Дифференциальное уравнение первого порядка не содержит

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание:

Обыкновенные дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
(7.1)

Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0. (7.3)

Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или . (7.4)

Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение имеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение — функции где C — произвольное число.

Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

Ф (х, у, С₀) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x₀ равна заданному значению y₀ , то есть y (x₀) = y₀ или (7.7)

Условие (7.7) называется начальным условием решения.

Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

Мы видим, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие . Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x₀) = y₀.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной .

График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение имеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).

Уравнение имеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).

Если задано начальное условие то это означает, что задана точка M₀ (x₀;y₀), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M₀ (x₀; y₀).

Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Определение. Уравнение вида
f₁ (y) dy = f₂ (x) dx, (7.8)
где f₁ (y) и f₂ (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
.

Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:


— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
является частным решением данного уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0 (7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f₂ (y) g₁ (x), получим уравнение с разделенными переменными:

Интегрируя это уравнение, запишем
.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
.

Интегрируя, получим

— общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
откуда

Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие

Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену будем иметь:

Тогда уравнение (7.10) запишется в виде (7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
или y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение примет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть , откуда .

После интегрирования получим
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить вместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.

Пример 1. Найти решение однородного уравнения

Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
или .

Отделяя переменные, найдем
откуда или , то есть
.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: .

Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)

Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем , откуда

Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

Зная v, находим u из уравнения (7.16):

откуда

Здесь мы уже берем для u все первообразные.

Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
(7.17)

При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: или
. (7.18)

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
или

Отделим переменные, домножив обе части уравнения на , тогда .
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):

Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения который удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда

Подставим v в уравнение и найдем u:

Общее решение дифференциального уравнения будет:

Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:

Из общего решения получаем частное решение
.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Определение. Уравнения вида
(или )
называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем y» (или x») в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на y»:

Сделаем замену:
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:

Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

Решение. .
Сделаем замену Тогда

Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).

Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения

Тогда .

Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим , а при y -1 = z = uv, имеем

Обыновенное дефференциальное уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную искомую функцию и производные искомой функции до некоторого порядка включительно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

Здесь — известная функция, заданная в некоторой области

Число т. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Основные понятия и определения

Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

используя последнее в окрестности тех точек, в которых обращается в бесконечность.

Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

Обе переменные и входят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию получаем более симметричное уравнение:

где Обратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно или так что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), определена на некотором подмножестве вещественной плоскости Функцию определенную в интервале мы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

1. Существует производная для всех значений из интервала (Отсюда следует, что решение представляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
2. Функция обращает уравнение (2) в тождество:

справедливое для всех значений из интервала Это означает, что при любом из интервала точка принадлежит множеству и

Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения этого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

Примеры с решением

Пример 1.

является решением уравнения

в интервале ибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

справедливое при всех значениях

Пример 2.

Функция есть решение равнения в интервале

Пример 3.

является решением уравнения

в интервале

Иногда функцию обращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач нужно найти функции y₁ = y₁ (x), y₂ = y₂ (x), . y_n = y_n (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y₁ , y₂ , . y_n и их производные.

Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила .

Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что сила, а соответственно и ее проекции F_x, F_y, F_z зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от . Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:

Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):

Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
(7.38)

где x — независимая переменная, y₁, y₂, . y_n — неизвестные функции.

Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

Решением системы называется совокупность функций y₁, y₂, . y_n, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y₁, y₂, . y_n , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
(7.39)

Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):

Заменим производные
их выражениями f₁, f₂, . f_n из уравнений системы (7.38), получим уравнение

Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем

Продолжая дальше таким образом, получим

В результате получаем следующую систему уравнений:
(7.40)

Из первых (n-1) уравнений определим y₂, y₃, . y_n:
(7.41)

и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y₁:

Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
как функции от x, C₁, C₂, . C_n. Подставим эти функции в (7.41), найдем
(7.43)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать систему

когда заданы начальные условия
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
. Подставляем сюда значение и из системы, получим

Из первого уравнения системы найдем и подставим в полученное нами уравнение:
или

Общим решением этого уравнения является
(*)
и тогда (**)

Подберем постоянные С₁ и С₂ так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С₁ – 9; 0 = С₂ – 2С₁ + 14, откуда С₁ = 10, С₂ = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений:
(7.44)
где коэффициенты a_ij — постоянные числа, t — независимая переменная, x₁ (t), . x_n (t) —
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

Будем искать решение системы (7.44) в виде:
(7.45)

Надо определить постоянные α₁, α₂, . α_n и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):

Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
(7.46)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно α₁, α₂, . α_n. Составим определитель системы:

Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:

Решение. Составим характеристическое уравнение:
или k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = 4.

Решение системы ищем в виде

Составим систему (7.46) для корня k₁ и найдем и :
или

Откуда Положив получим
Итак, мы получили решение системы:

Далее составляем систему (7.46) для k = 4:

Откуда
Получим второй решение системы:
Общее решение системы будет:

2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

k₁ = α + iβ, k₂ = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

(7.47)

(7.48)

Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
(7.49)
где — действительные числа, которые определяются через .

Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение:
или k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k₁ = –6 + i, k₂ = –6 – i .

Подставляем поочередно k₁, k₂ в систему (7.46), найдем

Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных

Перепишем эти решения в таком виде:

За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:

Общим решением системы будет

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям первого порядка

Вы будете перенаправлены на Автор24

Дифференциальные уравнения второго порядка, в которых правая часть не зависит от неизвестной функции и её производной

Таким дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида $y»=f\left(x\right)$. В нем правая часть не зависит от неизвестной функции $y$ и её производной $y’$, а зависит только от $x$. Решается это уравнение последовательным интегрированием.

Представим его в таком виде: $\frac \left(y’\right)=f\left(x\right)$, откуда $d\left(y’\right)=f\left(x\right)\cdot dx$.

Интегрируем первый раз, используя то свойство, что неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: $\int d\left(y’\right) =\int f\left(x\right)\cdot dx $ или $y’=\int f\left(x\right)\cdot dx +C_ <1>$, где $C_ <1>$ — произвольная постоянная.

Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка сведено теперь к дифференциальному уравнению первого порядка, которое можно представить в таком виде: $dy=\left(\int f\left(x\right)\cdot dx +C_ <1>\right)\cdot dx$.

Интегрируем полученное дифференциальное уравнение повторно: $y=\int \left(\int f\left(x\right)\cdot dx +C_ <1>\right)\cdot dx =\int \left(\int f\left(x\right)\cdot dx \right)\cdot dx +\int C_ <1>\cdot dx$. Окончательно получаем:$y=\int \left(\int f\left(x\right)\cdot dx \right)\cdot dx +C_ <1>\cdot x+C_ <2>$, где $C_ <2>$ — произвольная постоянная.

Процесс интегрирования завершен. Получена неизвестная функция $y$, которая является общим решением данного дифференциального уравнения второго порядка.

Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y»=f\left(x\right)$ может быть представлен в следующем виде:

1. находим интеграл $I_ <1>\left(x\right)=\int f\left(x\right)\cdot dx $ и записываем первую производную искомой функции в виде $y’\left(x,C_ <1>\right)=I_ <1>\left(x\right)+C_ <1>$;
2. находим интеграл $I_ <2>\left(x\right)=\int I_ <1>\left(x\right)\cdot dx $ и записываем окончательно общее решение данного дифференциального уравнения: $y=I_ <2>\left(x\right)+C_ <1>\cdot x+C_ <2>$;
3. для поиска частного решения начальные условия подставляем в выражение для первой производной $y’$, а также в общее решение; в результате находим значения произвольных постоянных $C_ <1>$ и $C_ <2>$.

Готовые работы на аналогичную тему

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка $y»=4$. Записать также его частное решение, которое удовлетворяет начальным условиям $y=1$ при $x=1$, $y’=1$ при $x=1$.

В данном дифференциальном уравнении правая часть не зависит ни от неизвестной функции $y$, ни от её производной $y’$. Следовательно, оно решается последовательным интегрированием два раза подряд.

Находим интеграл $I_ <1>\left(x\right)=\int f\left(x\right)\cdot dx =\int 4\cdot dx =4\cdot x$. Записываем выражение для первой производной в виде $y’\left(x,C_ <1>\right)=I_ <1>\left(x\right)+C_ <1>$, то есть $y’=4\cdot x+C_ <1>$.

Находим интеграл $I_ <2>\left(x\right)=\int I_ <1>\left(x\right)\cdot dx =\int 4\cdot x\cdot dx =2\cdot x^ <2>$. Записываем окончательно общее решение в виде $y=I_ <2>\left(x\right)+C_ <1>\cdot x+C_ <2>$. Получаем: $y=2\cdot x^ <2>+C_ <1>\cdot x+C_ <2>$.

Ищем частное решение. Подставляем начальное условие $y’=1$ при $x=1$ в выражение для $y’$: $1=4\cdot 1+C_ <1>$, откуда $C_ <1>=-3$. Подставляем начальное условие $y=1$ при $x=1$ в выражение для $y$: $1=2\cdot 1^ <2>+\left(-3\right)\cdot 1+C_ <2>$, откуда $C_ <2>=2$. Таким образом, частное решение имеет вид: $y=2\cdot x^ <2>-3\cdot x+2$.

Дифференциальные уравнения второго порядка, не содержащие неизвестной функции

Указанные дифференциальные уравнения второго порядка допускают понижение порядка посредством замены переменных. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены известные методы решения.

Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее неизвестной функции $y$, имеет вид $y»=f\left(x,y’\right)$.

Для его решения применяют замену $y’=z\left(x\right)$.

При этом $y»=z’\left(x\right)$. После подстановки данное дифференциальное уравнение приобретает вид дифференциального уравнения первого порядка относительно $z$, то есть $z’=f\left(x,z\right)$. Решая его, находим $z\left(x\right)=\phi \left(x,C_ <1>\right)$.

В свою очередь, поскольку $y’=z\left(x\right)$, то $y’=\phi \left(x,C_ <1>\right)$. Это также дифференциальное уравнение первого порядка, которое допускает непосредственное интегрирование. Следовательно, интегрируя еще раз, окончательно получаем общее решение $y=\int \phi \left(x,C_ <1>\right)\cdot dx +C_ <2>$.

Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y»=f\left(x,y’\right)$ может быть представлен в следующем виде:

1. переписываем данное дифференциальное уравнение в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y»$ на $z’$, а $y’$ — на $z$;
2. полученное дифференциальное уравнение первого порядка решаем одним из подходящих известных методов;
3. найденное решение $z=\phi \left(x,C_ <1>\right)$ представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $y’=\phi \left(x,C_ <1>\right)$, которое допускает непосредственное интегрирование;
4. находим интеграл $I=\int \phi \left(x,C_ <1>\right)\cdot dx $ и получаем общее решение в виде $y=I+C_ <2>$.

Найти общее решение дифференциального уравнения$y»-\frac =3\cdot x$.

Данное дифференциальное уравнение не содержит неизвестной функции $y$, поэтому переписываем его в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y»$ на $z’$, а $y’$ — на $z$. Получаем: $z’-\frac =3\cdot x$.

Это дифференциальное уравнение первого порядка является линейным неоднородным, решая которое известным методом, получаем $z=\left(3\cdot x+C_ <1>\right)\cdot x$.

Найденное решение представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $y’=\phi \left(x,C_ <1>\right)$, то есть $y’=\left(3\cdot x+C_ <1>\right)\cdot x$. Это дифференциальное уравнение допускает непосредственное интегрирование.

Находим интеграл $I=\int \phi \left(x,C_ <1>\right)\cdot dx =\int \left(3\cdot x+C_ <1>\right)\cdot x\cdot dx =x^ <3>+C_ <1>\cdot \frac > <2>$ и получаем общее решение в виде $y=I+C_ <2>=x^ <3>+C_ <1>\cdot \frac > <2>+C_ <2>$. Это общее решение можно представить также в виде $y=x^ <3>+C_ <1>\cdot x^ <2>+C_ <2>$.

Дифференциальные уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной

Указанные дифференциальные уравнения второго порядка также допускают понижение порядка посредством замены переменных. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены известные методы решения.

Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной $x$, имеет вид $y»=f\left(y,y’\right)$.

Для его решения применяют замену $y’=z\left(y\right)$.

Подставляем выражения для $y’$ и $y»$ в данное дифференциальное уравнение: $z\cdot \frac =f\left(y,z\right)$. Получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной $z$, которая является функцией $y$. Решая его, находим $z\left(y\right)=\phi \left(y,C_ <1>\right)$.

В свою очередь, поскольку $\frac =z\left(y\right)$, то $\frac =\phi \left(y,C_ <1>\right)$. Полученное дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, общее решение которого можно найти из выражения $\int \frac <\phi \left(y,C_<1>\right)> =x+C_ <2>$.

Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y»=f\left(y,y’\right)$ может быть представлен в следующем виде:

1. переписываем данное дифференциальное уравнение в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y»$ на $z\cdot z’$, а $y’$ — на $z$;
2. полученное дифференциальное уравнение первого порядка решаем одним из подходящих известных методов;
3. найденное решение $z=\phi \left(y,C_ <1>\right)$ представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $\frac=\phi \left(y,C_ <1>\right)$, которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными;
4. находим интеграл $I=\int \frac<\phi \left(y,C_<1>\right)> $ и получаем общее решение в виде $I=x+C_ <2>$.

Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных

Постановка задачи

Здесь мы рассматриваем метод решения уравнений вида:
(1) ;
(2) .
То есть это дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной, и которые не содержат одну из переменных в явном виде.

Общий метод решения

Решение таких уравнений мы ищем в параметрическом виде. Пусть – параметр. Тогда переменные и являются функциями от этого параметра :
;
.
Производная также является функцией от параметра :
.

Преимущество параметрического представления заключается в том, что его можно создать многими способами. В качестве примера рассмотрим функцию
.
В параметрическом виде ее можно представить так:
.
Или так:
.
То есть мы можем найти бесконечно много способов, чтобы создать параметрическое представление для одной и той же функции.

Мы будем использовать это преимущество параметрического представления при решении уравнений (1) и (2). Общий метод заключается в том, чтобы подобрать такую функцию , чтобы уравнения (1) или (2) можно было разрешить относительно переменной или .

Рассмотрим уравнение (1):
(1) .
Пусть мы подобрали такую функцию , что при подстановке в (1), уравнение (1) удалось разрешить относительно . То есть мы получили параметрическое представление для переменной :
.
Тогда имея две функции и , мы можем найти . Для этого запишем дифференциал:
.
Интегрируя, получаем параметрическое представление для :
.

Теперь рассмотрим уравнение (2):
(2) .
Пусть мы подобрали такую функцию , что при подстановке в (2), уравнение (2) удалось разрешить относительно . То есть мы получили параметрическое представление для переменной :
.
Тогда имея две функции и , мы можем найти . Для этого запишем дифференциал:
.
Интегрируя, получаем параметрическое представление для :
.

Уравнения, разрешенные относительно переменной

Рассмотрим наиболее простой случай, когда исходное уравнение
(1)
удается разрешить относительно переменной :
.
В этом случае проще положить . Тогда .

Тогда имея две функции и , мы можем найти :
;
.

Аналогично, если исходное уравнение
(2)
удается разрешить относительно переменной :
.
То положим . Тогда .

Имея две функции и , мы можем найти :
;
.

Пример

Решить уравнение:
(1.1)

Это дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Оно не содержит переменную в явном виде. Ищем решение в параметрическом виде, введя параметр . Это уравнение разрешено относительно переменной . Поэтому делаем подстановку:
(1.2) .
Тогда
(1.3) .

Итак, мы выразили переменную через параметр . Теперь осталось выразить через параметр переменную . Для этого запишем дифференциал переменной :
.
Отсюда получаем дифференциал переменной :
(1.4) .
Распишем дифференциал , используя (1.3):
;
(1.5) .
Подставляем (1.2) и (1.5) в (1.4):
.
Интегрируем:
.

Итак, мы получили решение в параметрическом виде:
(1.6) ;
(1.3) .

Далее мы можем явно выразить y через x. Для этого перепишем уравнение (1.6):
.
Решаем квадратное уравнение:

.
Заменим постоянную :
:
.
Подставляем в (1.3):

Уравнения, не разрешенные относительно переменной

Теперь рассмотрим более общий случай. Рассмотрим уравнение (1):
(1) .
Если это уравнение не удается разрешить относительно переменной , то у нас нет гарантий, что мы можем получить решение. Но мы можем попытаться найти такую функцию
, чтобы подставив в (1), можно было выразить переменную через параметр . Если это удастся сделать, то у нас будут две функции, зависящие от параметра :
;
.
Подставляя их в выражение для дифференциала

и интегрируя, мы найдем .

Аналогично поступаем для уравнения (2):
(2) .
Нашей задачей является найти такую функцию
, чтобы подставив в (2), можно было выразить переменную через параметр . Если это удастся сделать, то у нас будут две функции, зависящие от параметра :
;
.
Подставляя их в выражение для дифференциала

и интегрируя, мы найдем .

Пример

Решить уравнение:
(2.1) .

Это дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Оно не содержит переменную в явном виде. Ищем решение в параметрическом виде. Нашей задачей является найти такую подстановку , чтобы из уравнения (2.1) можно было выразить переменную через параметр .

Можно увидеть, что такой подстановкой является
(2.2) .
Подставляем в исходное уравнение (2.1):
;
;
;
(2.3) .

Итак, мы выразили переменную через параметр . Теперь осталось выразить через параметр переменную . Для этого запишем дифференциал переменной и выразим его через параметр .
.
Подставим (2.2):
.
Здесь – функция от , определяемая из (2.3).
Интегрируем по частям и подставляем (2.3):
;
;
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-08-2012 Изменено: 01-04-2016