Дифференциальное уравнение разрешенное относительно старшей производной

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах

Уравнения, содержащие переменную и старшую производную

Разрешенные относительно старшей производной

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:
.
Интегрируем n раз.
;
;
и так далее. Так же можно использовать формулу:
.
См. Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Разрешенные относительно переменной

Рассмотрим дифференциальное уравнение, в котором независимая переменная x является функцией от старшей производной:
.
Это уравнение можно решить параметрическим методом. Для этого вводим параметр . В результате получаем:
;
.
Из последнего уравнения . Интегрируя, получаем зависимость производной от x в параметрическом виде:
.
Продолжая интегрирование аналогичным образом, получим зависимость y от x в параметрическом виде.

Общий случай

Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только независимую переменную и старшую производную общего вида:
.
Его можно решить в квадратурах в параметрическом виде, если удастся подобрать такие функции и , для которых .

Если такие функции найдены, то положим . Тогда исходное уравнение выполняется автоматически. Дифференцируя первую функцию, находим связь между дифференциалами переменных x и t : . Тогда
.
Интегрируя последнее соотношение, получаем решение для производной более низкого порядка в параметрическом виде. Продолжая действовать подобным способом, получим общее решение в квадратурах.

Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-1

Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только производные n-го и n-1-го порядков:
.
Его можно решить в квадратурах, если удастся найти такие функции и , которые удовлетворяют уравнению
.
Тогда положим
.
Считаем, что такое параметрическое представление эквивалентно исходному уравнению .

Тогда
;
.
Интегрируя эти уравнения, получим параметрическое представление производной порядка n – 2 . Продолжая подобным образом, получаем выражения остальных производных и самой функции y через параметр t .
Подробнее, см. здесь.

Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-2

Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только производные n-го и n-2-го порядков:
.
Его можно решить в квадратурах, если удастся найти такие функции и , которые удовлетворяют уравнению
.
Положим
.
Считаем, что такое параметрическое представление эквивалентно исходному уравнению.

Тогда
;
;
;
;
.
Интегрируя, получим параметрическое представление производных порядка n, n – 1 и n – 2 . Далее интегрируем как в предыдущем случае ⇑. В результате получаем выражения остальных производных и самой функции y через параметр t .
Подробнее, см. здесь.

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном виде

Подстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь – функция от .
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде

Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде

Для решения этого уравнения, делаем подстановку
.
Считаем, что является функцией от . Тогда
.
Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде

Однородные дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнения, однородные относительно функции и ее производных

Дифференциальное уравнение

является однородным относительно функции и ее производных, если оно обладает свойством:
.
Здесь t – число или любая функция; число p называют показателем однородности.

Чтобы распознать такое уравнение, нужно сделать замену
.
Если после преобразований t сократится, то это однородное уравнение.

Для его решения делаем подстановку
,
где – функция от . Тогда
.
Аналогично преобразуем производные и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков

Обобщенно однородные уравнения относительно переменных

Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения, которые не меняют вида, если сделать замену переменных: , где c – постоянная; s – измерение однородности для переменной y. При такой замене производная порядка m умножается на :
.
Если записать исходное уравнение в общем виде:
,
то оно является обобщенно однородным относительно переменных, если обладает свойством:
,
где t – число или любая функция; p – показатель однородности.

При подобные уравнения можно назвать однородными дифференциальными уравнениями относительно переменных.

Порядок такого уравнения можно понизить на единицу, если искать решение в параметрическом виде, и перейти от зависимой переменной (функции) y к новой зависимой переменной (новой функции) с помощью подстановок:
, где t – параметр.
В результате для функции получим дифференциальное уравнение n — го порядка, которое не содержит переменную t в явном виде. Далее понижаем порядок изложенным выше методом ⇑.
См. Обобщенно однородные дифференциальные уравнения относительно переменных высших порядков

Дифференциальные уравнения с полной производной

Это уравнения, которые можно привести к полной производной:
.
Отсюда сразу получаем первый интеграл:
.
Он представляет собой дифференциальное уравнение, на единицу меньшего порядка по сравнению с исходным уравнением .

В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка:
.
Разделим его на . Тогда
.
Отсюда получаем первый интеграл, который является дифференциальным уравнением первого порядка:
.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков с полной производной.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
(1) ,
где – функции от независимой переменной . Пусть есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
(2) ,
где – произвольные постоянные. Сами функции образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка – это n линейно независимых решений этого уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
.
Пусть есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид:
,
где – общее решение однородного уравнения (1).

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида:
(3) .
Здесь – действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно найти n линейно независимых решений , которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определяется по формуле (2):
(2) .

Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
(4) .

Если это уравнение имеет различные корни , то фундаментальная система решений имеет вид:
.

Если имеется комплексный корень
,
то существует и комплексно сопряженный корень . Этим двум корням соответствуют решения и , которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений и .

Кратным корням кратности соответствуют линейно независимых решений: .

Кратным комплексным корням кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений:
.

Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение вида
,
где – многочлены степеней s 1 и s 2 ; – постоянные.

Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень , то ищем частное решение в виде:
,
где
;
;
s – наибольшее из s 1 и s 2 .

Если характеристическое уравнение (4) имеет корень кратности , то ищем частное решение в виде:
.

После этого получаем общее решение:
.

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Здесь возможны три способа решения.

1) Метод Бернулли.
Сначала находим любое, отличное от нуля, решение однородного уравнения
.
Затем делаем подстановку
,
где – функция от переменной x . Получаем дифференциальное уравнение для u , которое содержит только производные от u по x . Выполняя подстановку , получаем уравнение n – 1 — го порядка.

2) Метод линейной подстановки.
Сделаем подстановку
,
где – один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка . Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.

3) Метод вариации постоянных Лагранжа.
В этом методе мы сначала решаем однородное уравнение (3). Его решение имеет вид:
(2) .
Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от переменной x . Тогда решение исходного уравнения имеет вид:
,
где – неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и накладывая на некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти вид функций .

Уравнение Эйлера

Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
.
Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде
.
В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной нужно подставить .

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 13-06-2017 Изменено: 11-05-2021

ОДУ n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Теоремы о разрешимости задачи Коши для ОДУ

Пусть в области рассматривается задача Коши:

где . Пусть правая часть является непрерывной функцией в . В этих предположениях имеет место теорема Пеано, устанавливающая локальную разрешимость задачи Коши: Пусть a>0 и b>0 таковы, что замкнутый прямоугольник

принадлежит области D, тогда на отрезке [x₀ − α,x₀ + α], где α = min<a,b / M>, , существует решение задачи Коши.

Указанный отрезок называется отрезком Пеано. Заметим, что, локальный характер теоремы Пеано не зависит от гладкости правой части. Например, для f(x,y) = y 2 + 1 и для x₀ = 0,y₀ = 0 решение y(x) = tan(x) существует лишь на интервале ( − π,π). Также отметим, что без дополнительных предположений относительно гладкости правой части, нельзя гарантировать единственность решения задачи Коши. Например, для возможно более одного решения.

Чтобы сформулировать теорему о единственности решения задачи Коши, необходимо наложить дополнительные ограничения на правую часть. Будем говорить, что функция f(x,y) удоволетворяет условию Липшица на D относительно y, если существует постоянная L такая, что

для всех , i=1,2.

Пусть правая часть f(x,y) дополнительно удовлетворяет условию Липшица на D относительно y, тогда задача Коши не может иметь в D более одного решения.

Также отметим, что хотя эта теорема имеет глобальный характер, тем не менее она не устанавливает существование глобального решения.

Для существования глобального решения необходимо наложить условия на рост правой части по y: пусть функция f удовлетворяет условию

где A>0 — константа не зависящая ни от x, ни от y, тогда задача Коши имеет решение в D. В частности, из этой теоремы следует, что задача Коши для линейных уравнений (с непрерывными по x коэффициентами) имеет глобальное решение.

Вычислительные (численные) методы — методы решения математических задач в численном виде

Представление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел

В системе подготовки инженеров технических специальностей является важной составляющей.

Основами для вычислительных методов являются:

решение систем линейных уравнений

численное решение системы нелинейных уравнений

численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление» . Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция f определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале (x₀,b]. На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах x_i, которое обозначим через y_i определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция f непрерывна в D и непрерывно дифференцируема по переменной y в D, то имеет место следующая оценка погрешности

где h — средний шаг, то есть существует C > 0 такая, что .

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

Значение метода Эйлера

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом

Вычисления по методу Эйлера с пересчетом делаются в два этапа.

.

.

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо дважды вычислять правую часть функции. Заметим, что метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты (предиктор-корректор).

3. Указать к какому классу относится каждый из перечисленных IP адресов:

Определить к какому классу относится каждый IP-адрес

Старший октет адреса представляем в двоичном коде: если старший бит = 0 (класс А), = 10 (класс B), = 11 (класс С)

Дифференциальные уравнения высших порядков 2

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

дифференциальное уравнение п-го порядка, разрешенное относительно старшей производной Возникает вопрос: какие надо задать условия, чтобы выделить определенное, частное решение уравнения (1)? Для дифференциального уравнения первого порядка достаточно задать значение уо частного решения при каком-то значении ж0 независимой переменной ж, т.е. задать точку (хо>Уо)> через которую должна проходить интегральная кривая этого уравнения. Для уравнений высшего порядка этого уже недостаточно.

Например, уравнение имеет решениями функции произвольные постоянные. Уравнение определяетдвухпараметрическое семейство прямых на плоскости хОу, и, чтобы выделить определенную прямую, мало задать точку (жо, Уо)» через которую прямая должна проходить, — надо еще задать угловой коэффициент прямой В общем случае дифференциального уравнения п-го порядка (1) для выделения частного решения надо задать п условий:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Задача Коши существование и единственности решения задачи Коши Уравнения высших порядков допускающие понижение порядка Линейные однородные Линейно зависимые и линейно независимые системы функций дифференциальные уравнения п-го порядка необходимое условие линейной зависимости определитель Вронского Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения где некоторые числа.

Совокупность этих условий называется начальными условиями для дифференциального уравнения (1). Задача Коши для этого уравнения ставится так: найти решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям (2). Сформулируем теорему существования и единственности решения задачи Коши. Теорема 1 (существование и единственности решения задачи Коши). Пусть имеем дифференциальное уравнение п-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.

Если правая часть этого уравнения непрерывна как функция п + 1 аргументов в некоторой окрестности (на рис. 1 для п = 2), то найдется интервал , на котором существует по крайней мере одно решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям Если, кроме того, функция п имеет ограниченные частные производными в указанной окрестности Q, то такое решение единственно.

Так, для уравнения правая часть рассматриваемая как функция трех независимых переменных г, у, у’. непрерывна всюду и имеет ограниченные всюду производные Поэтому, какова бы ни была тройка чисел , существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям Определение.

Общим решением дифференциального уравнения п-го порядка в некоторой области Q существования и единственности решения задачи Коши вается n-параметрическое семейство 5 функций , зависящих от х и п произвольных постоянных , такое, что: 1) при любых допустимых значениях постоянных С\> С2. С„ функция является решением дифференциального уравнения (1), т. е. (лишь бы точка принадлежала области П существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (1)), можно так подобрать значения постоянных, чтобы решение удовлетворяло заданным начальным условиям.

Решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных , называется частным решением. Его график — кривую на плоскости хОу — называют интегральной кривой данного дифференциального уравнения. Соотношение , неявно определяющее общее решение, называют общим интегралом дифференциального уравнения (1). Задача. Показать, что функция является общим решением уравнения . Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 1.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Уравнение вида где /(х) — известная непрерывная функция, интегрируется в квадратурах. Учитывая, что у(п) = (у(п_|)) , и интегрируя по х левую и правую части уравнения, получаем приходим к уравнению такого же вида, что и исходное; далее находим Через п шагов получим общее решение уравнения (1).

Пример 1:

Найти общее решение уравнения Л Последовательно интегрируя дважды, получаем искомое общее решение Если уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка к — 1 включительно, т. е. имеет вид то порядок уравнения может быть снижен до порядка п-к заменой у^ = р(х). После такой замены уравнение принимает вид Пусть удалось проинтегрировать полученное уравнение: Замечая, что р = у^(х), приходим к уравнению из которого у(ж) находится fc-кратным интегрированием.

Пример 2:

Найти общее решение уравнения Положим , тогда и данное уравнение примет вид Разделяя переменные в последнем уравнении, найдем откуда легко получаем общее решение исходного уравнения: 3. Пусть дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной ж, т.е. имеет вид Порядок этого уравнения можно понизить на единицу подстановкой у’ = р(у), где р = р(у) рассматривается как новая неизвестная функция, а у принимается за независимую переменную.

В этом случае все производные , к = 1,2, — , п, надо выразить через производные от функции р по у : Мы видим, что любая производная ^, к = 1,2. п, выражается через производные от р по у порядка не выше к-1, что приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Пример 3. Проинтегрировать уравнение Положим . тогда и данное уравнение принимает вид Сокращая на , и разделяя переменные, найдем Всегда следует посмотреть, не является ли левая часть данного уравнения полным дифференциалом некоторого выражения.

Так, уравнение (*) можно переписать в виде откуда находим: Часто встречающееся уравнение можно легко проинтегрировать в квадратурах, если умножить обе его части на у’ (проделайте это!). Замечание 1. Рассмотрим уравнение второго порядка линейное относительно искомой функции у(х) и ее производных у’ и у». Положим где и(х), v(x) — новые функции, из которых одну мы можем выбирать произвольно.

Подставляя у(х) в форме (5) в исходное уравнение (4), для функции и(х) получаем уравнение Если известно одно решение yi(x) £ 0 исходного уравнения (4), то можно взять v = yi(x).

В уравнении (6) тогда исчезнет слагаемое, содержащее функцию и(х) (если , то так как, по предположению, yi (х) — решение уравнения (4)). Уравнение (6) примет тогда вид и легко интегрируется. В результате мы найдем обшее решение исходного уравнения (4). Если положить то в уравнении (6) исчезнет слагаемое с первой производной, и уравнение примет вид Такое преобразование полезно для качественного анализа уравнения и при использовании приближенных методов решения.

Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение Бесселя числовой параметр, (8) (его решения — функции Бесселя — играют важную роль во многих задачах физики); представим его в виде Здесь , так что в силу (7) имеем Полагая . получаем для и(х) уравнение весьма удобное для изучения поведения функций Бесселя при больших значениях х. Замечание 2.

При решении задачи Коши для уравнений высших порядков бывает целесообразно определять значения постоянных С,- в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравнения. Это связано с тем, что интегрирование порой значительно упрощается, когда постоянные С, принимают конкретные числовые значения, в то время как при произвольных С,- интегрирование затруднительно, а то и вообще невозможно в элементарных функциях. Рассмотрим, например, следующую задачу Коши:

Полагая получаем откуда , или Разделяя переменные, найдем В правой части последнего равенства имеем интеграл от дифференциального бинома. Здесь m = 0, л = 4, р = -1, так что этот интеграл не выражается в виде конечной комбинации элементарных функций. Однако если использовать начальные условия, то С\ = 0. Это сразу дает откуда, учитывая начальные условия, находим Задача. Найти два решения задачи Коши для уравнения с начальными условиями .

Не противоречит ли этот факт теореме существования и единственности решения задачи Коши? §3. Линейные однородные дифференциальные уравнения п-го порядка Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и всех ее производных. Оно имеет вид — заданные на некотором интервале (а, (5) функции. Если д(х) = 0 на этом интервале, то уравнение называется линейным однородным, в противном случае уравнение называется неоднородным.

Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение Если Оо(ж) ф 0 на некотором интервале, то разделив все члены данного уравнения на коэффициент ао(ж), получим Если коэффициенты п, уравнения (1) непрерывны на отрезке [а, 6|, то правая часть уравнения (2) непрерывна по для любых значений и, кроме того, имеетчастные производные по у^, равные ограниченные на [а, 6]. Поэтому в силу теоремы 1 получаем: если коэффициенты п, уравнения (1) непрерывны на [а, Ъ], то, каковы бы ни были начальные условия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Задача Коши существование и единственности решения задачи Коши Уравнения высших порядков допускающие понижение порядка Линейные однородные Линейно зависимые и линейно независимые системы функций дифференциальные уравнения п-го порядка необходимое условие линейной зависимости определитель

Вронского Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее этим начальным условиям. Напомним следующее понятие. Говорят, что на множестве Е задан оператор Л со значениями в множестве F, если каждому элементу у 6 Е по некоторому закону поставлен в соответствие определенный элемент / = Лу 6 F. Множество Е называют областью определения оператора Л. Пусть Е — линейное пространство.

Оператор Л:

заданный на Еу называется линейным, если он аддитивен и однороден, где а — число. Представим линейное однородное уравнение (1) в виде Нетрудно видеть, что С есть линейный дифференциальный оператор, определенный на линейном пространстве функций у(ж), непрерывных на интервале (а, Ъ)% вместе со всеми производными до n-го порядка включительно.

Дифференциальный характер оператора очевиден. Покажем его линейность, т. е. что Как следствие получаем Установим некоторые свойства решений линейного однородного уравнения. Теорема 2. Если функция уо является решением линейного однородного дифференциального уравнения то функция Суо(х), где С — произвольная постоянная, тоже является решением этого уравнения.

По условию, Надо доказать, что Пользуясь свойством однородности оператора £[у], имеем Это означает, что функция Суо(х) есть решение уравнения Теорема 3. Если функции у\(х) и У2(х) являются решениями линейного однородного уравнения . Надо доказать, что Последнее сразу вытекает из свойства аддитивности оператора : Следспие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами решений линейного однородного дифференциального уравнения является решением того же уравнения.

Линейное однородное дифференциальное уравнение С[у\ = 0 всегда имеет тривиальное решение у = 0. Из теорем 2 и 3 получаем: совокупность решений линейного однородного дифференциального уравнения С[у\ = 0 образует линейное пространство, нулем которого является функция у = 0. Теорема 4. Если линейное однородное уравнение с действительными коэффициентами п, имеет комплексное решение то действительная часть этого решения и(х) и его мнимая часть v(x) в отдельности являются решениями того же однородного уравнения.

свойствами линейности оператора получаем Отсюда следует, что так как комплекснозначная функция действительного аргумента обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тождественно равны нулю. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций Пусть имеем систему функций . определенных на некотором интервале Определение.

Будем говорить, что система функций линейно зависима на интервале если существуют постоянные ап такие, что на этом интервале выполняется тождество по х: причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Если это тождество имеет место только при а, то семейство функций ) называется линейно независимым на интервале (а, Ь).

Рассмотрим примеры линейно зависимых и линейно независимых систем функций. 1. Функции линейно зависимы на любом интервале (а, Ь), так как имеет место, например, тождество 2. Функции линейно независимы на любом интервале (а, 6), так как тождество возможно лишь в случае, если 4 Если хоть одно из чисел а, было бы отлично от нуля, то в левой части тождества стоял бы многочлен степени не выше п, который может иметь не более п различных корней и. следовательно, обращается в нуль не более чем в п точках рассматриваемого интервала.

3. Функции , линейно независимы на любом интервале (а, Ь). Для простоты ограничимся случаем п = 3. Допустим, что функции являются линейно зависимыми. Тогда имеет место тождество причем хотя бы одно из Qj не равно нулю. Пусть для определенности aj Ф 0. Разделив тождество на ек,х и продифференцировав, получим тождество деля которое на и дифференцируя результат по х. найдем что невозможно, так как аз Ф 0 по предположению .

Значит, наше допущение неверно, и рассматриваемые функции являются линейно независимыми. Замечание. Линейная зависимость пары функций означает, что одна из функций получается из другой умножением на постоянную: Вообще, если функции линейно зависимы на (а, 6), то по крайней мере одна из них сеть линейная комбинация остальных. Задача.

Показать, что если система функций линейно независима на интервале (а, Ь), то и любая подсистема этой системы функций также линейно независима на (а, 6). Теорема 5 (необходимое условие линейной зависимости функций). Если функции , имеющие производные до порядка п — 1 включительно, линейно зависимы на интервале (а, Ь), то на этом интервале определитель называемый определителем Вронского системы функций тождественно равен нулю: М Ограничимся случаем п = 3.

Пусть дважды дифференцируемые функции yi(x), У2(х), Уз(з) линейно зависимы на интервале (о, Ь). Значит, на (о, Ь) выполняется тождество причем не все числа a, (i = 1,2,3) равны нулю. Для определенности будем считать, что c*i Ф 0. Разрешим тождество относительно yi(s) и дважды продифференцируем его: Составим определитель Вронского системы функций Первый столбец определителя является линейной комбинацией двухдругих при любом х G (а, Ь).

Такой определитель, как известно, равен нулю; следовательно, Рассуждением от противного легко доказывается следующая теорема. Теорема 6. Если определитель Вронского W(x) системы п функций неравен тождественно нулю в некотором интервале (а, Ъ), то эти функции линейно независимы в этом интервале. или, с учетом формул (1) и (2), Для произвольной системы п — 1 раз дифференцируемых на (а, Ъ) функций теорема, обратная теореме 5, неверна. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример. Для функций (рис. 2) определитель Вронского на интервале (-1,1) тождественно равен нулю:

Однако, как легко видеть, функции на интервале (-1,1) линейно независимы. Заметим, что в интервалах (-1,0) и (0,1) функции уже линейно зависимы. Можно несколько обобщить рассмотренный пример, взяв систему функций Эти функции линейно независимы в любом интервале, содержащем внутри себя точку х = 0, а вместе с тем их определитель Вронского тождественно равен нулю.

При этом, скажем, функция ^(х) имеет всюду непрерывные производные, до порядка m — 1 включительно, и лишь производная т-со порядка терпит разрыв с конечным скачком в точке х = 0. Выбирая m достаточно большим, получаем систему функций, обладающих непрерывными производными любого нужного порядка. Задана. Что можно сказать об определителе Вронского системы функций если только известно, что эти функции а) линейно зависимы; б) линейно независимы?

Теорема 7 (необходимое условие линейной независимости решений). Если линейно независимые на интервале (а, Ь) функции являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на [а, Ь\ коэффициентами р*(х), то определитель Вронского этой системы решений не может обратиться в нуль ни в одной точке интервала (а, 6). м

Ограничимся рассмотрением случая п = 3. Допустим, что в некоторой точке хо € (a, b) определитель Вронского равен нулю: Составим систему трех линейных однородных алгебраических уравнений относительно Определитель этой системы W(xq) в силу допущения равен нулю, поэтому система имеет ненулевое решение по крайней мере одно из чисел а, отлично от нуля. Рассмотрим функцию Она является линейной комбинацией решений уравнения (3), и, значит, сама есть решение этого уравнения.

Это решение в силу уравнений (4) удовлетворяет нулевым начальным условиям Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение у = 0 уравнения (3) и, по теореме о единственности решения, только это решение. Следовательно, причем хотя бы одно из oti отлично от нуля. Таким образом, решения оказываются вопреки условию теоремы линейно зависимыми.

Противоречие возникло в связи с допущением, что W(x) обращается в нуль в точке хо € (в, Ь). Значит, наше допущение неверно, и W(x) Ф 0 всюду в интервале (а, Ъ). Из теорем 5 и 7 как следствие получаем следующую важную теорему. Теорема 8. Для того, чтобы частные решения линейного однородного дифференциального уравнения (3) с непрерывными на отрезке [а, 6] коэффициентами были линейно независимыми на интервале (а, 6), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского W(x) системы решений был отличен от нуля.

4 Необходимость условия прямо следует из теоремы 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Задача Коши существование и единственности решения задачи Коши Уравнения высших порядков допускающие понижение порядка Линейные однородные Линейно зависимые и линейно независимые системы функций дифференциальные уравнения п-го порядка необходимое условие линейной зависимости определитель Вронского Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.

Задача. Показать, что два линейно независимых решения уравнения с непрерывными на отрезке [а, 6] коэффициентами не могут обращаться в нуль при одном и том же значении х0 €(о,6). §5. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения Теорема 9 (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения).

Общим решением в области , линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на отрезке коэффициентами , является линейная комбинация п линейно независимых на интервале (а, Ь) частных решений этого уравнения (С,, С2. ,Сп — произвольные постоянные). Будем исходить из определения общего решения и просто проверим, что семейство функций 1 удовлетворяет условиям 1), 2) этого определения.

Функция у(ж), определенная формулой (2), является решением дифференциального уравнения (1) при любых значениях постоянных Это следует из того, что, как было установлено выше, любая линейная комбинация частных решений линейного однородного уравнения есть снова решение этого уравнения. Для уравнения (1) при х 6 [а, Ь] выполнены условия теоремй 1 существования и единственности решения задачи Коши; поэтому остается показать, что постоянные C|, С2>. С„ всегда можно подобрать так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия Ограничимся случаем, когда п = 3.

Потребовав, чтобы решение удовлетворяло поставленным начальным условиям, получим систему трех линейных алгебраических уравнений относительно Определитель этой системы есть определитель Вронского W(x0) линейно независимой системы решений однородного уравнения (1), и, следовательно, отличен от нуля при любом х € (а, 6), в частности при х = xq. Поэтому система уравнений (3) однозначно разрешима относительно Сь C2i С3 при любом хо € (а, Ь) и при любых правых частях, т. е. при любых . А это и означает возможность выбора таких значений , чтобы частное решение удовлетворяло поставленным начальным условиям, каковы бы они ни были.

Из теоремы 9 следует, что если известно п линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то всякое другое решение этого уравнения представляется в виде линейной комбинации этих частных решений и, значит, линейно зависимо с ними. Отсюда вытекает, что максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку.

Таким образом, совокупность решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство, размерность которого равна порядку дифференциального уравнения. Введем понятие фундаментальной системы решений. Определение. Совокупность любых п линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка называется его фундаментальной системой решений.

Теорема 10. У каждого линейного однородного уравнения (1) с непрерывными коэффициентами Рк(х) существует фундаментальная система решений (и даже бесконечное множество фундаментальных систем решений). В самом деле, рассмотрим, например, однородное уравнение второго порядка с непрерывными на отрезке [а, 6] коэффициентами. Пусть . По теореме 1 уравнение (4) имеет решения удовлетворяющие при х = xq начальным условиям.

Определитель Вронского в точке xq системы решений (5) отличен от нуля, Следовательно, система решений (5) для уравнения (4) фундаментальна. Выбор начальных условий (5′) обеспечил построение одной фундаментальной системы. За начальные данные в точке хо можно взять любую систему чисел: лишь бы определитель Вронского был отличен от нуля. Очевидно, таких систем чисел можно подобрать бесконечно много и построить бесконечно много фундаментальных систем решений для уравнения (4).>

Задана. Составить общее решение уравнения если известно ненулевое частное решение у\(х) этого уравнения. Теорема 11. Если два уравнения вида непрерывны на отрезке [а, Ь), имеют общую фундаментальную систему решений то эти уравнения совпадают, на отрезке [а, Ь\. Таким образом, фундаментальная система решений вполне определяет линейное однородное уравнение (1), т.е. полностью определяет коэффициенты , этого уравнения.

Следовательно, можно поставить задачу о нахождении уравнения вида (1), имеющего заданную фундаментальную систему решений Представим дифференциальное уравнениес левой частью в виде определителя: где у(х) — искомая функция, — заданная фундаментальная система решений. Уравнение (6) имеет в качестве решений функции так как при подстановке вместо у(х) каждой из этих п функций два столбца определителя становятся тождественно равными и определитель обращается в нуль тождественно по х 6 (а, 6).

Разлагая определитель по элементам последнего столбца, получаем из (6) уравнение вида определитель Вронского системы функций Определитель Вронского W(x) фундаментальной системы решений отличен от нуля во всем интервале (а, Ь). Разделив все члены уравнения приведем это уравнение к виду (1): где, в частности, Можно показать, что если элементы а1; определителя Д п-го порядка есть дифференцируемые функции аргумента х: то производная определителя равна сумме п определителей:

где — определитель, получающийся изданного заменой элементов его fc-ой строки производными от этих элементов. Например, для определителя Вронского системы функций Нетрудно проверить, что Ж|(ж) = ; следовательно, Интегрируя последнее равенство по х от хо до х, получим формулу Остроградского— Лиувилля:

Задача. Составить линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее решения Показать, что функции х, х2 линейно независимы на интервале (-оо, +оо). Убедиться в том, что определитель Вронского для этих функций равен нулю в точке х = 0. Почему это не противоречит необходимому условию линейной независимости системы решений линейного однородного дифференциального уравнения?

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.