Дифференциальное уравнение крутильных колебаний имеет вид

Изучение параметров затухающих крутильных колебаний, измерение моментов инерции различных тел

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Лабораторная работа 17

Крутильные колебания. Момент инерции.

(с компьютерным интерфейсом)

Цель работы – изучение параметров зтухающих крутильных колебаний, измерение моментов инерции различных тел.

Общие сведения

Рассмотрим тело, закрепленное на оси спиральной пружины. Если повернуть тело на некоторый угол j, то вследствие закручивания пружины возникнет упругая сила. Эта сила создает крутящий момент М, возвращающий систему в исходное состояние, и возникнут крутильные колебания.

Крутящий момент М пропорционален углу поворота j

(1)

где D — модуль кручения, зависящий от механических свойств пружины.

Если пренебречь силами сопротивления, то основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид

(2)

где J – момент инерции, e — угловое ускорение.

(3)

Из уравнений (1) и (2) и с учетом (3) следует

(4)

Это уравнение можно переписать в виде

(5)

Тогда уравнение (5) примет вид

(6)

Это дифференциальное уравнение крутильных колебаний. Решением этого уравнения являются функции синуса ил косинуса (гармонические функции)

где j_о – максимальное (амплитудное) значение угла поворота, w_о – круговая (циклическая) частота, a — начальная фаза.

Таким образом, крутильные колебания являются гармоническими колебаниями.

Частота и период этих колебаний равны соответственно

Если в системе имеются силы трения, то амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться, то есть колебания будут затухающими.

За счет сил трения возникает тормозящий момент

где r – коэффициент сопротивления, — угловая скорость.

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения запишется так

получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний

(9)

Решением этого уравнения является следующая функция

b — коэффициент затухания

— амплитуда затухающих колебаний.

Она уменьшается с течением времени.

частота затухающих колебаний

период затухающих колебаний

Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них значения смещения, скорости, ускорения не повторяются через период. Так что о периоде Т можно говорить лишь условно, как о времени, через которое система проходит через положение равновесия.

Степень затухания характеризуется несколькими величинами – коэффициентом затухания , логарифмическим декрементом затухания , временем релаксации .

Логарифм отношения двух последовательных значений амплитуд, отстоящих друг от друга на время, равное периоду T , называется логарифмическим декрементом затухания.

(10)

Время , в течение которого амплитуда убывает в e раз, называется временем релаксации

— коэффициент затухания есть физическая величина обратная времени релаксации.

Понятие о моменте инерции тел.

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно некоторой оси ОО разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов — материальных точек (рис.2). Тогда момент инерции такой отдельной элементарной массы

где — расстояние от элемента объема до оси вращения, r — плотность вещества.

Момент инерции всего тела

,

Таким образом, момент инерции различных тел можно найти с помощью интегрирования.

Рассмотрим результаты расчета для некоторых частных случаев.

1. Момент инерции материальной точки массой m , находящейся на расстоянии R от оси вращения

(13)

2. Момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Радиус диска R, его масса m.

(14)

.Эта же формула справедлива для момента инерции сплошного цилиндра относительно оси совпадающей с осью цилиндра..

Определение момента инерции тела методом крутильных колебаний

Основными характеристиками динамики вращательного движения являются: момент инерции и момент силы.

Момент инерции– есть мера инертности тела, имеющего ось вращения.

Во вращательном движении момент инерции имеет такую же роль, как масса при поступательном движении. Как и масса момент инерции (относительно оси вращения) скалярная величина. Однако величина момента инерции тела зависит от положения оси вращения.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения, находящейся на расстоянии r, равен произведению массы на квадрат расстояния до оси вращения .

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции его составных точек . В случае непрерывного тела момент инерции тела относительно заданной оси представится выражением .

Момент инерции относительно произвольной оси, не проходящей через центр масс, можно вычислить по теореме Штейнера.

Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, параллельно заданной оси и произведению массы на квадрат расстояния между осями (рис.1).

Момент силы – величина векторная, численно равная произведению силы на плечо

. (2)

Плечом называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (рис.2).

Момент силы и момент инерции связаны соотношением:

,(3)

где ε – угловое ускорение.

Это есть основное уравнение динамики для вращательного движения.

Крутильные колебания – это такие колебания, которые совершает подвешенное твердое тело вокруг вертикальной невесомой упругой нити, верхний конец которой закреплен (рис.3).

Применим к этим колебаниям основное уравнение вращательного движения. При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент со стороны нити подвеса, обусловленный упругими силами.

и ,

,

. (4)

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением крутильных колебаний, в этом уравнении отношение D/I = w 2 – циклическая частота – ω.

. (5)

Вывод рабочей формулы.Воспользуемся методом крутильных колебаний для определения момента инерции диска, подвешенного на упругой нити (рис.4).

Для этого используем формулу периода крутильных колебаний. Однако в этой формуле две неизвестные величины: I – момент инерции диска относительно оси О, проходящей через центр масс диска, и D – модуль упругости нити.

Учитывая аддитивные свойства момента инерции, поставим на диск два груза и запишем второе уравнение

, (6)

где I_a – момент инерции двух грузов относительно оси О. Возведем (5,6) в квадрат и разделим одно уравнение на другое:

, , .

Выразим момент инерции диска

.

Момент инерции двух грузов относительно оси О по теореме Штейнера равен:

,

где I₀ – момент инерции цилиндра относительно его оси, проходящей через центр масс. Подставим полученное выражение в предыдущую формулу и получим:

, (7)

где r – радиус цилиндра, a – расстояние между осями диска и цилиндра.

Выражение (7) является рабочей формулой для расчета момента инерции диска.

Дата добавления: 2015-10-05 ; просмотров: 1662 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

МУ 4970: Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

Лабораторная работа 1-20: Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

Цель работы: изучение динамики вращательного движения твердых тел, знакомство с одним из методов определения моментов инерции тел – методом крутильных колебаний.

Приборы и принадлежности: унифилярный подвес ФПМ05, снабженный набором твердых тел (грузов) различной формы и электронным миллисекундомером.

Элементы теории

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид:

М – момент действующих на тело сил, взятый относительно оси вращения;

I – момент инерции тела относительно той же оси;

ϕ′′ – угловое ускорение тела.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется величина, равная произведению массы m точки и квадрата её расстояния r от оси:

Для протяженных тел момент инерции определяется как сумма моментов инерции отдельных материальных точек (элементарных масс △mi ), на которые можно разбить тело:

В предельном случае, когда число элементарных масс стремится к бесконечности, сумма переходит в интеграл:

Как видно из определения, момент инерции тела есть величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей, а момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в систему.

Существуют различные способы экспериментального определения моментов инерции твердых тел. В данной работе используется метод вращательных (крутильных) колебаний.

Исследуемая система представляет собой твердое тело (например, брусок), подвешенное на струне, концы которой закреплены (рис. 1). После отклонения бруска на некоторый угол j от положения равновесия система начнет совершать крутильные колебания.

На основании формулы (1) уравнение движения бруска при малых углах отклонения ϕ примет вид:

I – момент инерции бруска относительно оси вращения;

r – коэффициент момента сил сопротивления;

k – коэффициент возвращающего (упругого) момента.

Коэффициент r численно равен моменту сил сопротивления при угловой скорости ϕ , равной 1 рад/с. А коэффициент k численно равен моменту упругих сил, возникающих при закручивании нити (струны) на угол, равный 1 рад.

Если сопротивление среды невелико, то первым членом правой части в уравнении (5) можно пренебречь и записать его в виде:

Обозначив kI = w 2 , окончательно получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

Решение этого уравнения имеет вид:

ϕ₀ – угловая амплитуда колебаний;

Как следует из приведенного решения (7), тело будет совершать гармонические колебания около положения равновесия. Циклическая частота w и период колебаний Т определяются величинами I и k по формулам:

Описание экспериментальной установки

Работа выполняется на установке – унифилярном подвесе ФПМ05, общий вид которого изображен на рис. 2.

Подвес представляет собой настольный прибор, на вертикальной стойке 1 которого размещены верхний и нижний кронштейны 2. Между кронштейнами 2 на стальной проволоке 3 подвешена рамка 4, предназначенная для установки и закрепления исследуемых тел 5, имеющих различные формы. В центрах граней грузов, в серединах их ребер и у вершин имеются углубления для закрепления в рамке.

На кронштейне 6 размещены: шкала 7, предназначенная для определения начального угла поворота рамки, электромагнит 8 для фиксации рамки в заданном положении и блок питания электромагнита 12. Электромагнит фиксируется в требуемом положении винтом 9.

На том же кронштейне 6 закреплен фотоэлектрический датчик 10. На основании 13 размещен миллисекундомер физический комбинированный 11, служащий для отсчета времени и числа колебаний.

В качестве исследуемых тел используются металлические грузы: цилиндр, параллелепипед и куб. Исследуемый груз закрепляется в рамке, начальное положение которой фиксируется электромагнитом. После отключения электромагнита (тумблер на блоке питания) рамка с грузом начинает совершать крутильные колебания.

Во время колебаний флажок, установленный на рамке, пересекает световой поток в щели фотоэлектрического датчика и сигнал, снимаемый с фотодиода, поступает на миллисекундомер.

Метод крутильных колебаний

Этот метод заключается в следующем. Тело с неизвестным моментом инерции I закрепляют в рамке подвеса. Период колебания такой системы будет равен

I₀ – момент инерции ненагруженной рамки,

k – коэффициент упругости проволоки подвеса.

Согласно формуле (9) момент инерции I исследуемого тела можно вычислить, зная величины T, I₀ и k. Период T колебаний несложно определить, измерив время t, за которое совершается N полных колебаний:

Для того, чтобы исключить неизвестные величины I₀ и k, нужно измерить время t₀ колебаний ненагруженной рамки, а также время t_Э колебаний рамки, нагруженной эталонным телом – телом с известным моментом инерции I_Э.

Таким образом, получаем систему уравнений:

Решая данную систему уравнений, получаем формулу для момента инерции выбранного нами тела:

Из выражения (12) следуют формулы для предельной относительной погрешности определяемого момента инерции:

△ t – погрешность измерения промежутка времени N полных колебаний рамки (предполагается, что эта погрешность одинакова для всех трех случаев измерения: t₀, t и t_э).

Формулы (12) и (13) являются основными формулами для обработки результатов измерений, однако расчет существенно упрощается, если формулу (12) переписать в виде:

Если, кроме того, измеряемые промежутки времени t и t_эразличаются незначительно, то малым по сравнению с единицей членом но пренебречь и представить (14) в виде:

Справедливость формулы (15) проверяется путем сравнения величины (t — t_э) (t_э+ t₀ ) с относительной погрешностью результата E_I, определяемой уравнением (13). Она справедлива, если:

Из уравнения (13) также следует, что чем больше полное время колебаний рамки, тем точнее получается результат. Поэтому в процессе прямых измерений рекомендуется измерять времена t₀, t и t_эдля

N = 50 колебаний рамки.

Задание

В задание входит определение моментов инерции двух тел различной формы относительно их центра масс теоретически и экспериментально.

Для теоретического расчёта моментов инерции по известным массам и размерам тел используются следующие выражения:

Iц и Iп — моменты инерции цилиндра и параллелепипеда соответственно;

R – радиус цилиндра;

a, b – размеры параллелепипеда.

Расчёт моментов инерции данных тел по экспериментально полученным данным производится по формулам (14) или (15). Необходимо также оценить абсолютные и относительные погрешности рассчитанных моментов инерции исследуемых грузов.

Порядок выполнения работы

Подготовка установки к работе

1. Включите в сеть шнур питания миллисекундомера. Нажмите кнопку «СЕТЬ» на лицевой панели, при этом должны загореться цифровые индикаторы.
2. После прогрева миллисекундомера (1–2 минуты) включите тумблер блока питания электромагнита.
3. Ослабив стопорный винт электромагнита, установите его на угол, указанный преподавателем, в пределах 60-100º. Зафиксируйте электромагнит в этом положении тем же самым винтом.
4. Поверните рамку так, чтобы металлический флажок, установленный на рамке, коснулся якоря электромагнита. При этом флажок притянется к якорю и рамка займет фиксированное положение.
5. С помощью кнопок «СТОП» и «СБРОС» миллисекундомера обнулите счетчики числа и времени колебаний. Прибор готов к работе.

Проведение измерений

1. Выключите тумблер блока питания электромагнита, при этом рамка начнет совершать колебательное движение и запустятся счетчики миллисекундомера. После N–1 полных колебаний рамки нажмите кнопку «СТОП» – отсчетное устройство, доработав до конца 50-го колебания, остановит счетчики. Запишите время t₀– время 50-ти колебаний ненагруженной рамки. Число полных колебаний рамки может быть задано преподавателем дополнительно в пределах 30-60.

Остановив рукой колеблющуюся рамку, повторите операции, описанные в пп. 1.4, 1.5 и 2.1, еще два раза. Результаты измерений занесите в заранее подготовленную таблицу.

1. Для закрепления исследуемого тела в рамке остановите рамку и освободите подвижную планку, отвернув гайки боковых цанг.
2. Поднимите планку по направляющим и, придерживая её рукой, установите груз так, чтобы соответствующее углубление в центре одной из граней вошло в выступ на нижней перекладине рамки.
3. Опустите подвижную планку по направляющим, затяните гайки боковых цанг и подожмите исследуемое тело винтом, находящимся на подвижной планке.
4. Включите электромагнит и повторите операции, описанные в пп. 1.4, 1.5 и 2.1, три раза, результаты измерений занесите в таблицу.
5. Для замены груза остановите рамку, отпустите гайки боковых цанг, переместите подвижную планку вверх и замените первый груз на второй, закрепив его в рамке, как указано в п. 2.4.
6. Измерьте время 50-ти полных колебаний второго груза и эта- лонного тела по методике, описанной выше. В качестве эталонного тела можно использовать куб или цилиндр по указанию преподавателя. Результаты измерений занесите в таблицу.
7. Измерьте размеры исследуемых тел простейшим измерительным прибором (штангенциркулем) и запишите эти значения, а также массу грузов в отчёт о лабораторной работе.

Порядок расчёта

1. По выражениям (17), определяющим моменты инерции данных тел через массу и размеры, рассчитайте момент инерции эталонного тела (цилиндра или куба по указанию преподавателя). Оцените абсолютную погрешность по формулам:

R – радиус цилиндра;

a – сторона куба;

Jэц и Jэк моменты инерции цилиндра и куба, рассчитанные по выражениям (17);

△R и △a – систематическая погрешность измерений радиуса цилиндра и стороны куба соответственно.

1. Рассчитайте относительную погрешность момента инерции эталонного тела.
2. Используя данные таблицы, вычислите абсолютную и относительную погрешности измеренных промежутков времени t0 , t1 , t2 .
3. По средним значениям промежутков времени N полных колебаний рамки с исследуемыми телами и без оцените относительные погрешности моментов инерции исследуемых тел по выражению (13).

Сравните последние с величиной |t — t_э| / (t_э+ t₀ ) . Если неравенство (16) выполняется, то расчёт моментов инерции исследуемых грузов можно производить, применяя упрощённую формулу (15). В противном случае нужно использовать более точное выражение (14). Рассчитайте по соответствующим формулам моменты инерции исследуемых тел, а также абсолютные погрешности этих моментов инерции.

1. По выражениям (17) вычислите теоретические моменты инерции исследуемых тел через массу и размеры. Оцените абсолютные по- грешности полученных значений моментов инерции по формулам (18) и (19), а также относительные погрешности.
2. Сравните экспериментально полученные значения моментов инерции исследуемых тел с результатами расчётов по теоретическим формулам и сделайте соответствующие выводы.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела.
2. Дайте определение момента инерции твердого тела. Как его рассчитать теоретически?
3. Получите дифференциальное уравнение крутильных колебаний, прокомментируйте его.
4. Запишите уравнение колебательного движения крутильных колебаний. Чем определяется их период?
5. Каковы прямые измерения в данной работе? В чем состоит роль эталонного тела?

Используя формулу (4), покажите, что моменты инерции цилиндра и прямоугольного параллелепипеда (рис. 3) относительно вертикальной оси их симметрии, проходящей через центр их масс, определяются выражениями (17).

Библиографический список

1. Савельев И.В. Курс физики: учебник. 4-е изд. т. 1: Механика. Молекулярная физика. М.: Лань, 2008. 354 с.
2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: учеб. пособие для вузов. 8-е изд. М.: Академия, 2009. 720 с.
3. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. 18-е изд. М.: Академия, 2010. 560 с.

Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний: методические указания к лабораторной работе / Рязан. гос. радио- техн. ун-т; cост.: М.А. Буробин, А.В. Брыков, Ю.В. Черкасова. Рязань, 2016. 8 с.

Представлена краткая теория крутильных колебаний, описан метод унифилярного подвеса. Приводятся порядок выполнения работы, методические указания по расчету погрешностей, контрольные вопросы и список рекомендуемой литературы.

Предназначены для студентов всех направлений подготовки бакалавров и специальностей, изучающих дисциплину «Физика».

Табл. 1. Ил. 3. Библиогр.: 3 назв.

Вращательное движение твердого тела, момент инерции, крутильные колебания

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра общей и экспериментальной физики РГРТУ (зав. кафедрой доц. М.В. Дубков)

Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний Составители: Буробин Михаил Анатольевич

Брыков Александр Валериевич Черкасова Юлия Вадимовна

Редактор М.Е. Цветкова Корректор С.В. Макушина

Подписано в печать 15.02.16. Формат бумаги 60×84 1/16.

Бумага писчая. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0,5.

Тираж 200 экз. Заказ

Рязанский государственный радиотехнический университет.