаемой жидкости, согласно уравнению неразрывности divw=0, тогда последние слагаемые в правой части обращаются в нуль и уравнения (6.13) упрощаются. Сопоставляя их с формулами (6.10), нетрудно заметить, что в этом случае р=р₀.

Попутно заметим, что «давление движущейся жидкости имеет свойства гидростатического, если не учитывать сил вязкости. Действительно, для невязкой жидкости силы, являющиеся причиной движения, не отличаются от сил, действующих в покоящейся жидкости (массовые силы, силы инерции). Поэтому доказательство того, что давление образует скалярное поле (см. Гидростатику), полностью распространяется и на движущуюся невязкую жидкость».

Для вывода уравнений движения вязкой жидкости рассмотрим элементарный объем АВСDЕFLК (см. рисунок 112), движущийся под действием сил: поверхностных нормальных , поверхностных касательных и массовых . Равнодействующая этих сил, в соответствии со вторым законом Ньютона, должна равняться массе жидкого объема, умноженной на ускорение. Запишем это уравнение сначала в проекциях на ось x, подсчитав предварительно проекции действующих сил

здесь — масса, а — проекция ускорения на ось х. После подстановки сюда вычисленных значений проекций сил, приведения подобных и сокращения на , это уравнение приобретает вид:

(6.14)

Подставим теперь вместо напряжений их выражения через скорости деформаций, пользуясь формулами (6.13) и (6.8) и считая μ=соnst. Тогда

и уравнение (6.14) после небольших преобразований принимает такой вид:

Применяя здесь операторы Δ и div

Поделив обе части равенства на ρ и приняв во внимание, что , представим уравнение движения в проекциях на ось х и аналогичные ему в проекциях на оси у и z в окончательном виде

(6.15)

Они называются уравнениями Навье-Стокса [6].

В заключение нужно отметить, что существует кроме зависимости (6.12) еще одна, которая может представлять давление в вязкой жидкости, а именно

Эта величина также не зависит от ориентации площадки, на которую рассматривается действие сил давления. Коэффициент μ’ называется второй вязкостью.

На формальную возможность такого представления давления указывали еще Стокс и Кирхгоф, однако физическое истолкование явление второй вязкости получило в 1937 году в работах Л.И.Мандельштама и М.А.Леонтовича. Вторая вязкость связана с явлениями неравновесности и проявляется в быстропротекающих процессах. Если в движущемся газе происходит очень быстрое изменение плотности, то наблюдается некоторое отставание в изменении других величин. Восстановление равновесия протекает с диссипацией энергии, т.е. с необратимым преобразованием части энергии в тепло. Таким образом, этот эффект аналогичен вязкости.

Если провести вывод уравнений Навье–Стокса, воспользовавшись формулой (6.16) вместо (6.12), то они принимают такой вид:

(6.17)

Нужно заметить, что в несжимаемой жидкости вторая вязкость не проявляется (divw=0), а в газах при сравнительно медленных процессах последний член в формуле (6.16) мал, поэтому в обычных случаях давление в вязкой жидкости определяют по формуле (6.12), а уравнения Навье — Стокса берут в форме (6.15).

«Дифференциальные уравнения газовой динамики, записанные в координатной форме, сложны, их вывод требует большого времени и большого количества бумаги. Значительно удобнее при их получении использовать векторную алгебру и самые начала тензорного анализа: тензорные обозначения и простейшие тензорные преобразования».