Дифференциальное уравнение осциллятора с затуханием и его решение

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения – это язык физики

Дифференциальные уравнения второго порядка

ДУ второго порядка часто встречаются в физике: закон Ньютона, уравнение Шредингера, диффузия.

• restart:
• E2:=diff(y(t),t$2)=-g;
• S2:=dsolve(,y(t));

Это очевидный результат.

Заметьте несколько деталей.

Для ввода начальных условий для производной от y применена D(y) , что означает dy/dt ( D – это общий символ производной для Maple), затем добавили (0) , чтобы сказать, что производная вычислена при t=0 . Это означает, что diff и D – это производные, но между ними есть тонкое различие, которое надо понимать. Оно обсуждено в разделе о производных (см. D и diff ). Поэтому или запоминайте синтаксис команды dsolve (выше), или запомните, где его легко найти. Кроме того, учтите, что применяемая в пакете Physics команда diff может давать другой результат – см. описание команд пакета Physics.

Это второе знаменитое ДУ второго порядка.

Maple решает его в общем виде с произвольными константами:

Предупреждение: эта форма решения опасна, поскольку нет гарантии, что при каждом запуске рабочего листа с командой dsolve в таком виде получим на выходе _C1 с синусом и _C2 с косинусом. В Maple есть собственная логика такого выбора, которая даже для более простых ДУ кажется случайной. Поэтому не давайте Maple выбирать, делайте это сами. Для этого скопируйте решение мышкой в новую строку и выберите неизвестные коэффициенты, например избавьтесь от неудобного y(t)= , заменив его естественным присвоением:

Теперь каждый раз расчет величин A и B будет срабатывать одинаково, потому что «насильственно» установлено, что A – с синусом, а B – с косинусом.

Если константы определяются начальными условиями, есть форма команды dsolve , которая будет определять их автоматически. Например, нужно решить ДУ E3 с начальными условиями y(0) = 1 и dy/dt(0) = 2. Тогда пишем:

Применим assign , чтобы Maple дал выражение для y(t) :

Теперь построим график решения:

Не работает. Рамка есть, но нет функции. И нет догадок, что не так. Для отладки надо бы подставить несколько значений t в y(t) . Но вспомним, что y(t) выглядит как выражение, но не совсем им является, и что подстановка значений для t запустит его. Рассмотрим y(t) с этой точки зрения и прикинем, можно ли увидеть, что не так:

Команда plot даст численные значения t , но ведь просто включено в выражение и не имеет численного значения. Это и есть ошибка: мы не задали численные значения !

OК, теперь сделаем так:

Решение этой задачи было достаточно легким. Но так же легко Maple решает и более сложные задачи.

Усложним условия и рассмотрим

Поставим в гармонический осциллятор затухание (демпфер), для чего добавим силу затухания в виде где τ – характеристическое время затухания. Новое уравнение движения теперь выглядит так:

и мы получаем общее решение:

Где же тогда появятся синусы и косинусы? Проблема в том, что Maple не знает, насколько велики и τ. Подумаем с точки зрения физического смысла. Пусть естественная частота порядка 2π, тогда период N = 2π/ = 1 с. Теперь пусть осциллятор (подразумеваем – маятник) находится в моторном масле при 50 градусах ниже нуля. Тогда характеристическое время затухания 0.05 с (трение столь велико, что движение остановится за 0.05 с). Интуиция должна подсказать, что если толкнуть маятник назад и освободить его, то ожидается некоторое покачивание, т. е. маятник медленно проплывет к своему вертикальному положению и останется в нем. Посмотрим, что скажет Maple:

OK, Maple согласен с интуицией.

Теперь изменим затухание и представим, что произойдет, если нагреть масло или использовать вместо него WD-40 (жидкая смазка) или, может быть, воздух. Маятник начнет колебаться с малым затуханием. Например, если τ = 20, то Maple дает:

Теперь он колеблется дольше и медленно затухает. Но какое чудо в решении превратило экспоненту в синусы и косинусы? Вспомним формулу Эйлера:
т. е. в экспоненте константы стали комплексными, поэтому решение перешло от распада к колебаниям.

Это поднимает вопрос о величине τ, при которой происходит переход от чистого затухания к затухающим колебаниям. Посмотрите на общий вид решения и увидите, что в экспонентах есть квадратный корень Если аргумент под корнем положителен, то оба фундаментальных решения в сумме есть затухающие экспоненты, и получаем затухание. Если аргумент под корнем отрицателен, то результат комплексный и экспонента комплексная, т. е. это синусы и косинусы, тогда получаем колебания. Переход между двумя режимами происходит, если квадратный корень = 0, т. е. когда τ = 1/(2). Этот особый случай называется критическим затуханием.

Пусть Maple решит задачу о гармоническом осцилляторе с затуханием для случая критического затухания при = 1 и нарисует график функции y(t) для t = 0..20 при начальных условиях y(0) = 1 и dy/dt(0) = 0. График будет выглядеть в точности как для осциллятора с затуханием при полном отсутствии намеков на то, что это точно граница между затуханием и колебаниями. Для проверки этого увеличьте τ на 2 % и снова постройте график. Растяните окно вниз, чтобы можно было видеть, что y(t) становится немного отрицательным, показывая начало колебаний (нужны очень серьезные размеры окна).

Примените Maple, чтобы получить общие решения ДУ второго порядка:

(a) ,

(b) ,

(c) .

Затухающий гармонический осциллятор

Взяв за основу ту же модель, добавим в нее силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

Здесь введено обозначение: . Коэффициент γ носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

При малом трении (γ − γt

• При сильном же трении γ > ω₀ решение выглядит следующим образом:

, где

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдет до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой Q. По определению, добротность равна:

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность меньше или равная 0,5 соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в Q раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз, умноженному на π.

В случае колебательного движения затухание еще характеризуют такими параметрами, как:

• Время жизни колебаний, оно же время затухания, оно же время релаксации. τ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

Это время рассматривается как время, необходимое для затухания (прекращения) колебаний (хотя формально свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

• Логарифмический декремент затухания. Определяется как логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну сторону. . Величина, обратная d, есть количество колебаний, которое пройдёт за время затухания τ.

Коэффициент затухания

величина, характеризующая скорость затухания колебаний

Закон сохранения энергии — основной закон природы, заключающийся в том, что энергия изолированной (замкнутой) системы сохраняется во времени. Другими словами, энергия не может возникнуть из ничего и не может в никуда исчезнуть, она может только переходить из одной формы в другую. Закон сохранения энергии встречается в различных разделах физики и проявляется в сохранении различных видов энергии. Например, в классической механике закон проявляется в ]] закон сохранения энергии называется первым началом термодинамики и говорит

Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то правильнее называть его не законом, а принципом сохранения энергии.

Добро́тность — характеристика колебательной системы, определяющая остроту резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в реактивных элементах контура больше, чем потери энергии на активных за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии в течение каждого периода. Колебания в системе с высокой добротностью затухают медленно

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

• f — частота колебаний
• W — энергия, запасённая в колебательной системе
• P_d — рассеиваемая мощность.

Обратимый процесс (то есть равновесный) — термодинамический процесс, который может проходить как в прямом, так и в обратном направлении, проходя через одинаковые промежуточные состояния, причем система возвращается в исходное состояние без затрат энергии, и в окружающей среде не остается макроскопических изменений.

Обратимый процесс можно в любой момент заставить протекать в обратном направлении, изменив какую-либо независимую переменную на бесконечно малую величину.

Обратимые процессы дают наибольшую работу. Большую работу от системы вообще получить невозможно. Это придает обратимым процессам теоретическую важность. На практике обратимый процесс реализовать невозможно. Он протекает бесконечно медленно, и можно только приблизиться к нему.

Следует отметить, что термодинамическая обратимость процесса отличается от химической обратимости. Химическая обратимость характеризует направление процесса, а термодинамическая — способ его проведения.

понятие равновесного состояния и обратимого процесса играют большую роль в термодинамике. Все количественные выводы термодинамики применимы только к равновесным состояниям и обратимым процессам.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней силы, меняющейся во времени.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: .

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы.

Но это далеко не полное определение явления резонанса. Для более детального восприятия этой категории необходимы некоторые факты из теории дифференциальных уравнений и математического анализа. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений известна проблема собственных векторов и собственных значений. Резонанс в динамической системе, описываемой дифференциальными уравнениями (и не только ими), формально наступает, когда проблема собственных значений приводит к кратным собственным числам. При этом в математическом аспекте не очень существенно, являются ли собственные числа комплексными или действительными. В физическом аспекте явление резонанса обычно связывают только с колебательными динамическими системами. Наиболее ярко понятие явления резонанса развито в современной теории динамических систем. Примером является известная теория Колмогорова-Арнольда-Мозера. Центральная проблема этой теории — вопрос сохранения квазипериодического или условно-периодического движения на торе (теорема КАМ). Эта теорема дала мощный толчок к развитию современной теории нелинейных колебаний и волн. В частности, стало ясно, что резонанс может и не наступить, хоть собственные числа совпадают или близки. Напротив, резонанс может проявиться в системе, где никакие собственные числа не совпадают, а удовлетворяют лишь определенным резонансным соотношениям или условиям синхронизма.

теплова́я маши́на

машина (тепловой двигатель, тепловой насос и др.), в которой осуществляется преобразование теплоты в работу или работы в теплоту. В основе действия тепловой машины лежит круговой процесс (цикл термодинамический), совершаемый рабочим телом (газом, водяным паром и др.). Если при осуществлении цикла на одних его участках теплота подводится к рабочему телу, а на других отводится (при более низкой температуре), то рабочее тело совершает работу, равную (для идеальной тепловой машины) разности количеств подведённой и отведённой теплоты.

Цикл Карно́ — идеальный термодинамический цикл. Тепловая машина Карно, работающая по этому циклу, обладает максимальным КПД из всех машин, у которых максимальная и минимальная температуры осуществляемого цикла совпадает соответственно с максимальной и минимальной температурами цикла Карно.

КПД тепловой машины Карно

Количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя при изотермическом расширении, равно

.

Аналогично, при изотермическом сжатии рабочее тело отдало холодильнику

.

Отсюда коэффициент полезного действия тепловой машины Карно равен

.

Из последнего выражения видно, что КПД тепловой машины Карно зависит только от температур нагревателя и холодильника. Кроме того, из него следует, что КПД может составлять 100 % только в том случае, если температура холодильника равна абсолютному нулю. Это невозможно, но не из-за недостижимости абсолютного нуля (этот вопрос решается только третьим началом термодинамики, учитывать которое здесь нет необходимости), а из-за того, что такой цикл или нельзя замкнуть, или он вырождается в совокупность двух совпадающих адиабат и изотерм.

Можно показать, что КПД любой тепловой машины, работающей по циклу, отличному от цикла Карно, будет меньше КПД тепловой машины Карно, работающей при тех же температурах нагревателя и холодильника.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — скалярная величина.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения.

Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент) — физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело.

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр, хотя сантиньютон-метр (cN•m), футо-фунт (ft•lbf), дюйм-фунт (lbf•in) и дюйм-унция (ozf•in) также часто используются для выражения момента силы. Символ момента силы τ (тау). Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. Вращающиеся аналоги силы, массы и ускорения есть момент силы, момент инерции и угловое ускорение соответственно. Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние до оси рычага, есть момент силы. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу, расстояние до оси которого 2 метра, это то же самое, что 1 ньютон, приложенный к рычагу, расстояние до оси которого 6 метров. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где — сила, действующая на частицу, а — радиус-вектор частицы!

Теплоемкость идеального газа — это отношение тепла, сообщенного газу, к изменению температуры δТ, которое при этом произошло.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение

В реальных системах всегда существуют некоторые силы сопротивления, препятствующие развитию колебательных процессов. Для установления характера колебательного движения в этом случае будем считать, что наряду с упругой или квазиупругой силой F_y в системе действует сила трения, пропорциональная скорости и направленная противоположно ей: F_тр = . Тогда учет влияния этих двух сил на характер движения приводит к следующему дифференциальному уравнению:

(8)

Разделив левую и правую части уравнения (8) на m , обозначив r/m = 2b и сохранив обозначение к/m = w₀ 2 , приведем это уравнение к виду:

(9)

Решение этого уравнения имеет вид:

(10)

Формула (10) представляет собой смещение при затухающем колебании как функцию времени и параметров системы b и w. Коэффициент b = r/2m имеет смысл коэффициента затухания. Из формулы (10) видно, что в затухающих колебаниях амплитуда уменьшается со временем. Причем, колебания затухают тем быстрее, чем больше коэффициент затухания b. По сравнению с гармоническими колебаниями уменьшается также и циклическая частота колебаний. Это уменьшение зависит от коэффициента затухания. Оказывается, что

(11)

Колебательный процесс может происходить лишь при условии:
(w₀ 2 — b 2 )>0, когда частота w в формуле (11) является действительной величиной . Если же затухание в системе слишком велико (w₀

Дата добавления: 2016-01-20 ; просмотров: 1892 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ