Дифференциальное уравнение незатухающих электромагнитных колебаний

Лекция № 5 Свободные электромагнитные колебания

СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Выписка из рабочей программы дисциплины «Колебания и волны» – 010900

2.1 Свободные электромагнитные колебания.

Колебательный контур. Процессы в идеализированном колебательном контуре. Электромагнитные гармонические колебания. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний и его решение. Собственная частота свободных электромагнитных колебаний. Формула Томсона. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре.

1. Свободные электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания представляют собой взаимосвязанные периодические изменения зарядов, токов, характеристик электрического и магнитного полей, сопровождающиеся взаимными превращениями этих полей.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из конденсатора ёмкостью и катушки индуктивностью .

Если сопротивление контура равно нулю, колебательный контур называют идеальным. В идеальном колебательном контуре отсутствуют потери энергии, поэтому собственные колебания, возникающие в нем, являются незатухающими.

Рассмотрим процесс возникновения свободных незатухающих колебаний в идеальном колебательном контуре. Чтобы возбудить колебания, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд, а потом замкнуть ключ К (рис.1).

Пусть в начальный момент времени () конденсатору сообщили некоторый заряд . При этом напряжение между его обкладками , напряженность электрического поля и энергия электрического поля – максимальны, а ток в цепи отсутствует (рис. 2,а). Затем начинается разряд конденсатора. Возникающий при этом разрядный ток, проходя через катушку , создает в ней изменяющееся магнитное поле, которое продолжает расти до тех пор, пока ток не достигает максимального значения . При этом вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки , а индукция магнитного поля достигает максимума (рис. 2,б). Несмотря на то, что конденсатор полностью разрядился, ток в колебательном контуре не прекращается и поддерживается э. д.с. самоиндукции, что в итоге приведет к перезарядке конденсатора. При этом заряд конденсатора, напряжение между обкладками, напряженность и энергия электрического поля вновь достигают максимальных значений, однако полярность обкладок конденсатора и направление напряженности электрического поля между ними противоположны тем, какие были в начальный момент времени (рис. 2, в). По окончании перезарядки энергия магнитного поля катушки перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Начиная с этого момента, ток в контуре меняет направление, и процесс воспроизводится в обратном направлении (рис. 2, г). Система возвращается в исходное состояние (рис. 2, д), и начинается следующий период колебаний.

В контуре возникают электромагнитные колебания, при которых происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот. Рисунок 2 представляет собой график зависимости заряда конденсатора от времени , , на котором значениям заряда в моменты времени сопоставлены соответствующие состояния колебательного

контура (а; б; в; г; д).

Так как сопротивление контура равно нулю, т. е. нет потерь энергии, такой процесс должен продолжаться бесконечно, а возникающие колебания называются собственными или свободными.

Период собственных незатухающих колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона

, (5)

а циклическая частота

. (6)

Колебания заряда происходят по гармоническому закону

, (7)

где – максимальный заряд на обкладках конденсатора;

– циклическая частота собственных колебаний;

– начальная фаза.

На рисунках 3 и 4 представлены соответственно идеальный колебательный контур и график зависимости при .

Очевидно, что изменение напряжения между обкладками описывается таким же законом

(8)

где – максимальное напряжение между обкладками конденсатора.

Так как электрический ток характеризует скорость изменения заряда на обкладках конденсатора,

(9)

где – амплитуда силы тока.

Из выражений (7), (8), (9) следует, что колебания заряда (напряжения) и тока в контуре сдвинуты по фазе на , т. е. ток достигает максимального значения в те моменты времени, когда заряд и напряжение на обкладках конденсатора равны нулю, и наоборот. Этот же вывод следует из анализа рис. 2 (а, б, в, г, д).

Идеальный колебательный контур (рис. 3), в котором происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, представляет собой электрическую цепь, состоящую из конденсатора емкостью и катушки индуктивности . Запишем для этого замкнутого контура второе правило Кирхгофа: сумма падений напряжений равна сумме э. д.с., действующих в контуре.

В контуре действует только одна э. д.с. – э. д.с. самоиндукции, следовательно

где – падение напряжения на конденсаторе;

– мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора;

Так как , , то дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний может быть записано в виде

где – собственная циклическая частота контура.

Уравнение колебаний принимает вид

и называется уравнением свободных незатухающих электромагнитных колебаний в дифференциальной форме.

Из математики известно, что решение этого уравнения имеет вид

т. е. соответствует формуле (7) и рис. 4 (при ).

Таким образом, свободные незатухающие электромагнитные колебания являются гармоническими, а их период определяется формулой Томсона:

2. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре

Исключительно важным является вопрос об энергии гармонических колебаний. С энергетической точки зрения гармоническое колебание представляет собой непрерывный процесс перехода кинетической энергии движущихся частей осциллятора в потенциальную энергию упругого элемента. Полная энергия гармонического осциллятора есть величина постоянная, так как для него потерь нет. Она равна либо максимальной кинетической энергии ( в момент прохождения положения равновесия) , либо максимальной потенциальной энергии (при амплитудном смешении). В задачах используются именно эти энергии, так как с их помощью можно оценить величину амплитуды и частоты собственных колебаний осциллятора.

Расчет энергии W гармонического осциллятора осуществляют стандартным образом. Для механических осцилляторов:

Тема 11.

Процессы, происходящие в идеальном

Электромагнитные колебания – это колебания величин заряда, силы тока, напряжения, эдс индукции и характеристик переменного электромагнитного поля.

Электромагнитные колебания создаются в закрытом колебательном контуре, который представляет собой электрическую цепь, содержащую катушку индуктивности и конденсатор (рис. 11.1)

Свободных (собственные) колебания – это ко —

Рис.11.1 лебания, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

Рассмотрим идеальный колебательный контур, в котором активное сопротивление (рис.11.2).

Если переведем ключ в положение 1, то конденсатор зарядится от источника тока так, что на его пластинах накопится максималь-ный заряд . Перебросим ключ в положение 2 и рассмотрим процессы, происходящие в контуре, считая, что в момент включения .

Процесс будем рассматривать в течение одного периода (рис.11.3).

1. При мгновенное значение тока .

2. В промежуток времени от до конденсатор начинает разряжаться, заряд будет уменьшаться, напряжение на обкладках конденсатора также будет уменьшаться. В контуре появится электрический ток , который будет возрастать в этот промежуток времени. Проходя по катушке, возрастающий ток образует вокруг нее магнитное поле, которое будет возбуждать в катушке эдс самоиндукции. Эдс самоиндукции замедляет нарастание тока. Величина эдс определяется, как .

В момент времени параметры контура: (конденсатор разрядился),

3. В промежуток времени от до ток начинает убывать, в катушке возникает эдс индукции, замедляющая убывание тока. Под действием индукционного тока конденсатор перезаряжается – на пластинах появляется заряд противоположного знака.

В момент времени

параметры контура:

4. В промежутки времени от до и от до процесс повторяется в обратном направлении (рис. 11.3).

Таким образом, в колебательном контуре возникают электромагнитные колебания – колебания заряда, тока, напряжения и эдс индукции.

Незатухающие электромагнитные колебания.

Такие колебания происходят в идеальном колебательном контуре, в котором и не происходит потерь первоначально накопленной энергии на нагревание проводов. Согласно второму правилу Кирхгофа: сумма напряжений на элементах замкнутого контура равна сумме эдс, заключенных в этом контуре

Т.к. , то дифференциальное уравнение, описывающее незатухающие электрические колебания имеет вид:

Его решением являются функции

График этой функции, а также графики напряжения, тока и эдс индукции представлены на рис.11.4:

Напряжение на конденсаторе сила тока

, Эдс индукции .

Период колебаний незатухающих колебаний определяется по формуле Томсона:

Рассмотрим свободные колебания в реальном колебательном контуре (рис.11.5). В нём , следовательно, провода катушки будут нагреваться, энергия, первоначально накопленная энергия будет теряться. Такие колебания называются затухающими.

Согласно второму правилу Кирхгофа для данного контура

Дифференциальное уравнение для затухающих колебаний

где и ( — коэффициент затухания).

Его решением является функция

или

В этих уравнениях величина амплитуда затухающего колебания. Знак минус в показателе степени говорит о том, что амплитуда убывает с течением времени по экспоненте. Само же колебание остаётся гармоническим. График затухающего колебания показан на рисунке (11.6):

Быстрота затухания колебаний характеризуется логарифмически декрементом затухания

Добротность .

Чтобы колебания в контуре были не затухающими, к нему необходимо подать внешнюю эдс (рис.11.7), которая должна быть периодической и должна иметь частоту колебаний , отличную от частоты собственных колебаний: . Источник внешней эдс можно включать как параллельно, так и последовательно (рис.11.7).

Второе правило Кирхгофа для такого контура запишется в виде

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Решением этого уравнения является функция

или

Колебания происходят с частотой внешней эдс. Начальная фаза колебаний меняется на новую фазу , Само же колебание остается гармоническим. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от параметров источника внешней эдс

При малых затуханиях, т.е. при

Если , то происходит резкое возрастание амплитуды заряда на пластинах конденсатора и напряжения. Это явление называется резонансом.

•Идеальный колебательный контур. Процессы, происходящие в нем. •Свободные незатухающие колебания. Дифференциальное уравнение, описывающее их. Решение уравнения. Графики изменения заряда, силы тока, напряжения, ЭДС. Формула Томсона. •Реальный колебательный контур. Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение, решение, график. Логарифмический декремент затухания, добротность. •Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение, решение. Резонанс. •Автоколебания. Генератор незатухающих электромагнитных колебаний на примере аппарата УВЧ-терапии.

Апериодический разряд конденсатора

Если конденсатор подключить к источнику постоянного тока (рис. 12.1, а), то пластины конденсатора заряжаются разноименно и в диэлектрике между пластинами возникает электрическое поле. Во внешней цепи появляется кратковременный импульс – ток зарядки конденсатора.

Если заряженный конденсатор отключить от источника напряжения и замкнуть его на сопротивление (рис.12.1 б), то разность потенциалов на его пластинах вызовет движение электронов во внешней цепи в направлении обратном первоначальному. В цепи образуется

кратковременный импульс тока – ток разрядки конденсатора.

Мгновенные значения тока разрядки определяются по формуле

Аналогично изменяется и напряжение на обкладках конденсатора. Графики тока разрядки и напряжения показаны на рис. 12.2

За длительность импульса условно принимается время , такое, что ток уменьшается за это время до величины . Время называется постоянной времени разрядки конденсатора.

Ток зарядки имеет такую же форму, как и ток разрядки, но течет в противоположном направлении (рис.12.3).

Таким образом, импульсы – это кратковременные изменения силы тока и напряжения.

Импульсный ток – это повторяющиеся во времени импульсы. Они могут быть самой различной формы (рис. 12.4):

Характеристики импульсных токов.

1. Длительность импульса — время, при котором напряжение (или сила тока) не меньше (рис.12.5)

2. Крутизна фронта характеризует скорость нарастания напряжения или силы тока

3. Период характеризует период повторения импульсов – это среднее время между началами двух соседних импульсов.

4. Частота повторения импульсов

5. Скважность следования импульсов

6. Коэффициент заполнения

Генераторы импульсных токов.

1. Генератор на неоновой лампе представлен на рис.12.6.

Рис. 12.6 Рис. 12.7

Неоновая лампа зажигается при определенном напряжении , а гаснет при меньшем напряжении . График выходного напряжения приведен на рис.12.7. Меняя и , можно так подобрать эти параметры, что напряжение будет пилообразным (рис.12.8):

3. Блокинг-генератор. Схема его представлена на рис.12.9, (а). На рис. 12.9, б) условно показан график выходного напряжения.

3. Мультивибратор. Схема его представлена на рис.12.10

Мультивибратор содержит два транзистора, два конденсатора и по паре сопротивлений и .

Конденсаторы служат для генерации импульсов (заряжаются от источника постоянного тока и сопротивления , а разряжаются через сопротивления ). Транзисторы играют роль “включателей”. Симметричное их расположение в схеме обеспечивает поочередную зарядку конденсаторов: если открыт транзистор , то заряжается конденсатор , если открыт транзистор , то заряжается конденсатор . Выходное напряжение имеет прямоугольную форму.

Изменение формы импульса.

После мультивибратора получаются импульсы прямоугольной формы. Но для лечения различных заболеваний используют импульсы различной формы. Чтобы изменить форму импульса, на выходе мультивибратора собирают дифференцирующую (рис. 12.11) или интегрирующую цепь (рис.12.13):

1. Дифференцирующая цепь

Её применяют в том случае, если .

На вход цепочки подается входное напряжение прямоугольной формы. Очевидно,

Рис. 12.11

Выходное напряжение включено параллельно резистору . Поэтому

Форму выходного напряжения можно получить при графическом вычитании. На рис. 12.12 а) показан импульс входного напряжения. Затем импульс прекраща-ется, конденсатор разряжается (рис. 12.12 б). Вычитая значения функции, представленной на рис. 12.12 б) из значений функции, представленной на рис. 12.12 а), получаем вид функции выходного напряжения (рис. 12.12 в).

Таким образом, на выходе из цепочки получаются два остроконечных импульса противоположного знака.

Рассмотренная цепочка называется дифференцирующей потому, что выходное напряжение пропорционально производной от входного напряжения .

2. Интегрирующая цепь.

Применяется в том случае, если .

Выходное напряжение включено параллельно конденсатору . Поэтому

Если на вход цепи подан прямоугольный импульс (рис. 12.14 а), то напряжением на выходе является напряжение на пластинах конденсатора (рис.12.14 б). Конденсатор не успевает зарядиться до .

Рассмотренная цепочка называется интегрирующей потому, что выходное напряжение пропорционально интегралу .

Действие импульсного тока на ткани организма

В основе действия электрического тока на ткани организма лежит движение заряженных частиц, преимущественно ионов тканевых электролитов, в результате чего изменяется обычный состав ионов по обе стороны мембраны, в связи, с чем в клетке происходит ряд биофизических и физиологических процессов, вызывающих её возбуждение . Рис. 12.14

Постоянный ток почти не оказывает раздражающего действия на ткани организма. Раздражение вызывается при изменении силы тока и зависит от скорости, с которой это изменение происходит. Это положение известно как закон Дюбуа-Реймона. Сила тока в растворе электролита зависит как от числа движущихся ионов, так и от скорости их перемещения. Скорость изменения силы тока соответствует ускорению движения ионов.

Очевидно, что раздражающее действие зависит от крутизны импульсов.

Формы импульсных токов	Применение
Прямоугольные:	— электросон — электрокардиостимуляция
Треугольные:	— возбуждение мышц, электрогимнастика
Тетанизирующие:	Электростимуляция здоровых мышц
Экспоненциальные:	Электростимуляция
Экспоненциальные:	Электростимуляция пораженных мышц
Диадинамические:	Электротерапия

Раздражающее действие прямоугольных импульсов в значительной мере зависит от их длительности , обусловливающей наибольшее смещение ионов за время действия импульса. Эта зависимость описывается уравнением Вейса-Лапика

где — пороговая сила тока (амплитуда импульса), и — коэффициенты, зависящие от природы возбуждаемой ткани и её функционального состояния. Зависимость от показана на рис. 12.16:

При достаточно длительных импульсах раздражающее действие становится независимым от длительности ( ). Значение порогового тока при этом называют реобазой . Точка кривой, ордината которой равна удвоенной реобазе, определяет длительность импульса т называется хронаксией.

Хронаксия и реобаза характеризуют возбудимость органа и могут служить показателями их функционального состояния или диагностического признака их поражения.

•Апериодический разряд конденсатора. Постоянная времени. •Принцип генерации импульсных токов на примере генератора с неоновой лампой и блокинг-генератора. Мультивибратор. •Электрический импульс и его характеристики. Импульсный ток. •Характеристики импульсных токов.•Изменение формы импульса (дифференцирующая и интегрирующая цепи).•Действие импульсных токов на организм. Закон Дюбуа-Реймона. Формула Вейса-Лапика. •Применение импульсных токов в медицине.

ИМПЕДАНС ТКАНЕЙ ОРГАНИЗМА.

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний

Здесь х — смещение колеблющейся материальной точки, t — время,

где А — амплитуда колебаний, фаза колебаний, φ₀ — начальная фаза колебаний φ= φ₀ при t=0, ω₀— круговая частота колебаний.

, где k — коэффициент квазиупругой силы (F= — kx), возникающей в системе при выходе ее из положения равновесия.

Период колебаний:

где L — длина маятника, g — ускорение свободного падения;

где k — жесткость пружины;

где J — момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса; L— расстояние между точкой подвеса и центром массы маятника.

Приведенная длина физического маятника