Дифференциальное уравнение называется линейным если оно

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков:

где и — непрерывные функции от x.

Как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

Интегрирование такого уравнения можно свести к интегрированию двух двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Великие математики доказали, что нужную функцию, то есть решение уравнения, можно представить в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x). Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций

и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид

. (*)

Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:

то есть в качестве функции v берётся одно из частных решений этого уравнения с разделяющимися переменными, отличное от нуля. Разделяя в уравнении переменные и выполняя затем его почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v — решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт

Таким образом, для нахождения функции u получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдём функцию u как общее решение этого уравнения.

Теперь можем найти решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций u и v, т. е. y = uv. u и v уже нашли.

Пример 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Как было показано в алгоритме, y = uv. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Как видим, всё решение выполняется точным следованием алгоритму, приведённому в начале статьи. Меняются лишь виды функций в уравнениях. Степени, корни, экспоненты и т.д. Это чтобы алгоритм отпечатался в памяти и был готов к разным случаям, которые только могут быть на контрольной и экзамене. А кому стало скучно, наберитесь терпения: впереди ещё примеры с интегрированием по частям!

Важное замечание. При решении заданий не обойтись без преобразований выражений. Для этого требуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 2. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В следующем примере — обещанная экспонента.

Пример 3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находимu:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Любители острых ощущений дождались примера с интегрированием по частям. Таков следующий пример.

Пример 4. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. В этом случае сначала нужно добиться, чтобы производная «игрека» ни на что не умножалась. Для этого поделим уравнение почленно на «икс» и получим

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируем по частям.

В интеграле , .

Тогда .

Интегрируем и находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

И уж совсем странной статья о дифференциальных уравнениях была бы без примера с тригонометрическими функциями.

Пример 5. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В последних двух примерах требуется найти частное решение уравнения.

Пример 6. Найти частное решение линейного дифференциальное уравнение первого порядка

при условии .

Решение. Чтобы производная «игрека» ни на что не умножалась, разделим уравнение почленно на и получим

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Пример 7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

при условии .

Перенесём функцию «игрека» в левую часть и получим

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Первый интеграл равен , второй находим интегрированием по частям.

В нём , .

Тогда , .

Находим второй интеграл:

В результате получаем функцию u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Выводы. Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка достаточно однозначен. Трудности чаще всего возникают при интегрировании и это означает, что следует повторить этот обширный раздел математического анализа. Кроме того, что особенно видно из примеров ближе к концу статьи, очень важно владеть приёмами действий со степенями и дробями, а это школьные темы, и если они подзабыты, то их тоже следует повторить. Совсем простых «демо»-примеров ждать на контрольной и на экзамене не стоит.

Разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями

Разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями — Наука

Содержание:

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Уравнение, содержащее хотя бы один дифференциальный коэффициент или производную неизвестной переменной, называется дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение может быть линейным или нелинейным. Задача этой статьи — объяснить, что такое линейное дифференциальное уравнение, что такое нелинейное дифференциальное уравнение и в чем разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями.

С момента развития исчисления в 18 веке математиками, такими как Ньютон и Лейбниц, дифференциальное уравнение сыграло важную роль в истории математики. Дифференциальные уравнения имеют большое значение в математике из-за их диапазона приложений. Дифференциальные уравнения лежат в основе каждой модели, которую мы разрабатываем для объяснения любого сценария или события в мире, будь то физика, инженерия, химия, статистика, финансовый анализ или биология (список бесконечен). Фактически, до тех пор, пока исчисление не стало устоявшейся теорией, надлежащие математические инструменты были недоступны для анализа интересных проблем природы.

Уравнения, получаемые в результате конкретного применения математического анализа, могут быть очень сложными и иногда неразрешимыми. Однако есть проблемы, которые мы можем решить, но они могут выглядеть одинаково и сбивать с толку. Поэтому для упрощения идентификации дифференциальные уравнения классифицируются по их математическому поведению. Линейный и нелинейный — одна из таких категорий. Важно определить разницу между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями.

Что такое линейное дифференциальное уравнение?

Предположим, что f: X → Y и f (x) = y, а дифференциальное уравнение без нелинейных членов неизвестной функции y и его производные известны как линейное дифференциальное уравнение.

Это налагает условие, что y не может иметь более высокие индексные члены, такие как y 2 , y 3 ,… И кратные производные финансовые инструменты, такие как

Он также не может содержать нелинейные термины, такие как Sin y, е y^-2 , или ln y. Это принимает форму,

где y и грамм являются функциями Икс. Уравнение представляет собой дифференциальное уравнение порядка п, который является индексом производной высшего порядка.

В линейном дифференциальном уравнении дифференциальный оператор является линейным оператором, а решения образуют векторное пространство. В результате линейного характера набора решений линейная комбинация решений также является решением дифференциального уравнения. То есть, если y₁ и y₂ являются решениями дифференциального уравнения, то C₁ y₁+ C₂ y₂ тоже решение.

Линейность уравнения — это только один параметр классификации, и его можно в дальнейшем разделить на однородные или неоднородные, а также обыкновенные или дифференциальные уравнения в частных производных. Если функция грамм= 0, то уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением. Если ж является функцией двух или более независимых переменных (е: X, T → Y) и f (x, t) = y , то уравнение является линейным уравнением в частных производных.

Метод решения дифференциального уравнения зависит от типа и коэффициентов дифференциального уравнения. Самый простой случай возникает, когда коэффициенты постоянны. Классическим примером для этого случая является второй закон движения Ньютона и его различные приложения. Второй закон Ньютона дает линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Что такое нелинейное дифференциальное уравнение?

Уравнения, содержащие нелинейные члены, известны как нелинейные дифференциальные уравнения.

Все это нелинейные дифференциальные уравнения. Нелинейные дифференциальные уравнения сложно решить, поэтому для получения правильного решения требуется тщательное изучение. В случае уравнений с частными производными большинство уравнений не имеют общего решения. Следовательно, каждое уравнение следует рассматривать независимо.

Уравнение Навье-Стокса и уравнение Эйлера в гидродинамике, полевые уравнения Эйнштейна общей теории относительности являются хорошо известными нелинейными уравнениями в частных производных. Иногда применение уравнения Лагранжа к системе переменных может привести к системе нелинейных уравнений в частных производных.

В чем разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями?

• Дифференциальное уравнение, которое имеет только линейные члены неизвестной или зависимой переменной и ее производных, известно как линейное дифференциальное уравнение. Он не имеет члена с зависимой переменной индекса больше 1 и не содержит кратных его производных. Он не может иметь нелинейных функций, таких как тригонометрические функции, экспоненциальные функции и логарифмические функции по отношению к зависимой переменной. Любое дифференциальное уравнение, содержащее вышеупомянутые члены, является нелинейным дифференциальным уравнением.

• Решения линейных дифференциальных уравнений создают векторное пространство, и дифференциальный оператор также является линейным оператором в векторном пространстве.

• Решения линейных дифференциальных уравнений относительно проще, и существуют общие решения. Для нелинейных уравнений в большинстве случаев общего решения не существует, и решение может быть специфическим для конкретной задачи. Это делает решение намного более сложным, чем решение линейных уравнений.

Определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Эта статья является отправной точкой в изучении теории дифференциальных уравнений. Здесь собраны основные определения и понятия, которые будут постоянно фигурировать в тексте. Для лучшего усвоения и понимания определения снабжены примерами.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных.

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Вот примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков соответственно

В качестве примеров уравнений в частных производных второго порядка приведем

Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида или , где Ф(x, y) = 0 неизвестная функция, заданная неявно (когда возможно, будем ее записывать в явном представлении y = f(x) ).

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения — это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.

Решение дифференциального уравнения всегда ищется на заранее заданном интервале X .

Почему мы об этом говорим отдельно? Да потому что в условиях многих задач об интервале X не упоминают. То есть, обычно условие задач формулируется так: «найдите решение обыкновенного дифференциального уравнения ». В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x , при которых и искомая функция y , и исходное уравнение имеют смысл.

Решение дифференциального уравнения часто называют интегралом дифференциального уравнения.

Функции или можно назвать решением дифференциального уравнения .

Одним из решений дифференциального уравнения является функция . Действительно, подставив эту функцию в исходное уравнение, получим тождество . Несложно заметить, что другим решением этого ОДУ является, например, . Таким образом, дифференциальные уравнения могут иметь множество решений.

Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Вернемся к примеру. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид или , где C – произвольная постоянная. Выше мы указали два решения этого ОДУ, которые получаются из общего интеграла дифференциального уравнения при подстановке С = 0 и C = 1 соответственно.

Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения , удовлетворяющим условию y(1)=1 , является . Действительно, и .

Основными задачами теории дифференциальных уравнений являются задачи Коши, краевые задачи и задачи нахождения общего решения дифференциального уравнения на каком-либо заданном интервале X .

Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , где — числа.

Краевая задача – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x₀ и x₁ :
f (x₀) = f₀ , f (x₁) = f₁ , где f₀ и f₁ — заданные числа.

Краевую задачу часто называют граничной задачей.

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным, если оно имеет вид , а коэффициенты есть непрерывные функции аргумента x на интервале интегрирования.

Если , то уравнение называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ), в противном случае – линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

Когда коэффициенты являются постоянными функциями (то есть, некоторыми числами), то соответствующие дифференциальные уравнения называют ЛОДУ с постоянными коэффициентами (если ) или ЛНДУ с постоянными коэффициентами (при ненулевой f(x) ).

Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида .

Теперь Вы знакомы с основными определениями и понятиями. Дополнительные определения будем давать по мере изложения теории. Далее рекомендуем изучить основные виды дифференциальных уравнений и методы решения.

источники:

http://ru.strephonsays.com/linear-and-vs-nonlinear-differential-equations-14956

http://www.cleverstudents.ru/differential_equations/differential_equations_definitions.html