Дифференциальное уравнение движения свободных колебаний

Дифференциальное уравнение свободных колебаний

Для изучения любого физического явления необходима модель. Моделью для изучения механических колебаний является гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, которые могут быть описаны дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний, имеющим вид:

. (19.5)

Выражение (19.5) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, решением уравнения (19.5) является выражение (19.1).

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, математический и физический маятники.

Пружинный маятник — Пружинный маятник тело, подвешенное на пружине жесткостью k.Модель пружинного маятника показана на рис.19.1. Положение тела, при котором пружина не деформирована, является положением устойчивого равновесия. При отклонении тела от положения равновесия в результате деформации возникает сила упругости, которая согласно закону Гука равна .

Свободные колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Рис. 19.1

В случае пружинного маятника уравнение движения согласно второму закону Ньютона можно записать . Делим на m, получим:

. (19.6)

Учтем, что , получим уравнение (19.5)

Период колебаний пружинного маятника определяется как

. (19.7)

Потенциальная энергия пружинного маятника определяется как:

. (19.8)

Математический маятник. Математическим маятником называют подвешенный на тонкой нерастяжимой нити груз, размеры которого меньше длины нити, а масса больше массы нити.

Положение, в котором нить вертикальна – положение устойчивого равновесия. В положении устойчивого равновесия сила тяжести уравновешена силой натяжения нити , как показано на рис.19.2. При отклонении нити на угол α торавнодействующая сил тяжести и силы натяжения нити будет направлена к положению устойчивого равновесия.

. (19.9)

Если тело отпустить, то будем наблюдать свободные колебания. Во время колебаний можно считать, что меняется только координата х. Запишем проекцию равнодействующей силы на ось х

. (19.10)

При малых значениях a (a

4 о ) пренебрегаем движением вдоль оси y

(19.11)

Рис.19.2.

Из уравнения (19.10), учитывая (19.11) определим проекцию равнодействующей силы на ось х, которая согласно второму закону Ньютона равна

,

учтем, что , получим

Уравнение гармонических колебаний математического маятника можно записать в дифференциальной форме

. (19.12)

Подставим значение . Получим уравнение (19.5). Отсюда период математического маятника равен

, (19.13)

где l – длина математического маятника.

Физический маятник. Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр масс. Ось вращения, которого, расположена выше центра масс (рис.19.3).

При колебаниях физического маятника, возникает вращающий момент , который согласно основному уравнению динамики вращательного движения равен:

, (19.14)

где J – момент инерции,

ε – угловое ускорение,

l – расстояние между точкой подвеса и центром масс. Уравнение (19.14) можно записать в виде: или .

Принимая во внимание или .

Можно получить выражение периода колебаний физического маятника:

, (19.15)

где — приведенная длина физического маятника. Приведенная длина, приравнивается длине математического маятника с таким же периодом колебаний.

Рис.19.3.

Период колебаний физического маятника, следовательно, и его приведенная длина, немонотонно зависят от расстояния от точки подвеса до центра масс маятника. Это легко заметить, если в соответствии с теоремой Штейнера (4.7) момент инерции выразить через момент инерции относительно параллельной горизонтальной оси, проходящей через центр масс. Тогда период колебаний будет равен

, (19.16)

где J₀ –момент инерции центра масс.

На практике значения низших собственных частот систем могут быть весьма малыми. Например, бельевая веревка, подвешенная на двух столбах, может в случае достаточного провисания совершать свободные колебания с частотой 1-2Гц. Колебания такого типа были обнаружены осенью 1959г. у проводов линии электропередачи, пересекавшей реку Северную, частота собственных колебаний была весьма низкой — около 1/8Гц. Провода диаметром 43мм, протянутые над рекой, были прикреплены к двум большим пилонам, расстояние между которыми превышало 1,6км. Было обнаружено, что когда ветер дул с небольшой силой, но в определенном направлении, возникали столь интенсивные низкочастотные колебания проводов, что эти провода, минимальное расстояние между которыми составляло 8,2м, входили в соприкосновение, вызывавшее короткое замыкание в системе электропередачи. (Была найдена вероятная причина этих колебаний, и в дальнейшем их удалось предотвращать путем покрытия тросов тонкой пластиковой лентой: благодаря этому изменялась геометрия поверхности, обтекаемой воздушным потоком).

Колебания проводов над рекой не представляют собой свободных колебаний, поскольку в этом случае пассивная система находилась под действием внешнего источника энергии — ветра. Однако характерно, что при решении этой проблемы инженерам, как обычно, потребовалась информация относительно значений собственных частот системы, близких к частоте наблюдавшихся колебаний.

18.3.Скорость и ускорение гармонических колебаний

Если материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат тогда зависимость координаты х от времени t описывается уравнением (19.1). Скорость и ускорение a колеблющееся точки соответственно равны:

, (19.17)

и , (19.18)

т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды скорости и ускоренияколебаний соответственно равны υ_max = Аw и a_max= Аw₀ 2 . Фаза скорости (19.17) отличается от фазы величины (19.1) на , а фаза ускорения (19.18) отличается от фазы величины (19.1) на . В момент времени, когда х=0скорость колеблющейся точки максимальна по величине и равна амплитуде скорости в моменты прохождения колеблющейся точки через положение равновесия. При максимальных смещениях (х =±А) скорость равна нулю. Вектор скорости всегда направлен в сторону движения.

Ускорение равно нулю при прохождении колеблющейся точки через положение равновесия и достигает максимального по величине значения, которое равно амплитуде ускорения, при максимальных смещениях колеблющейся точки. Вектор ускорения всегда направлен в сторону положения равновесия. Удаляясь от положения равновесия, колеблющаяся точка движется, замедлено, приближаясь к нему – ускоренно.

Рис.19.4.

График гармонического колебания, который описывается уравнением (19.1), скорость гармонического колебания, описываемая уравнением (19.17), и ускорение (19.18) показаны на рис.19.4. Видно, что смещение, скорость и ускорение гармонически колеблющейся точки являются периодическими функциями от времени с одинаковыми периодами.

Колебания материальной точки в теоретической механике

Содержание:

Колебания материальной точки:

К исследованию колебаний одной материальной точки могут быть сведены многие технические задачи

В качестве примера интегрирования дифференциальных уравнений движения рассмотрим колебания материальной точки. Еще совсем недавно изучение колебаний не входило в программу курсов теоретической механики высших учебных заведений. Но необходимость создания новых методов расчета всевозможных машин и различных сооружений, обладающих большой прочностью при небольшом весе, а также необходимость увеличения скоростей и производигельности машин стимулировали быстрое развитие раздела динамики, называемого теорией колебаний. Раздел, посвященный колебаниям, включен теперь во все программы по теоретической механике.

C основами явлений колебаний удобно ознакомиться сперва на примере, колебания одной материальной точки. Изучение вибраций одной материальной точки интересно также и потому, что к вибрации точки могут быть непосредственно приведены многие практически важные задачи.

Пусть точка M массы m притягивается к точке О силой F, пропорциональной (рис. 162) расстоянию ОМ, а начальная скорость точки M направлена по прямой OM или равна нулю. В таком случае точка M будет двигаться по прямолинейной траектории, вдоль которой мы направим ось х. Начало координат возьмем в точке О (в равновесном положении). Сила F как бы стремится вернуть точку M в равновесное положение О, за что ее называют восстанавливающей силой. Примером такой силы могут служить сила упругости стержня, совершающего малые колебания, или равнодействующая сил веса G и натяжения T нити при малых колебаниях маятника и т. и. Чем больше координата х, тем больше величина этой силы. Вместе с тем сила (точнее говоря, ее проекция на ось Ох) по знаку всегда противоположна знаку координаты х. В самом деле, если точка M находится справа от x начала координат О, то координата х положительна, а сила направлена в отрицательную сторону, и наоборот, если координата х отрицательна, то восстанавливающая сила направлена в положительную сторону. Обозначив коэффициент пропорциональности между силой и расстоянием через с (причем с > 0), выразим восстанавливающую силу формулой

Рис. 162

Пусть на точку M во время ее движения действует сила сопротивления R, пропорциональная скорости точки и направленная против скорости. Таким образом, если точка M движется вправо (х > 0), то сила сопротивления направлена влево (R 0. Обозначив коэффициент пропорциональности через а (причем а > 0), мы определим силу сопротивления (выражаясь точнее, ее проекцию на ось Ох) формулой

Кроме того, пусть на точку M действует возмущающая сила Р, т. е. некоторая дополнительная сила, вызывающая изменение движения, обусловленного основной силой F. Возмущающая сила направлена по прямолинейной траектории точки M и, периодически изменяя свою величину и знак, раскачивает точку M то в ту, то в другую сторону. Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая и предположим, что сила P изменяется с течением времени по закону синуса:

P = H sin pt. (133)

Очевидно, что сила P изменяется в пределах от +Н до —Н. Пример такой силы приведен в задаче № 110.

Напишем дифференциальное уравнение движения точки M:

Разделив обе части уравнения на т, введем обозначения

(134)

и перенесем члены, содержащие х или его производные, влево:

х + 2nx + k 2 x =h sin pt. (135)

Мы имеем неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения складывается из: 1) общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения (135) без правой части, и какого-либо частного решения неоднородного уравнения (135).

Для интегрирования уравнения

х + 2nx + k 2 x = 0

составим характеристическое уравнение

z 2 + 2nz + k 2 = 0.

Если n 2 sin (pt— δ)

и подставим в (135) написанное выражение х и его производных:

— Bp 2 sin (pt — δ) + 2nBp cos (pt — δ) + k 2 B sin (pt — δ) = h sin pt.

Преобразуем правую часть этого равенства:

h sin pt = h sin (pt — δ +δ) = h sin (pt — δ) cos ∂ + h cos (pt — δ) sin δ.

Перенеся все члены влево и собирая члены, содержащие sin(pt— δ) и cos (pt — δ), получим

[В (k 2 —p 2 )-h cos δ] sin (pt — δ) + (2Bnp-hsin δ) cos (pt — δ) = O.

Это равенство обращается в тождество, если

В (k 2 — р 2 ) = h cos δ; 2Bnp = h sin δ,

(137)

Складывая общее решение (136) однородного уравнения с найденным частным решением неоднородного уравнения, получим общее решение неоднородного уравнения (135) в таком виде:

(138)

Прежде чем исследовать сложное колебательное движение точки под действием сил F, R и P, выражаемое уравнением (138), рассмотрим более простые движения, которые точка совершала’ бы под действием одной силы F или же под действием силы F и какой-либо- одной из двух остальных R или Р.

Точка, движущаяся по прямой, совершает под действием восстанавливающей силы гармоническое колебание

Свободные колебания без сопротивления

Предположим, что на материальную точку M (см. рис. 162 на стр. 274) действует только восстанавливающая сила (131), сила же сопротивления (132) и возмущающая сила (133) равны нулю. Пусть начальная скорость точки M направлена по прямой MO или равна нулю. В таком случае точка M будет двигаться по прямой OM (по оси Ох), дифференциальное и кинематическое уравнения ее движения мы получим, положив в (135) и в (138) n и h равными нулю. В самом деле, если сила сопротивления R=O, то, следовательно, α = 0, потому что R=— ах и х переменная величина. Если же a = 0, то равно нулю и n, которое согласно (134) равно . Аналогично, равенство нулю возмущающей силы означает, что равны нулю H и h.

В таком случае уравнение (135) принимает вид

Этому уравнению придадим более удобный вид, для чего выразим, постоянные интегрирования C₁ и C₂ через две другие постоянные величины А и β, однозначно связанные с C₁ и C₂ соотношениями

x = A sin (kt+ β). (140)

Это уравнение является одним из важнейших уравнений в теории колебаний и описывает наиболее простое колебательное движение, называемое гармоническим. Еще в древности было известно, что если некоторая точка M’ (рис. 163) равномерно движется по окружности радиуса О’М’ — А со скоростью kA, то проекция M этой точки на какую-либо ось Ох, лежащую в плоскости окружности, совершает гармонические колебания. Мы воспользуемся рис. 163, чтобы нагляднее ознакомить читателя с параметрами гармонического колебания.

Рис. 163

Если точка M’ опишет полную окружность, то точка M’ совершит одно полное колебание.

Время одного полного колебания точки M (или, что то же, время,в течение которого точка M’ описывает одну полную окружность) называют периодом -τ₀ колебаний.

Угловая скорость k, с которой поворачивается радиус-вектор при равномерном движении точки M’, равна циклической, круговой или угловой частоте колебаний точки М. Эту величину обычно коротко называют частотой, хотя, как будет видно из дальнейшего, оба понятия не вполне идентичны.

Период и угловая частота связаны простым соотношением, которое становится очевидным, если учесть, что τ₀—это время, в течение которого , вращаясь с угловой скоростью k, поворачивается на 2π:

и (141)

(142)

Период имеет размерность времени

Частота имеет размерность угловой скорости

Из (141) видно, что круговая частота k равна числу полных колебаний, совершаемых в 2π сек. Частота ν колебаний пропорциональна круговой (циклической, угловой) частоте k и равна. В технике и в физике частоту обычно измеряют в герцах (гц). 1 гц — частота, равная одному полному колебанию (циклу) в секунду. Иначе говоря, герц есть частота такого периодического процесса, который повторяется каждую секунду. Обратите внимание на то, что частота и период гармонических колебаний зависят от массы точки и коэффициента с восстанавливающей силы и не зависят от начальных данных.

Максимальное отклонение А точки M от среднего (равновесного) положения О в ту или в другую сторону (или, что то же, радиус круговой траектории точки М’) называют амплитудой. Амплитуду измеряют в единицах длины:

Аргумент синуса (kt + β) называют фазой колебания, a β—начальной фазой. Физический смысл фазы колебания выявляется при сравнении двух колебаний с одинаковыми частотами, но с разными начальными фазами. Колебание с фазой (kt+ β) опережает колебание с фазой kt, а колебание с фазой (kt — β) отстает от него (разумеется, при положительном β).

Напомним, что А и β являются постоянными интеграции, а следовательно, их определяют по начальным данным. Пусть в начальное мгновение t = 0, x=x₀ и x=x₀. Продифференцировав (140) по времени, получим х = Ak cos (kt + β), и подставляя начальные значения:

(143)

Из тех же равенств можно определить и начальную фазу . Амплитуда и начальная фаза зависят от частоты и от начальных данных.

Задача №1

Груз весом 2 T подвешен на тросе (рис. 164). При равномерном спуске груза со скоростью υ = 5м/сек произошла неожиданная задержка верхнего конца троса вследствие защемления троса в обойме блока. Пренебрегая весом троса, определить его наибольшее натяжение при последующих колебаниях груза, если коэффициент жесткости троса с = 4 T/см.

Решение. Примем следующие единицы измерений: длина—в см, время — в сек, сила—в Т. Рассмотрим движение груза. На груз действуют две силы: вертикально вниз вес груза 2T, вертикально вверх — натяжение троса. Груз спускался равномерно, следовательно, до защемления натяжение троса равнялось весу груза. В этом равновесном положении его застала авария. После защемления троса груз не остановился мгновенно. В это мгновение он имел скорость 5 м/сек и продолжал опускаться. Но по мере опускания груза сила натяжения троса возрастала от своего начального значения 2T. Ускорение груза направлено по силе и пропорционально ей. Поэтому опускание груза было замедленным и в некоторое мгновение скорость груза, перейдя через нуль, стала направленной вверх, в направлении силы и ускорения. Движение вверх было ускоренным, но по мере того как груз поднимался, растяжение троса, а следовательно, и его натяжение уменьшались, а потому уменьшалось ускорение груза, скорость же продолжала увеличиваться до момента прохождения через равновесное положение. После этого груз, набрав скорость, продолжал подниматься, ио замедленно, так как натяжение троса стало меньше силы веса и равнодействующая приложенных к грузу сил была направлена вниз. Затем скорость стала равной нулю, груз начал падать вниз, натяжение троса возрастало и движение повторялось снова неопределенное количество раз.

Начало О системы отсчета выберем обязательно в равновесном положении груза, относительно которого происходят колебания, направив ось Ox вертикально вниз (рис. 164). В начальное мгновение (в момент защемления троса) было: x₀= 0; x₀= 500 см/сек. Квадрат круговой частоты определим по (134). После подстановки в формулу имеем . Определим амплитуду по формуле (143):

Таким образом, при равновесном положении груза натяжение троса равно 2T; когда же груз опустился на одну амплитуду, то трос растянулся еще на 11,28 см, а при жесткости троса в 4 T/см натяжение его увеличилось еще на 45,12 Т.

Натуральный логарифм отношения двух последующих амплитуд затухающих колебаний называют логарифмическим декрементом

Свободные колебания с сопротивлением

Движение под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления будем называть свободными колебаниями. Мы только что убедились, что свободные колебания без сопротивления являются гармоническими и, раз возникнув, они повторялись бы до тех пор, пока их не прекратила бы или не изменила бы какая-нибудь внешняя сила. Пусть возмущающая сила отсутствует (P = 0, H = 0, h = 0), а на точку действуют силы F=-cx и R =—ах. Дифференциальное уравнение (135) движения точки M принимает вид

х + 2nx 4- k 2 x = 0, (144)

а его интеграл получим, положив в (138) h=0:

или, если воспользуемся соотношениями (140),

(145)

Постоянные А и β определяют по начальным данным.

Наиболее существенное отличие уравнения (145) от уравнения (140), иначе говоря, наиболее существенное изменение в свободном колебании точки М, внесенное наличием силы сопротивления, заключается в множителе e -nt , который с течением времени непрерывно уменьшается, вследствие чего амплитуда Ae -nt колебаний с сопротивлением убывает по экспоненциальному закону, асимптотически приближаясь к нулю. Такое колебание называют затухающим.

Переходя к определению периода затухающих колебаний, обратим внимание на то, что вообще периодом периодического движения называют промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки (или системы) через одно и то же положение водном и том же направлении. В случае затухающих колебаний только равновесное положение удовлетворяет такому определению периода, через всякое же другое положение точка M (или любая система, совершающая затухающие колебания) проходит через неравные промежутки времени (см. рис. 165). Поэтому под периодом затухающих колебаний понимают промежуток времени τ₁ между двумя последовательными прохождениями точки M (или системы) через положение равновесия в одинаковом направлении. В таком же смысле колебания, описываемые уравнением (145), могут быть названы изохронными. Период затухающих колебаний можно определить но формуле

(146)

Проф. И. М. Бабаков в учебнике «Теория колебаний» рекомендует для практических расчетов более удобную формулу:

(146 / )

Сравнивая (141) и (146), мы видим, что сопротивление увеличивает период свободных колебаний, но незначительно.

Гораздо больше оно влияет на убывание амплитуд. Так, например, при n = 0,05 k сопротивления увеличивают период на 0,125%, а амплитуда за время одного полного колебания уменьшается более чем на 25%. На рис. 165 изображен график затухающих колебаний для случая n = 0,05 k, позаимствованный из «Лекций» проф. Е. Л. Николаи.

Отношение абсолютных значений двух последовательных амплитудных отклонений точки от равновесного положения называют коэффициентом затухания:

(147)

Для характеристики быстроты убывания амплитуды удобнее пользоваться натуральным логарифмом коэффициента затухания, называемым логарифмическим декрементом колебаний:

(147 / )

На рис. 165 пунктиром изображены кривые, уравнения которых x= Ае -n и х = —Ae -nt . График затухающих колебаний расположен между этими двумя кривыми и поочередно их касается.

Задача №2

Маятник, масса которого равна 1 кг и период качания в безвоздушной среде τ₀=l сек, заставили качаться вереде, сопротивляющейся но закону R =—2х н. Определить: 1) период затухающих колебаний маятника и 2) уменьшение амплитуды в течение трех периодов.

Решение. Определим параметры колебаний.

Круговая частота. Период τ₀=l сек= , откуда k=2π = G,28.

Коэффициент α=2; m=1; 2n=, откуда n=l.

Период затухающих колебаний , или по (146′),
. Логарифмический декремент . Коэффициент затухания .

Отношение каждого максимального отклонения к последующему (через полпериода) равно коэффициенту затухания, следовательно, если амплитуду при первом размахе принять за 1, то следующие уменьшаются в отношении .

Под действием восстанавливающей и возмущающей сил точка совершает сложное колебание, являющееся результатом наложения трех гармонических колебаний: свободного, сопровождающего свободного и вынужденного

Вынужденные колебания без сопротивления

Пусть на точку М, движущуюся по оси Ох, действуют две силы — восстанавливающая F=— CX и возмущающая P =H sin pt, направленные также по оси Ох. Величина pt может быть названа фазой силы, постоянную р назовем круговой частотой возмущающей силы, а период этих изменений обозначим через τ. Действие сопротивления мы пока не учитываем, поэтому, положив в уравнении (135) n = 0, получим следующее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний без сопротивления:

x+ k 2 x = h sin pt. (148)

Чтобы найти решение этого уравнения, надо в (138) положить равным нулю не только n, но и δ, так как согласно (137) δ = 0 при n = 0. Имеем

Определим постоянные. Если в начальное мгновение х = x₀ и x = χ₀, то

(149)

Первые два слагаемых описывают свободные колебания с частотой k. Воспользовавшись соотношениями (140″), эти два слагаемых можно представить в виде x₁ = A sin (kt + β). Если в начальное мгновение х = х= 0, то эти колебания во все время действия возмущающей силы не возникают. Третье слагаемое

— гармоническое колебание, происходящее с частотой k свободных колебаний, но с амплитудой, зависящей от возмущающей силы. Это колебание всегда, при любых начальных условиях, сопровождает вынужденные колебания и его называют свободным сопровождающим колебанием. Четвертое слагаемое

(149 / )

описывает вынужденные колебания. Таким образом, колебания точки являются результатом линейного наложения трех гармонических колебаний: 1) свободных, 2) сопровождающих свободных и 3) вынужденных (рис. 166):

(149 // )

Рис. 166

На схеме (рис. 166) приведены только частоты этих колебаний, но разумеется, не изображены амплитуды и начальные фазы.

Вынужденные колебания происходят с частотой р, равной частоте возмущающей силы. Они не зависят от начальных данных.

Как видно из (143), для изменения амплитуды свободных колебаний достаточно изменить начальное отклонение или начальную скорость. Напротив, для изменения амплитуды вынужденных колебаний надо изменить возмущающую силу, что обычно бывает сопряжено с необходимостью преобразования конструкции.

Если частота р вынужденных колебаний меньше частоты k собственных (случай «малой» частоты), то амплитуда вынужденных колебаний, а фаза pt вынужденных колебаний совпадет
с фазой pt возмущающей силы. По если р > k (случай «большой» частоты), то выражение, написанное для А₃, становится отрицательным, однако амплитуда не может быть отрицательной. Это кажущееся несоответствие объясняется тем, что при р > k фаза вынужденных колебаний противоположна фазе возмущающей силы и уравнение вынужденных колебаний имеет вид

Резонанс

Если частоты собственных и вынужденных колебаний близки между собой, то амплитуды получаются очень большими. Напомним, что при интегрировании уравнения (135) мы положили p≠k. Если р= k, то дифференциальное уравнение (148) имеет вид

x-k 2 x = h sin kt (148′)

Будем искать частное решение вида

Определив х =— 2Bk sin kt— Btk 2 cos kt и подставив его вместе с х в дифференциальное уравнение, получим
— 2Bk sin kt = h sin kt,

Находим общее решение дифференциального уравнения движения:

Дифференцируем по времени:

Если в начальное мгновение x=x₀ и x=x₀, то

и общее решение принимает вид

или, полагая получим

(148»’)

Следовательно, и при равенстве частот движение точки состоит из трех колебательных движений, однако вынужденные колебания представлены непериодическим членом, в коэффициент которого входит множителем время. C течением времени это третье слагаемое, называемое вековым членом, безгранично растет по абсолютной величине. Размах вынужденных колебаний непрерывно растет по линейному закону. Это явление называется резонансом. График вынужденных колебаний при резонансе представлен на рис. 167.

Задача №3

Груз M подвешен в точке В к пружине AB (рис. 168), верхний конец А которой прикреплен к поступательно движущейся кулисе. Кривошип кулисного механизма имеет длину а = 0,02 м и вращается с угловой скоростью , вследствие чего точка А совершает гармонические колебания по закону х_А =0,02 sin 7t м. Определить вынужденные колебания груза М, если его вес G = 3,6 н, а жесткость пружины с = 36 н/м.

Рис. 168

Решение. Составим дифференциальное уравнение движения груза М. Начало координат выберем в точке, с которой центр тяжести груза совладал в момент начала движения (при t = 0), когда верхний конец А пружины, совершающей гармонические колебания вместе с кулисой, занимал свое среднее положение. При сделанном нами выборе начала отсчета (в равновесном положении груза) вес G = 3,6 н уравновешивался статическим натяжением пружины с λ_cr = 36 ∙ 0,1. Наличие этих двух взаимно уравновешенных сил эквивалентно их отсутствию, а потому мы можем их отбросить и в дальнейшем рассматривать движение центра тяжести груза лишь под действием натяжения пружины, обусловленного только ее динамической деформацией, т. е. только деформацией пружины при колебании груза около равновесного положения.

При t ≠ 0 положение центра тяжести груза определяется координатой х, получающейся от суммирования двух перемещений: динамической деформации пружины и перемещения a sin pt верхнего конца А пружины. Следовательно, динамическая деформация пружины равна разности перемещений ее нижнего конца В и верхнего конца А, т. е. равна х—α sin pt . Дифференциальное уравнение движения центра груза имеет вид

mx = — с (х—a sin pt).

Деля обе части уравнения на m и вводя обозначения и , придадим этому уравнению знакомый нам вид (148)

x + k 2 x = h sin pt,

где

Подставляя в (149′), находим вынужденные колебания груза.
Ответ. 0,04 sin 7t.

Задача №4

Статический прогиб рессор товарного вагона равен 5 см. Определить критическую скорость вагона, при которой начнется «галопирование» вагона, если на стыках рельсов вагон испытывает толчки, вызывающие вынужденные колебания на рессорах: длина рельсов равна 12 м.

Решение. Жесткость рессор , частота собственных колебаний

Если поезд идет со скоростью υ см/сек, то вагон получает толчки на стыках через каждые сек. Таков период τ возмущающей силы. Частота возмущающей силы , откуда . Галопирование вагона произойдет при резонансе, т. е. при равенстве частот собственных и вынужденных колебаний. Подставляя в выражение, полученное для скорости, р = k = 14, найдем

Чтобы выразить скорость в км/ч, умножим выраженную в см/ceκ скорость на 0,036.

Если к точке приложены восстанавливающая и возмущающая сила и сила сопротивления, то свободные колебания затухают и остаются только вынужденные

Влияние сопротивления на вынужденные колебания

Если на точку, кроме восстанавливающей и возмущающей сил, действует также и сила R сопротивления, то движение точки описывается дифференциальным уравнением (135) и его решением (138).

Первый член правой части (138) с возрастанием t стремится к нулю, и соответствующие ему колебания точки с течением времени затухают, поэтому ими можно пренебречь. Остаются только вынужденные колебания (рис. 169):

(150)

Они происходят с частотой возмущающей силы, сопротивление не влияет на период вынужденных колебаний. Амплитуда не зависит от начальных условий и времени и не изменяется с течением времени.

Предположим, что возмущающая сила сохраняет свое максимальное значение Н. При равновесии под действием такой силы и восстанавливающей силы F =— сх точка M получила бы так называемое статическое отклонение

Из этого соотношения найдем максимальное ускорение точки M под действием возмущающей силы: h=k 2 x_ст и, подставляя это значение h в выражение (150), выразим амплитуду вынужденных колебаний равенством

Отношение частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний

(151)

носит название коэффициента расстройки и отношение величины n, измеряемой в ceκ -1 , к частоте собственных колебаний называют безразмерным коэффициентом вязкости:

(151′)

Введя эти обозначения в предыдущее равенство и разделив обе части его на x_ст, получим:

(152)

Рис. 169

Величина η—коэффициент динамичности — позволяет охарактеризовать динамический эффект, вызываемый возмущающей силой.

Коэффициент динамичности η зависит от двух величин (z и β).

Задавшись каким-либо значением β, и откладывая по оси абсцисс различные значения z, а по оси ординат—соответствующие значения коэффициента динамичности η, получим, так называемые, резонансные кривые. На рис. 170 изображены резонансные кривые для значений безразмерного коэффициента вязкости: 0,25, 0,15. и 0,10. Пунктиром нанесена уходящая в бесконечность при резонансная кривая, соответствующая β = 0, т. е. вынужденным колебаниям без сопротивления.

Как показывает график (рис. 170) в областях, достаточно далеких от резонанса, амплитуды вынужденных колебаний с сопротивлением почти не зависят от безразмерного коэффициента вязкости. В этих областях при вычислении амплитуд вынужденных колебаний можно не учитывать сопротивлений и пользоваться более простой формулой

Рис. 170

При резонансе (р = k) амплитуда вынужденных колебаний при наличии сопротивлений остается конечной, но наибольшее значение амплитуда имеет, если , в чем легко убедиться, определив максимум амплитуды при различных р, считая h, k и п данными.

В вынужденных колебаниях с сопротивлением всегда бывает сдвиг фазы колебания по отношению к фазе .возмущающей силы. Величина этого сдвига определяется формулой (137).

Заметим, что все сказанное здесь относительно малых колебаний материальной точки полностью соответствует малым колебаниям материальной системы с одной степенью свободы.

• Количество движения
• Момент количества движения
• Мощность и работа силы
• Потенциальная энергия
• Естественный и векторный способы определения движения точки
• Координатный способ определения движения точки
• Касательное и нормальное ускорения точки
• Основные законы динамики

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Динамика материальной точки. Все законы и теоремы

Законы динамики

Первый закон Ньютона (закон инерции Галилея)
Существуют такие системы отсчета, относительно которых любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами и точками, движется прямолинейно и равномерно. В частности, если точка покоилось в определенный момент времени, то она будет покоиться и в последующие моменты.

Не во всех системах отсчета выполняется закон инерции. Например, если мы выберем систему отсчета, связанную с ускоряющейся ракетой, то относительно этой системы, не взаимодействующие материальные точки, не будут двигаться прямолинейно и равномерно.

Инерциальная система отсчета – это система отсчета, в которой справедлив закон инерции.
Движение по инерции – это движение точки, совершаемое при отсутствии действующих на нее сил.

Второй закон Ньютона (основной закон динамики)
Взаимодействие на выбранную материальную точку со стороны других тел описывается вектором, который называется силой. При этом, в инерциальных системах отсчета, действие силы приводит к ускорению точки , которое пропорционально приложенной силе, имеет одинаковое с ней направление, и обратно пропорционально массе точки:
(1) .

Если есть радиус-вектор, проведенный из начала координат к точке, то ускорение есть вторая производная радиус-вектора по времени:
.
Производную по времени, в теоретической механике, обозначают точкой над переменной, а не штрихом, как в математическом анализе.

Если на точку действует не одна, а n сил, то в правой части производится суммирование по всем силам, действующих на точку. Тогда уравнение (1) примет вид:
(2) .

Третий закон динамики (закон равенства действия и противодействия)
Если две материальные точки действуют друг на друга, то сила, с которой первая точка действует на вторую, равна по абсолютной величине и противоположна по направлению силе, с которой вторая точка действует на первую. При этом силы направлены вдоль прямой, соединяющей точки.

Закон независимости сил
Несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме.

То есть уравнение (2) можно записать в виде:
, где .

Задачи динамики

Первая задача динамики
Зная закон движения точки, определить действующую на нее силу.

Вторая (основная) задача динамики
Зная действующие на точку силы, определить ее закон движения.

Основные виды сил

Единицей измерения силы в СИ является 1 ньютон (1 Н = кг·м/с 2 ). Это сила, которую нужно приложить к точке массой 1 кг, чтобы она получила ускорение 1 м/с 2 .

Сила тяжести.
Сила тяжести действует на любую материальную точку, находящуюся на поверхности Земли. Она пропорциональна массе точки и равна
,
где – ускорение свободного падения, направленное вниз. Его величина зависит от широты и высоты над уровнем моря. Стандартное значение, принятое при построении систем единиц, составляет м/с 2 .

Сила тяготения.
.
Здесь – массы точек, r – расстояние между ними, Н·м 2 /кг 2 – гравитационная постоянная.

Для точки массы m на поверхности Земли имеем: . Отсюда . Тогда силу тяготения Земли можно вычислять по формуле:
,
где R = 6371 км – радиус Земли; r – расстояние от точки до центра Земли.

Сила электростатического взаимодействия.
,
где – величины зарядов; r – расстояние между ними; Н·м 2 /Кл 2 – коэффициент. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются.

Сила трения скольжения
возникает при скольжении одного тела по поверхности другого. Она направлена в сторону, противоположную скорости движения. Ее величина определяется по формуле:
F = fN ,
где N – сила давления, перпендикулярная поверхности, с которой скользящее тело прижимается к поверхности; f – коэффициент трения, который зависит от материалов соприкасаемых тел.

Сила упругости.
Эта сила возникает при деформации упругих тел. Это могут быть растяжения, сжатия и изгибы. Она определяется по формуле
F = cλ ,
где λ – величина деформации; c – коэффициент, который зависит от материала упругого тела. Для пружины λ – это удлинение или сжатие пружины; c – коэффициент жесткости.

Сила вязкого трения.
При движении тела в вязкой среде с небольшими скоростями, на него действует сила трения, пропорциональная скорости движения:
F = μv ,
где v – скорость тела; μ – коэффициент сопротивления.
При больших скоростях, сила трения пропорциональна квадрату скорости.

Дифференциальные уравнения движения точки

Спроектируем уравнение (2) на оси прямоугольной системы координат. Пусть радиус вектор точки имеет в этой системе компоненты (проекции) . Тогда из векторного уравнения (2) получаем систему уравнений:
.
Это есть дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольной системе координат.

Спроектируем уравнение (2) на оси естественного трехгранника:
.
Здесь – единичный вектор, направленный по касательной к траектории; – единичный вектор, перпендикулярный и лежащий в касательной плоскости траектории; – единичный вектор, перпендикулярный и . Поскольку , то .
Вводим пройденный путь s , измеренный вдоль дуги траектории точки. Пусть ρ – радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Тогда, для естественного способа задания движения точки, уравнения движения примут вид:
.

Уравнения движения в полярных координатах для плоского движения:
.

Прямолинейное движение точки

Пусть ось x направлена вдоль линии движения точки. Тогда уравнение движения имеет вид:
(3) .
Его общее решение:
,
где – произвольные постоянные. Их находят из начальных условий:
.

Если сила F_x зависит только от времени, то из уравнения (3) сначала определяют скорость v_x , а затем координату x , последовательно интегрируя уравнения:
.
Если сила зависит только от координаты x , то выполняют преобразование:
;
;
.

Колебательное движение материальной точки

Свободные колебания

Рассмотрим движение груза на пружинке. Считаем, что груз является материальной точкой; массой пружины можно пренебречь; и отсутствует сила тяжести. Пусть движение происходит вдоль оси x . За начало отсчета выберем такое положение груза, при котором пружина не деформирована. Тогда на точку действует только восстанавливающая сила упругости пружины, которая определяется по закону Гука:
(К1) ,
где x – деформация пружины; c – коэффициент жесткости. Он равен силе, которая возникает при деформации, равной единице (один метр) и имеет размерность [Н/м]. Из (К1) видно, что сила является восстанавливающей, то есть направлена так, чтобы вернуть точку в начало координат к недеформированному состоянию. Сила такого вида возникает не только при деформации пружины, но и во многих других случаях при небольшом отклонении точки от равновесного положения.

Составим уравнение движения точки и выполняем преобразования:
.
Введем обозначение . В результате получаем.

(К2) .
Уравнение (К2) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний. Его также называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Оно является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Ищем его решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
.
Оно имеет два мнимых корня: . Тогда общее решение уравнения (К2) имеет вид:
,
где и – произвольные постоянные. Они определяются из начальных условий. Пусть – координата и скорость точки в начальный момент времени , тогда
;
.

График гармонического движения точки.

Часто бывает удобно вместо постоянных интегрирования и перейти к новым постоянным A и β по формулам: . Тогда
(К3) .
Это есть уравнение гармонического колебательного движения точки. Здесь – амплитуда колебаний;
– фаза колебаний;
β – начальная фаза, ;
– циклическая частота колебаний, которую также называют угловой или собственной.
Период колебаний: .
Частота колебаний: – это число циклов колебаний, совершенных в единицу времени. Она широко применяется в технике, однако для математического описания более удобна угловая частота, которую мы будем использовать в дальнейшем и называть просто частотой.

Частота k и период T не зависят от начальных условий, а амплитуда и фаза – зависят. Кроме этого, k и T не зависят от амплитуды. Колебания, у которых частота и период не зависят от амплитуды, называют изохорными колебаниями. Если рассмотреть колебания с большой амплитудой, при которой закон Гука (К1) не выполняется, то уравнение (К2) не будет линейным и колебания не будут изохорными.

Влияние постоянной силы

Пусть теперь, наряду с восстанавливающей силой (К1), на точку действует постоянная сила P , например сила тяжести. Тогда уравнение движения примет вид:
.
Это приводит к смещению центра колебаний в сторону действия силы P на величину
δ _ст = P/c .
Это смещение называют статическим отклонением. Если P – сила тяжести, то
.

Колебания при вязком трении

Пусть на точку, кроме силы упругости пружины, действует сила сопротивления среды. При малых скоростях она пропорциональна скорости точки:
. Это так называемое вязкое трение. Составим уравнение движения:
. Обозначив μ/m= 2 b , получаем:
(К4) . Составляем характеристическое уравнение:
(К5) . Оно имеет два корня:
.

Затухающие колебания

При b , корни характеристического уравнения (К5) комплексные:
. Тогда общее решение уравнения (К4) имеет вид:
,
где . Обозначим , . Тогда
(К6) .
, ;
– амплитуда (переменная величина);
b – коэффициент затухания;
– частота затухающих колебаний;
– период затухающих колебаний. Он больше периода свободных колебаний. При небольшом коэффициенте затухания (при b/k ≪ 1 ) T ₁ ≈ T .
Колебания, происходящие по закону (К6) называются затухающими. График затухающих колебаний заключен между двумя кривыми x = ±Ae –bt , симметричными относительно оси t .

Затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания с переменной амплитудой . Относительное изменение переменной амплитуды за период колебания называется декрементом колебаний. Он равен
. Модуль логарифма декремента называется логарифмическим декрементом. Он равен .

Апериодическое движение точки

При (или ) корни характеристического уравнения (К5) действительные. Поэтому движение точки является апериодическим.
При (или ) характеристическое уравнение (К5) имеет два различных действительных корня:
. Тогда общее решение уравнения (К4) имеет вид:
(К7) .
Сюда не входят тригонометрические функции. Поэтому это апериодическое движение. Точка может пройти через положение равновесия x = 0 не более одного раза.

Закон движения (К7) можно выразить через гиперболические функции, если положить: . Тогда
.
Перейдем к новым постоянным интегрирования A и β , выполнив подстановку:
. Тогда
.

При b = k характеристическое уравнение (К5) имеет два кратных вещественных корня . Общее решение уравнения (К4) имеет вид:
.
Движение также апериодическое. Точка может пройти через положение равновесия x = 0 не более одного раза.

Вынужденные колебания

Рассмотрим случай, когда кроме восстанавливающей силы , на точку действует возмущающая сила, меняющаяся по гармоническому закону:
(К8) . Составим уравнение движения:
.
Введем обозначение h=H/m . Разделив на m , получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
(К9) .

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью. Его общее решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного (то есть любого, отличного от нулевого) решения данного уравнения:
;
;
.
Общее решение однородного уравнения: .
Ищем частное решение в виде . В результате получаем:
;
.

Коэффициент динамичности. Действие постоянной возмущающей силы величины H приводит к статическому отклонению . Периодическая возмущающая сила (К8) с амплитудой H приводит к периодическим колебаниям с амплитудой . В связи с этим вводят коэффициент динамичности: .
Он показывает, во сколько раз амплитуда колебаний превосходит статическое отклонение.

Явление резонанса и биения

Когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний p = k , коэффициент динамичности стремится к бесконечности, амплитуда колебаний неограниченно возрастает. Это явление называется резонансом. Уравнение движения точки при p = k имеет вид:
(К10) .
Оно имеет частное решение
.
Общее решение уравнения (К10):
.
Это уравнение показывает, что амплитуда вынужденных колебаний возрастает пропорционально времени. Фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы на π/ 2 .

Биения.

Когда частота p возмущающей силы близка к собственной частоте k колебания точки, p/k ≈ 1 , возникает явление, называемое биениями. В этом случае частное решение уравнения (К9) имеет вид:
,
где .
Происходит наложение колебаний. Их можно рассматривать как вынужденные колебания частоты с переменной амплитудой, которая является периодической функцией с частотой .

Вынужденные колебания при наличии вязкого трения

Составим уравнение движения вынужденных колебаний при наличии вязкого трения:
.
Получаем дифференциальное уравнение:
.
Его общее решение имеет вид.
1) при b :
;
2) при b > k :
;
3) при b = k :
.
Здесь ;
ε определяется из уравнений:
.
Величины A и β являются постоянными интегрирования. Они определяются из начальных условий.

Общие теоремы динамики точки

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме
Изменение количества движения материальной точки за бесконечно малый промежуток времени dt равно элементарному импульсу равнодействующей сил, приложенных к этой точке:
.
Эту теорему можно сформулировать так:
Производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке:
(Т1) .

Проектируя это векторное уравнение на оси координат, получаем три скалярных уравнения:
.

Если проинтегрировать уравнение (Т1) по времени от начального момента времени t = 0 до конечного момента t = t₁ , то получим теорему в интегральной форме.

Теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме
изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени [0,t₁] равно импульсу силы, приложенной к этой точке, за тот же промежуток времени:
.
Здесь – скорость точки в моменты времени t = 0 и t = t ₁ , соответственно.

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
Производная по времени от момента количества движения материальной точки, относительно произвольного центра O , равна моменту равнодействующей силы, приложенной к точке, относительно того же центра:
.

Проектируя это векторное уравнение на оси координат, получаем три скалярных уравнения:
.

Если на точку действует несколько сил , то равнодействующая сила равна их геометрической сумме:
.
Тогда можно записать эту теорему так:
.

Далее будем считать, что точка O выбрана в начале координат. Тогда .

Центральная сила. Второй закон Кеплера

Пусть на точку действует центральная сила с центром в начале координат O . Тогда ее момент относительно O равен нулю. По теореме об изменении момента количества движения материальной точки имеем:
.
Если ввести секторную скорость , то она оказывается постоянной
.
Получаем второй закон Кеплера (закон площадей).

Второй закон Кеплера (закон площадей)
Под действием центральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью. То есть радиус-вектор точки заметает равные площади в любые равные промежутки времени.

Работа силы. Мощность

Основные понятия

Единицей измерения работы в СИ является 1 джоуль (1 Дж = 1 Н·м = кг·м 2 /с 2 ).

Работа силы при движении материальной точки от точки M ₁ до точки M ₂ равна сумме (интегралу) элементарных работ:
.
Если ввести скорость точки , то
.

Теорема о работе силы
Работа A равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ A_k составляющих сил на том же перемещении:
.

Мощность – это величина работы, произведенная за единицу времени.
.

Единицей измерения мощности в СИ является 1 ватт (1 Вт = 1 Дж/с). Другие единицы мощности: 1 кВт (киловатт) = 1000 Вт; 1л.с.(лошадиная сила) = 736 Вт = 75 кгс·м/с.

Работа основных видов сил

Работа силы тяжести:
,
где P – сила тяжести, действующая на точку. Если начальная точка выше конечной, то работа положительна; если начальная точка ниже конечной, то отрицательна.

Работа силы упругости:
.
Здесь – деформация пружины в начальном положении; – в конечном.

Работа силы трения. Если сила трения постоянна, то
,
где s – длина пройденного точкой пути; – сила трения, которая всегда направлена в сторону, противоположную перемещению; f – коэффициент трения; N – нормальная реакция поверхности. Работа силы трения всегда отрицательна.

Работа силы тяготения.
На точку, находящуюся вблизи планеты Земля, на расстоянии r ≥ R от ее центра, действует сила притяжения
,
где R = 6371 км – радиус Земли. Тогда при перемещении точки из положения M₁ в положение M₂, сила тяготения совершит работу
.
Она не зависит от траектории движения тела.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Теорема об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме
Дифференциал кинетической энергии точки равен сумма элементарных работ всех действующих на точку сил:
.

Проинтегрировав обе части этого уравнения вдоль траектории движения точки от положения M₁ до M₂, получим теорему в интегральной форме.

Теорема об изменении кинетической энергии точки
Изменение кинетической энергии материальной точки, при переходе ее из начального положения M₁ в конечное положение M₂, равно сумме работ всех сил, приложенных к точке на этом перемещении:
.

Силовые поля и потенциальная энергия

1. Работа сил стационарного поля при перемещении точки из положения M₁ в положение M₂ зависит только от начального положения M₁, конечного положения M₂, и формы траектории, но не зависит от закона движения точки.

2. Работа, совершенная полем при перемещении точки из положения M₁ в M₂ равна по модулю и обратна по величине работе, совершенной полем при перемещении точки из M₂ в M₁ при перемещении по той же траектории:
.

Для нестационарных полей эти свойства на выполняются.
Примеры стационарных полей: поле силы тяжести на поверхности Земли; электростатическое поле от неподвижно закрепленного заряда; поле силы упругости пружины, один конец которой закреплен.

Потенциальное силовое поле – это стационарное силовое поле, работа сил которого зависит только от начального M₁ и конечного M₂ положений точки, и не зависит от формы ее траектории. Потенциальное силовое поле также называют консервативным.

В потенциальном поле существует такая функция, через которую можно выразить вектор силы , действующей на точку.

Силовая функция – это функция, зависящая от координат точки ( x, y, z ) , через которую выражаются проекции силы потенциального поля на оси координат:
.

Отсюда следует, что сила не изменится, если к силовой функции прибавить постоянную. Таким образом, силовая функция определена с точностью до произвольной постоянной.

В потенциальном поле элементарная работа является дифференциалом от силовой функции:
.
Работа при конечном перемещении из точки в точку равна разности силовой функции в этих точках:
.
Таким образом, в потенциальном поле, работа сил поля не зависит от формы траектории. На замкнутом перемещении работа равна 0. Для более наглядной физической интерпретации, вводят понятие потенциальной энергии. Она равна, с точностью до произвольной постоянной, силовой функции, взятой с обратным знаком.

Потенциальная энергия П – это работа, которую нужно совершить при перемещении точки в потенциальном поле из данного положения в произвольным образом выбранное нулевое положение.

Так, для поля деформации, в качестве нулевого положения обычно принимают не деформированное положение; для гравитационного и электростатических полей за нулевое выбирают положение, бесконечно удаленное от тела или заряда. Для силы тяжести в поле Земли принимают любое, удобное для расчета положение. Таким образом, потенциальная энергия равна силовой функции, взятой с обратным знаком плюс постоянная, зависящая от выбора нулевого положения:
.

Пусть – нулевое положение. Тогда
;
.

Работа сил поля при перемещении системы из 1-го положения во 2-ое равна разности потенциальных энергий: .

Эквипотенциальные поверхности – это поверхности равного потенциала:
.

Сила направлена перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.

Закон сохранения механической энергии
Если точка находится в потенциальном поле, то сумма ее кинетической и потенциальной энергий является постоянной:
.
Если на точку действуют несколько сил от разных потенциальных полей, то в качестве потенциальной энергии нужно взять сумму потенциальных энергий от каждого силового поля:
.

Основные виды потенциальных полей

В поле силы тяжести, потенциальная энергия зависит от высоты. Направив ось z вертикально вверх, получим: .

Поле силы упругости пружины. В этом поле, потенциальная энергия зависит от деформации λ пружины:
.
В качестве нулевого положения выбирают положение без деформации: λ = 0 .

Сила гравитационного притяжения и космические скорости

Между любыми двумя точками массами m ₁ и m ₂ , действует сила всемирного тяготения. Так, на точку 2 действует сила притяжения со стороны точки 1:
,
направленная вдоль прямой, проходящей через точку 1. Здесь r – расстояние между точками; Н·м 2 /кг 2 – гравитационная постоянная.

В результате притяжения, обе точки получают ускорения и движутся друг относительно друга. Мы рассмотрим более простой, но важный случай, когда масса M = m ₁ одного из тел намного больше массы m = m ₂ второго тела. Тогда точка с меньшей массой практически не оказывает влияния на движение более массивной точки. Выберем начало инерциальной системы координат в точке 1. Тогда силу гравитационного притяжения можно рассматривать как центральную силу и представить ее в векторном виде:
(П1) .
Потенциальная энергия точки 2:
(П2) .
Здесь нулевое положение выбрано на бесконечности: .

Формулы (П1) и (П2) справедливы, если объект 1 является шаром с плотностью, зависящей только от расстояния r до его центра. Пусть R – радиус такого шара. Тогда в формулах (П1) и (П2) r – это расстояние от центра шара 1 до точки 2. Они справедливы при .

Эти формулы можно использовать при расчете движения спутников вокруг Земли. Поскольку Земля вращается вокруг своей оси, то ее форма является эллипсоидом. Но в первом приближении Землю можно считать шаром радиуса R = 6371 км. Из таких допущений можно оценить космические скорости, необходимые для выведения летательных аппаратов на космические орбиты.

Первая космическая скорость – это скорость, которую необходимо сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно вышло на круговую орбиту. Она равна км/с. Если у тела первая космическая скорость, то оно может вращаться по круговой орбите, не падая на Землю, то есть стать ее спутником.
Вторая космическая скорость – это скорость, которую необходимо сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно вышло на параболическую орбиту. Она равна км/с. Если у тела скорость больше второй космической, то ее траекторией является гипербола, и, при отсутствии помех, оно будет удаляться от Земли и никогда не вернется назад.

Однако Солнце является той преградой, которая не даст спутнику со второй космической скоростью удалиться на бесконечное расстояние. Чтобы тело могло покинуть пределы солнечной системы, ему необходимо сообщить третью космическую скорость км/с.

Использованная литература:
А. А. Яблонский, Курс теоретической механики, часть II, динамика. Москва, «Высшая школа», 1966.
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 11-12-2019