Дифференциальное уравнение энергии конвективного теплообмена

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена. Основные понятия конвективного теплообмена

Основные понятия конвективного теплообмена

Понятие конвективного теплообмена охватывает процесс теплообмена при движении жидкости или газа. При этом перенос теплоты осуществляется одновременно конвекцией и теплопроводностью.

Если в единицу времени через единицу контрольной поверхности нормально к ней проходит масса жидкости , кг/(м 2 ·с), где – скорость, – плотность жидкости, то вместе с ней переносится теплота, Вт/м 2 :

Конвекция теплоты всегда сопровождается теплопроводностью, т.к. при движении жидкости или газа происходит сопри­косновение отдельных частиц, имеющих различные температуры. В результате конвективный теплообмен описывают уравнением

При расчетах конвективного теплообмена между текущей жидкостью и твёрдой стенкой используют закон Ньютона – Рихмана

Коэффициент теплоотдачи α зависит от большого количества факто­ров. В общем случае α является функцией

— формы и размеров тела,

— скорости и температуры жидкости,

— физических па­раметров жидкости,

Чтобы привести жидкость в движение, к ней необходимо при­ложить силу. Силы, действующие на какой-либо элемент жидкости, можно разделить на массовые (или объемные) и поверхностные.

Массовыми называют силы, приложенные ко всем частицам жид­кости и обусловленные внешними силовыми полями (например, грави­тационным или электрическим).

Поверхностные силы возникают вслед­ствие действия окружающей жидкости или твердых тел; они приложены к поверхности контрольного объема жидкости. Такими силами являют­ся силы внешнего давления и силы трения.

Различают свободную и вынужденную конвекцию.

В пер­вом случае жидкость с неодно­родным распределением температуры, и, как следствие, с неоднород­ным распределением плотности, находится в поле земного тяготения. Поэтому в ней может возникнуть свободное гравитационное движение.

Вынужденное движение объема жидкости про­исходит под действием внешних поверхностных сил, приложенных на его границах, за счет предварительно сообщенной кинетической энер­гии (например, за счет работы насоса, вентилятора, ветра).

Вынужденное движение в общем случае может сопровождаться свободным движением. Относительное влияние последнего тем больше, чем больше разница температур отдельных частиц среды и чем меньше скорость вынужденного движения.

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

Из уравнения следует, что плотность теплового потока в любой точке жидкости для каждого момента времени однозначно определяется, если известны поля температур, удельной энтальпии и скорости.

Связь между температурой и энтальпией может быть установлена следующим образом. Для реальной жидкости , и согласно понятию о полном дифференциале

Отсюда

Для многих задач в предположении о несжимаемости жидкости (ρ=const) с достаточной степенью точности можно принять , т.е. пользоваться соотношением, справедливым для термодинамически идеального газа и .

Выведем диф­ференциальное уравнение, описывающее тем­пературное поле в движущейся жидкости.

При выводе будем полагать, что

— её физические параметры постоянны,

— энергия деформации мала по срав­нению с изменением внутренней энергии.

Выделим в потоке жидкости неподвиж­ный относительно координатной системы эле­ментарный параллелепипед с реб­рами dx, dy и dz.

Через грани параллелепипе­да теплота переносится теплопроводностью и конвекцией; в общем случае в рассматривае­мом объеме может выделяться теплота внутренними источниками.

Вывод уравнения энергии, соответствующего принятым здесь усло­виям, был получен ранее:

,

Проекции плотности теплового потока на координатные оси Ох, Оу и Оz равны

, и

Подставляя значения q_x,q_y и q_z в уравнение Фурье, можно получить

Для несжимаемых жидкостей (ρ=const) из закона сохранения массы следует:

Тогда,

или, если ,

Последнее уравнение является уравнением энергии, описывающим распределение температур внутри движущейся жидкости.

Если , уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности.

Как следует из уравнения энергии, темпера­турное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих скорости .

Чтобы сде­лать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали из­менение скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями являются дифференциаль­ные уравнения движения.

Уравнение движения вдоль оси Ох

.

Описание движения жидкости усложняется, если скорость изменя­ется по трем направлениям.

для оси Ох

для оси Оу

для оси Оz

В общем случае составляющие скорости изменяются во времени и в пространстве. Член, стоящий в левой части уравнений, представляет собой полную производную от скорости по времени.

На основании понятия о полной (субстанциальной) производной для оси Ох имеем

Аналогичные уравнения можно записать и для осей Оу, Оz.

Используя векторную форму записи:

Уравнение движения получено без учета зависимости физи­ческих параметров жидкости от температуры. В частности, не учтена зависимость плотности от температуры.

В то же время свободное дви­жение жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагре­тых частиц жидкости.

Приближенный учет переменности плотности возможен с введением температурного коэффициента объемного расши­рения β.

Т.к. в уравнение движения, помимо входит еще неизвестная величина р, то система уравнений не является замкнутой. Необходимо добавить еще одно уравнение – уравнение сплошности (неразрывности).

Выде­лим в потоке движущейся жидкости непо­движный элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy и dz и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него в на­правлении осей Ох, Оу и Oz за время dτ.

В направлении оси Ох в параллелепи­пед втекает масса жидкости

Величина представляет собой ко­личество массы, протекающей в единицу времени через единицу поперечного сече­ния. Из противоположной грани вытекает масса

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд, полу­чаем, что масса dM_x+dx, вытекающая из элементарного параллелепида в направлении оси Ох

Излишек массы жидкости, вытекающий из элементарного объема в направлении оси Ох

Аналогичным образом можно получить уравнения для направлений по осям Оу и Оz.

Полный избыток мас­сы жидкости, вытекающей из элементарного объема в направлении всех трех осей обусловливается измене­нием плотности жидкости в объеме dυ и равен изменению массы дан­ного объема во времени .

Произведя сокращение на dυ и dτ и перенеся все члены в левую часть равенства, окончательно получим дифференциальное уравнение сплошности для сжимаемых жидкостей

Для несжимаемых жидкостей, полагая ρ=const, получаем

Уравнение сплошности является уравнением сохранения массы.

Дата добавления: 2016-02-09 ; просмотров: 2763 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена

Для полного аналитического описания процесса конвективного теплообмена необходимо задать систему дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы (уравнение неразрывности, сплошности), импульса (уравнение движения), энергии (уравнение энергии), соответствующие специальные законы импульса и теплоты, зависимость физических свойств теплоносителя от температуры и давления и, наконец, условия однозначности, включающие начальные и граничные условия. В частности, для потока несжимаемой жидкости при условии, что вязкая диссипация (рассеяние) энергии пренебрежимо мала, эти уравнения имеют вид:

уравнение неразрывности
(12)

где через x_j обозначены декартовы оси координат; — время; c_p, ρ и μ — удельная теплоемкость, плотность и динамическая вязкость жидкости; ω_i, ω_j — проекции скорости на соответствующие оси координат; p — давление; T — температура; F_i — массовая сила; q_v — мощность внутренних источников энергии ( теплоты).

В уравнениях (13) и (14) в качестве специальных законов переноса используются закон трения Ньютона

(15)

и закон теплопроводности Фурье

(16)

Система дифференциальных уравнений (12)-(14) справедлива для турбулентных течений только при условии, что под параметрами потока в этих уравнениях подразумеваются их актуальные (мгновенные) значения. Если в (12)-(14) ввести условие ∂/∂ =0, получится соответствующая система уравнений для стационарных процессов движения жидкости и конвективного теплообмена, справедливая только для ламинарных потоков. В турбулентных потоках значения скорости, давления и температуры непрерывно изменяются случайным образом, пульсируют. Для них стационарным может быть только осредненное во времени движение. Чтобы выразить уравнения и энергии турбулентного потока через осредненные параметры, необходимо кроме молекулярного переноса учесть также составляющие переноса импульса и энергии, обусловленные механизмом молярного перемещения среды в потоке. Через осредненные характеристики турбулентного потока уравнения (12)-(14) могут быть записаны в виде

(17)

(18)

(19)

Члены и в уравнениях (18) и (19) представляют собой дополнительное напряжение и тепловой поток соответственно, возникающие вследствие турбулентного перемещения среды. Следовательно, полое касательное напряжение и плотность теплового потока при турбулентном течении могут быть записаны как

(20)

(21)

соответственно турбулентные динамическая вязкость и теплопроводность; ω_i‘, ω_j‘, и T’ — локальные пульсации скорости и температуры потока.

Коэффициенты μ_т и λ_т в отличие от µ и λ не являются физическими свойствами среды. Непосредственно на твердой поверхности теплообмена μ_т=0 и λ_т=0.

Турбулентные составляющие напряжения и теплового потока определяют с помощью методов статической теории турбулентности, на основе полуэмпирических моделей турбулентного переноса или, наконец, экспериментально.

Решение уравнений конвективного теплообмена при соответствующих условиях однозначности позволяет позволяет определить температурное поле в потоке, а затем вычислить и остальные искомые значения q_c, , . Точное решение уравнений движения и энергии, составляющих систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, возможно лишь в ограниченном числе простейших случаев.

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

Из уравненияследует, что плотность теплового потока в любой точке жидкости, для каждого момента времени однозначно определяется, если известны поля температур, удельной энтальпии и скорости.

Для многих задач можно предположить, что жидкость несжимаема, то есть справедливо соотношение для термодинамически идеального газа:

di = c_pdT и i = c_pdT —

Т

уравнение, которое позволяет установить связь между полем температур и полем энтальпии. Чтобы аналитически найти поля температур (энтальпии) и скоростей и определить q, необходимо располагать соответствующими уравнениями.

Уравнение энергии

Это уравнение описывает температурное поле в движущейся жидкости. При его выводе предполагали, что жидкости однородна и изотропна, её физические параметры постоянны, энергия деформации мала по сравнению с изменением внутренней энергии. В итоге получили:

¶Т/¶t + w_х¶Т/¶х + w_у¶Т/¶у + w_z¶Т/¶z = а (¶ 2 Т/¶х 2 + ¶ 2 Т/¶у 2 + ¶ 2 Т/¶z 2 ) + q_v/rс_р —

— уравнение энергии dT/dt — полная производная от температуры по времени

dT/dt — характеризует изменение температуры во времени в какой-либо точке жидкости, то есть является локальным изменением температуры Т; второй член – характеризует изменение температуры при переходе от точки к точке, то есть является конвективным изменением температуры Т.

Уравнение энергии можно переписать в форме

Если w_х = w_у = w_z = 0, то уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности.

Уравнения движения

Как следует из уравнения (2), температурное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих скорости w_х, w_у, w_z. Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали изменения скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями является уравнения движения. Вывод уравнения движения основана на 2-м законе Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.

На элемент жидкости действуют 3 силы: 1) сила тяжести, 2) равнодействующая сил давления и 3) равнодействующая сил трения. В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами скоростное поле описывается тремя уравнениями движения, которые называется уравнениями Навье – Стокса. В векторной форме записи они имеют

rdv/dt = rg — Ñp + mÑ 2 v,

масса и сила давление сила

ускорение тяжести трения

где m — динамический коэффициент вязкости (Н с/ м 2 ) – численно равен касательной силе, которая действует в любой точке потока в плоскости, ориентированной по течению, если изменение скорости в направлении нормали к этой плоскости dv/dn = 1.

Это уравнение не учитывает зависимость плотности от температуры. В то же время свободное движения жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых частиц жидкости

С учетом зависимости плотности жидкости от температуры уравнения движущейся жидкости примет вид

dv/dt = — gbV — 1/rÑр + uÑ 2 v,

где b = r₀ — r/r₀V – коэффициент объемного расширения (r = r₀(1 — bV))

u = m/r — кинематический коэффициент вязкости, м 2 /с.

Так как в уравнении движения помимо w_х, w_у, w_z,V входит ещё неизвестная величина р (давление), то система уравнений не является замкнутой.

Необходимо добавить ещё одно уравнение – дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности).

Уравнение сплошности

Величина rw_х представляет собой кол-во массы, протекающей в единицу времени через единицу поперечного сечения. Избыток массы, вытекающей из рассматриваемого объема, может быть обусловлен изменением плотности в объеме dV и равен изменению массы данного объема во времени ¶r/¶t dudt.

В итоге получено уравнение сплошности для сжимаемых жидкостей:

Для несжимаемых жидкостей r = const Þ

Это уравнение является уравнением сохранения массы. Таким образом, процесс конвективного теплообмена описывается 4-мя уравнениями: 1) уравнением энергии; 2) уравнением движения; 3) уравнением сплошности и уравнением q = q_тпр + q_конв.

Для решения этих уравнений необходимо задать условие однозначности.

Особенность состоит в следующем. Задание температуры поверхности стенки затруднительно, так как она зависит от процессов теплообмена в стенке и по другую её сторону. Поэтому необходимо к системе дифференциальное уравнений рассматриваемого конвективного теплообмена присоединить дифференциальное уравнения теплопроводности, описывающие передачу тепла в стенке. Затем задать условия сопряжения.

Математическая формулировка задачи может быть упрощена при использовании понятия пограничного слоя. Сложность процессов конвективного теплообмена заставляет при его изучении особенно широко использовать методы экспериментальных исследований. В этом помогает теория подобия. Широко применяются также численные методы расчета.