Дифференциальное уравнение его свободных незатухающих колебаний
1.Свободные механические и электрические колебания. Дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решения.
Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний:
Гармоническими называются колебания, происходящие по законам синуса или косинуса.
— амплитуда колебаний – максимальное смещение колеблющейся величины относительно положения равновесия.
— фаза колебаний. Показывает, какая часть колебаний завершена к данному моменту времени.
— начальная фаза колебаний.
Математический маятник — механическая система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длины l.
Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины жёсткостью k, один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.
Свободные электромагнитные колебания:
(идеальная катушка)
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний
Здесь х — смещение колеблющейся материальной точки, t — время,
где А — амплитуда колебаний, фаза колебаний, φ0 — начальная фаза колебаний φ= φ0 при t=0, ω0— круговая частота колебаний.
, где k — коэффициент квазиупругой силы (F= — kx), возникающей в системе при выходе ее из положения равновесия.
Период колебаний:
где L — длина маятника, g — ускорение свободного падения;
где k — жесткость пружины;
где J — момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса; L— расстояние между точкой подвеса и центром массы маятника.
Приведенная длина физического маятника
Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания,
где Aω0=Vmax –амплитуда скорости.
Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях:
где -амплитуда ускорения.
Лекция № 5 Свободные электромагнитные колебания
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Выписка из рабочей программы дисциплины «Колебания и волны» – 010900
2.1 Свободные электромагнитные колебания.
Колебательный контур. Процессы в идеализированном колебательном контуре. Электромагнитные гармонические колебания. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний и его решение. Собственная частота свободных электромагнитных колебаний. Формула Томсона. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре.
1. Свободные электромагнитные колебания
Электромагнитные колебания представляют собой взаимосвязанные периодические изменения зарядов, токов, характеристик электрического и магнитного полей, сопровождающиеся взаимными превращениями этих полей.
Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из конденсатора ёмкостью и катушки индуктивностью .
Если сопротивление контура равно нулю, колебательный контур называют идеальным. В идеальном колебательном контуре отсутствуют потери энергии, поэтому собственные колебания, возникающие в нем, являются незатухающими.
Рассмотрим процесс возникновения свободных незатухающих колебаний в идеальном колебательном контуре. Чтобы возбудить колебания, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд, а потом замкнуть ключ К (рис.1).
Пусть в начальный момент времени () конденсатору сообщили некоторый заряд . При этом напряжение между его обкладками , напряженность электрического поля и энергия электрического поля – максимальны, а ток в цепи отсутствует (рис. 2,а). Затем начинается разряд конденсатора. Возникающий при этом разрядный ток, проходя через катушку , создает в ней изменяющееся магнитное поле, которое продолжает расти до тех пор, пока ток не достигает максимального значения . При этом вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки , а индукция магнитного поля достигает максимума (рис. 2,б). Несмотря на то, что конденсатор полностью разрядился, ток в колебательном контуре не прекращается и поддерживается э. д.с. самоиндукции, что в итоге приведет к перезарядке конденсатора. При этом заряд конденсатора, напряжение между обкладками, напряженность и энергия электрического поля вновь достигают максимальных значений, однако полярность обкладок конденсатора и направление напряженности электрического поля между ними противоположны тем, какие были в начальный момент времени (рис. 2, в). По окончании перезарядки энергия магнитного поля катушки перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Начиная с этого момента, ток в контуре меняет направление, и процесс воспроизводится в обратном направлении (рис. 2, г). Система возвращается в исходное состояние (рис. 2, д), и начинается следующий период колебаний.
В контуре возникают электромагнитные колебания, при которых происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот. Рисунок 2 представляет собой график зависимости заряда конденсатора от времени , , на котором значениям заряда в моменты времени сопоставлены соответствующие состояния колебательного
контура (а; б; в; г; д).
Так как сопротивление контура равно нулю, т. е. нет потерь энергии, такой процесс должен продолжаться бесконечно, а возникающие колебания называются собственными или свободными.
Период собственных незатухающих колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона
, (5)
а циклическая частота
. (6)
Колебания заряда происходят по гармоническому закону
, (7)
где – максимальный заряд на обкладках конденсатора;
– циклическая частота собственных колебаний;
– начальная фаза.
На рисунках 3 и 4 представлены соответственно идеальный колебательный контур и график зависимости при .
Очевидно, что изменение напряжения между обкладками описывается таким же законом
(8)
где – максимальное напряжение между обкладками конденсатора.
Так как электрический ток характеризует скорость изменения заряда на обкладках конденсатора,
(9)
где – амплитуда силы тока.
Из выражений (7), (8), (9) следует, что колебания заряда (напряжения) и тока в контуре сдвинуты по фазе на , т. е. ток достигает максимального значения в те моменты времени, когда заряд и напряжение на обкладках конденсатора равны нулю, и наоборот. Этот же вывод следует из анализа рис. 2 (а, б, в, г, д).
Идеальный колебательный контур (рис. 3), в котором происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, представляет собой электрическую цепь, состоящую из конденсатора емкостью и катушки индуктивности . Запишем для этого замкнутого контура второе правило Кирхгофа: сумма падений напряжений равна сумме э. д.с., действующих в контуре.
В контуре действует только одна э. д.с. – э. д.с. самоиндукции, следовательно
,
где – падение напряжения на конденсаторе;
– мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора;
.
Так как , , то дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний может быть записано в виде
,
,
где – собственная циклическая частота контура.
Уравнение колебаний принимает вид
и называется уравнением свободных незатухающих электромагнитных колебаний в дифференциальной форме.
Из математики известно, что решение этого уравнения имеет вид
,
т. е. соответствует формуле (7) и рис. 4 (при ).
Таким образом, свободные незатухающие электромагнитные колебания являются гармоническими, а их период определяется формулой Томсона:
2. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре
Исключительно важным является вопрос об энергии гармонических колебаний. С энергетической точки зрения гармоническое колебание представляет собой непрерывный процесс перехода кинетической энергии движущихся частей осциллятора в потенциальную энергию упругого элемента. Полная энергия гармонического осциллятора есть величина постоянная, так как для него потерь нет. Она равна либо максимальной кинетической энергии ( в момент прохождения положения равновесия) , либо максимальной потенциальной энергии (при амплитудном смешении). В задачах используются именно эти энергии, так как с их помощью можно оценить величину амплитуды и частоты собственных колебаний осциллятора.
Расчет энергии W гармонического осциллятора осуществляют стандартным образом. Для механических осцилляторов:
http://mydocx.ru/6-118533.html
http://pandia.ru/text/80/142/13117.php