Дифференциальное уравнение колебаний заряда на конденсаторе

Вынужденные электрические колебания

Рассмотрим электромагнитный колебательный контур, в котором помимо ёмкости, индуктивности, сопротивления есть ещё и генератор переменного напряжения, то есть источник электрической энергии. Очевидно, что в таком контуре со временем (это время обычно мало) установятся вынужденные колебания тока с частотой генератора и с постоянной амплитудой; подвод энергии от генератора будет в точности компенсировать потери энергии на сопротивлении.

Не будем учитывать внутреннее сопротивление генератора (будем считать, что у нас хороший, «идеальный» генератор). Получим уравнение для колебаний заряда на обкладках конденсатора. Для этого нам необходимо в закон Ома , который мы писали для затухающих колебаний, добавить в левую часть э.д.с. генератора E(t).

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний заряда в электромагнитном контуре в стандартном (каноническом) виде получается следующим:

или

которое полностью аналогично уравнению вынужденных колебаний пружинного маятника . Э.д.с. генератора . Поэтому сразу можем написать решение:

Резонансная частота колебаний заряда на обкладках конденсатора запишется также по аналогии с резонансной частотой механических колебаний маятника:

Напомню, что в электрическом контуре:

и

Обратите внимание, что резонансная частота для заряда зависит от коэффициента затухания, а, следовательно, от сопротивления.

Чаще нас интересуют не колебания заряда на конденсаторе, а колебания тока в цепи контура. Найдем эти колебания, продифференцировав заряд по времени:

В этом уравнении сделана подстановка —

Напомню, что — j является сдвигом фазы между напряжением генератора и током в цепи. В такой записи знак минус показывает, что напряжение первично, а ток отстает по фазе.

Формулы для амплитуды тока и сдвига фаз выглядят так:

Существенное отличие колебаний тока от колебаний заряда состоит в том, что резонансная частота для тока не зависит от сопротивления; она просто равна собственной частоте свободных колебаний в контуре:

Колебания тока в цепи имеют аналогом не колебания механического маятника, а колебания его скорости. Резонансные кривые для амплитуды тока и зависимость сдвига фаз от частоты для различных сопротивлений — на графиках. Обратите внимание, что при резонансе сдвиг фаз между током и напряжением на генераторе отсутствует.

Посмотрим ещё раз на формулу для амплитуды колебаний тока. В числителе стоит амплитудное напряжение на генераторе (мы пренебрегаем внутренним сопротивлением генератора, поэтому его э.д.с. равна напряжению на его клеммах); в знаменателе — величина, имеющая размерность сопротивления. Она включает в себя не только активное сопротивление R, но и составляющую, зависящую от ёмкости и индуктивности контура и от частоты генератора. Эта величина носит название полного сопротивления контура, или импеданса контура Z:

Величина носит название реактивного сопротивления, а её составляющие: — индуктивным сопротивлением; — ёмкостным сопротивлением.

Посмотрим, как ведут себя колебания тока и напряжения на различных участках контура.

Ток в цепи устанавливается со скоростью распространения электрического поля, то есть со скоростью света с. Время установления тока в цепи

l/c, где l — длина контура. Это время в реальных контурах много-много меньше, чем период колебаний. Поэтому мы считаем, что в каждый момент времени значения тока на всех участках цепи одинаково; колебания тока на сопротивлении, индуктивности и ёмкости происходят синхронно.

Иначе обстоит дело с колебаниями напряжения. Вычислим напряжение на каждом элементе контура и посмотрим, как они отличаются по амплитуде и фазе.

Видно, что напряжение на конденсаторе отстает на четверть периода от напряжения на сопротивлении, а напряжение на индуктивности на столько же по фазе опережает его. Напряжение на ёмкости и индуктивности всегда отличаются по фазе на полпериода. Наглядно сдвиг фаз на элементах цепи можно посмотреть на векторной диаграмме; из неё, в частности, ясно, почему импеданс вычисляется таким образом.

Общее падение напряжения на всех трех элементах цепи равно напряжению на клеммах генератора; поэтому угол j на диаграмме дает сдвиг по фазе между током и напряжением на генераторе.

Уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний.

Для возбуждения в контуре колебаний предварительно заряжают конденсатор, сообщая его обкладкам заряд ±q. Тогда в начальный момент времени t=0 (рис. 19, а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле. Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, конденсатор начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. Когда конден­сатор полностью разрядится, энергия электрического поля конденсатора полностью перейдет в энер­гию магнитного поля катушки (рис. 19, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать, и, следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, тогда в ней согласно закону Фарадея индуцируется ток, который течет в соответствии с правилом Ленца в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся осла­бить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис. 19, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 19, г), и система к моменту времени t=Т (Т – период колебаний) придет в первоначальное состояние (рис. 19, а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разряд­ки и зарядки конденсатора, то есть начнутся периодические незатухающие колебания величины заряда q на обкладках конденсатора, напряжения U_C на конденсаторе и силы тока I, текущего через катушку индуктивности. Согласно закону Фарадея напряжение U_C на конденсаторе определяется скоростью изменения силы тока в катушке индуктивности идеального контура, то есть :

.

Исходя из того, что U_C=q/C, а I=dq/dt, получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

или .

Решением этого дифференциального уравнения является функция q(t), то естьуравнение свободных незатухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

,

где q(t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;

q₀ – амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора;

– круговая (или циклическая) частота колебаний ( ) ;

=2 /T (T – период колебаний, –формула Томсона);

– фаза колебаний в момент времени t;

– начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в момент времени t=0.

Уравнение свободных затухающих гармонических колебаний.В реальном колебательном контуре учитывается, что кроме катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С, в цепи также имеется резистор сопротивлением R,отличным от нуля, что является причиной затухания колебаний в реальном колебательном контуре. Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.

Для цепи реального колебательного контура напряжения на последовательно включенных конденсаторе емкостью С и резисторе сопротивлением R складываются. Тогда с учетом закона Фарадея для цепи реального колебательного контура можно записать:

,

где – электродвижущая сила самоиндукции в катушке;

IR – напряжения на резисторе.

Исходя из того, что I=dq/dt, получаем дифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

или ,

где – коэффициент затухания колебаний ( ) , .

Решением полученного дифференциального уравнения является функция q(t), то естьуравнение свободных затухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

,

где q(t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;

– амплитуда затухающих колебаний заряда в момент времени t ;

q₀ – начальная амплитуда затухающих колебаний заряда;

– круговая (или циклическая) частота колебаний ( );

– фаза затухающих колебаний в момент времени t;

– начальная фаза затухающих колебаний.

Период свободных затухающих колебаний в реальном колебательном контуре :

.

Вынужденные электромагнитные колебания. Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо в процессе колебаний компенсировать потери энергии. Такая компенсация в реальном колебательном контуре возможна с помощью внешнего периодически изменяющегося по гармоническому закону переменного напряжения U(t):

.

В этом случае дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебанийпримет вид:

или .

Решением полученного дифференциального уравнения является функция q(t):

.

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являют­ся гармоническими, а амплитуда и фаза колебаний определяются следующими выражениями:

; .

Отсюда следует, что амплитуда колебаний величины заряда имеет максимум при резонансной частоте внешнего источника :

.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего переменного напряжения к ча­стоте, близкой частоте , называется резонансом.

Тема 10. Электромагнитные волны

Согласно теории Максвелла электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость распространения которых определяет­ся выражением:

,

где и – соответственно электрическая и магнитная постоянные,

e и m – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды,

с – скорость света в вакууме ( ) .

В вакууме (e = 1, m = l) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью света( с ), что согласуется с теорией Максвелла о том,

что свет представляет собой электромагнитные волны.

По теории Максвелла электромагнитные волны являются поперечными,то есть век­торы и напряженностей электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору

скорости рас­пространения волны, причем векторы , и образуют правовинтовую систему (рис. 20).

Из теории Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы и колеблются в одинаковых фазах (рис. 20), то есть значения напряженностей Е и Н электрического и магнитного полей одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль, причем мгновенные значения Е и Н связаны соотношением: .

Уравнение плоской монохроматической электромагнитной волны (индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей в соответствии с рис. 20):

,

,

где E₀ и Н₀– соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнит­ного полей,

w – круговая частота волны, (T – период колебаний),

k – волновое число, ( – длина волны),

j – на­чальная фаза колебаний (на­чальная фаза колебаний j имеет одинаковое значение как для колебания электрического, так и магнитного векторов, так как в электромаг­нитной волне эти колебания происходят в одинаковых фазах).

Энергия электромагнитных волн. Электромагнитные волны переносят энергию. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей w_эл электрического и w_м магнитного полей:

.

Учитывая выражение связи между величинами Е и Н , можно получить, что суммарная плотность энергии электрического и маг­нитного полей:

.

Умножив плотность энергии w на скорость распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии:

.

Tax как векторы и взаимно перпендикулярны, то произведение EH совпадает с модулем вектора ( – векторное произведение векторов и ). Кроме того, направление вектора совпадает с направлением распространения волны, то есть с направлением переноса энергии, что позволило ввести вектор ,равныйвекторному произведению , как вектор плотности потока электромагнитной энергии, называемыйвектором Умова–Пойнтинга:

.

Итак, вектор направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением R , с емкостью конденсатора C , с катушкой индуктивности L , изображенный на рисунке 1 . Колебания, происходящие в нем, — затухающие.

Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

Характеристики затухающих колебаний

Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания β . Применив второй закон Ньютона, получим:

m a = — k x — y v , d 2 x d t 2 + r m d x d t + k m x = 0 , ω 0 2 = k m , β = r 2 m .

Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ ,

Значение a ( t ) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а N e — период времени уменьшения амплитуды в e раз.

Для R L C контура применима формула с ω частотой.

При небольшой δ ≪ 1 говорят, что β ≪ ω 0 ω 0 = 1 L C — собственная частота, отсюда ω ≈ ω 0 .

При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :

Q = 1 R L C = ω 0 L R , где R , L и C — сопротивление, индуктивность, емкость, а ω 0 — частота резонанса. Выражение L C называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:

Q = R L C = R ω 0 L .

R является входным сопротивлением параллельного контура.

Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

Q = ω 0 W P d = 2 π f 0 W P d , называемое общей формулой.

Уравнения затухающих колебаний

Рассмотрим рисунок 1 . Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Если t = 0 , то заряд конденсатора становится равным q 0 , и ток в цепи отсутствует.

Если R > 2 L C изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.

Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое R k .

Функция изображается аналогично рисунку 2 .

Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W ( t ) при W ( t = 0 ) = W 0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β , а собственную частоту — ω 0 .

Решение

Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в R L C — контуре:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Предположим, что при t = 0 , a ‘ 0 = 0 . Тогда применим выражение

Для нахождения I ( t ) :

I ( t ) = — ω 0 q 0 e ( — 2 β t ) sin ( ω t + α ) , где t g α = β ω .

Очевидно, что электрическая энергия W q запишется как:

W q = q 2 2 C = q 0 2 2 C e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) = W 0 e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) .

Тогда значение магнитной энергии контура W m равняется:

W m = L 2 ω 0 2 q 0 2 e ( — 2 β t ) sin 2 ω t + a = W 0 e — 2 β t sin 2 ω t + a .

Запись полной энергии будет иметь вид:

W = W q + W m = W 0 e ( — 2 β t ) ( cos 2 ( ω t ) + sin 2 ( ω t + a ) ) = = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + α ) .

Где sin α = β ω 0 .

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) .

Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W ( t ) , при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.

Решение

Если колебания в контуре затухают медленно, то:

Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из

W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) , предварительно преобразовав до W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) .

Такое упрощение возможно по причине выполнения условия β ω 0 ≪ 1 , sin ( 2 ω t + a ) ≤ 1 , что означает β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) ≪ 1 .

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) . Энергия в контуре убывает по экспоненте.