Дифференциальное уравнение переноса и теплоты

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена. Основные понятия конвективного теплообмена

Основные понятия конвективного теплообмена

Понятие конвективного теплообмена охватывает процесс теплообмена при движении жидкости или газа. При этом перенос теплоты осуществляется одновременно конвекцией и теплопроводностью.

Если в единицу времени через единицу контрольной поверхности нормально к ней проходит масса жидкости , кг/(м 2 ·с), где – скорость, – плотность жидкости, то вместе с ней переносится теплота, Вт/м 2 :

Конвекция теплоты всегда сопровождается теплопроводностью, т.к. при движении жидкости или газа происходит сопри­косновение отдельных частиц, имеющих различные температуры. В результате конвективный теплообмен описывают уравнением

При расчетах конвективного теплообмена между текущей жидкостью и твёрдой стенкой используют закон Ньютона – Рихмана

Коэффициент теплоотдачи α зависит от большого количества факто­ров. В общем случае α является функцией

— формы и размеров тела,

— скорости и температуры жидкости,

— физических па­раметров жидкости,

Чтобы привести жидкость в движение, к ней необходимо при­ложить силу. Силы, действующие на какой-либо элемент жидкости, можно разделить на массовые (или объемные) и поверхностные.

Массовыми называют силы, приложенные ко всем частицам жид­кости и обусловленные внешними силовыми полями (например, грави­тационным или электрическим).

Поверхностные силы возникают вслед­ствие действия окружающей жидкости или твердых тел; они приложены к поверхности контрольного объема жидкости. Такими силами являют­ся силы внешнего давления и силы трения.

Различают свободную и вынужденную конвекцию.

В пер­вом случае жидкость с неодно­родным распределением температуры, и, как следствие, с неоднород­ным распределением плотности, находится в поле земного тяготения. Поэтому в ней может возникнуть свободное гравитационное движение.

Вынужденное движение объема жидкости про­исходит под действием внешних поверхностных сил, приложенных на его границах, за счет предварительно сообщенной кинетической энер­гии (например, за счет работы насоса, вентилятора, ветра).

Вынужденное движение в общем случае может сопровождаться свободным движением. Относительное влияние последнего тем больше, чем больше разница температур отдельных частиц среды и чем меньше скорость вынужденного движения.

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

Из уравнения следует, что плотность теплового потока в любой точке жидкости для каждого момента времени однозначно определяется, если известны поля температур, удельной энтальпии и скорости.

Связь между температурой и энтальпией может быть установлена следующим образом. Для реальной жидкости , и согласно понятию о полном дифференциале

Отсюда

Для многих задач в предположении о несжимаемости жидкости (ρ=const) с достаточной степенью точности можно принять , т.е. пользоваться соотношением, справедливым для термодинамически идеального газа и .

Выведем диф­ференциальное уравнение, описывающее тем­пературное поле в движущейся жидкости.

При выводе будем полагать, что

— её физические параметры постоянны,

— энергия деформации мала по срав­нению с изменением внутренней энергии.

Выделим в потоке жидкости неподвиж­ный относительно координатной системы эле­ментарный параллелепипед с реб­рами dx, dy и dz.

Через грани параллелепипе­да теплота переносится теплопроводностью и конвекцией; в общем случае в рассматривае­мом объеме может выделяться теплота внутренними источниками.

Вывод уравнения энергии, соответствующего принятым здесь усло­виям, был получен ранее:

,

Проекции плотности теплового потока на координатные оси Ох, Оу и Оz равны

, и

Подставляя значения q_x,q_y и q_z в уравнение Фурье, можно получить

Для несжимаемых жидкостей (ρ=const) из закона сохранения массы следует:

Тогда,

или, если ,

Последнее уравнение является уравнением энергии, описывающим распределение температур внутри движущейся жидкости.

Если , уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности.

Как следует из уравнения энергии, темпера­турное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих скорости .

Чтобы сде­лать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали из­менение скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями являются дифференциаль­ные уравнения движения.

Уравнение движения вдоль оси Ох

.

Описание движения жидкости усложняется, если скорость изменя­ется по трем направлениям.

для оси Ох

для оси Оу

для оси Оz

В общем случае составляющие скорости изменяются во времени и в пространстве. Член, стоящий в левой части уравнений, представляет собой полную производную от скорости по времени.

На основании понятия о полной (субстанциальной) производной для оси Ох имеем

Аналогичные уравнения можно записать и для осей Оу, Оz.

Используя векторную форму записи:

Уравнение движения получено без учета зависимости физи­ческих параметров жидкости от температуры. В частности, не учтена зависимость плотности от температуры.

В то же время свободное дви­жение жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагре­тых частиц жидкости.

Приближенный учет переменности плотности возможен с введением температурного коэффициента объемного расши­рения β.

Т.к. в уравнение движения, помимо входит еще неизвестная величина р, то система уравнений не является замкнутой. Необходимо добавить еще одно уравнение – уравнение сплошности (неразрывности).

Выде­лим в потоке движущейся жидкости непо­движный элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy и dz и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него в на­правлении осей Ох, Оу и Oz за время dτ.

В направлении оси Ох в параллелепи­пед втекает масса жидкости

Величина представляет собой ко­личество массы, протекающей в единицу времени через единицу поперечного сече­ния. Из противоположной грани вытекает масса

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд, полу­чаем, что масса dM_x+dx, вытекающая из элементарного параллелепида в направлении оси Ох

Излишек массы жидкости, вытекающий из элементарного объема в направлении оси Ох

Аналогичным образом можно получить уравнения для направлений по осям Оу и Оz.

Полный избыток мас­сы жидкости, вытекающей из элементарного объема в направлении всех трех осей обусловливается измене­нием плотности жидкости в объеме dυ и равен изменению массы дан­ного объема во времени .

Произведя сокращение на dυ и dτ и перенеся все члены в левую часть равенства, окончательно получим дифференциальное уравнение сплошности для сжимаемых жидкостей

Для несжимаемых жидкостей, полагая ρ=const, получаем

Уравнение сплошности является уравнением сохранения массы.

Дата добавления: 2016-02-09 ; просмотров: 2738 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ