Дифференциальное уравнение решение с помощью степенного ряда

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Основные понятия

Определение.Уравнение вида

связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С1,С2,…,Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у’, у»,…, у(n) уравнение (*) в тождество.

Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y’+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида y»+ρy’+qy=f(x), где ρ и q – вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:

у которого правая часть f(x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.

называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).

Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К1 и К2.

Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D=ρ2–4q уравнения (2) следующим образом:

1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К1≠К2), и общее решение имеет вид .

2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К1=К2=К), и общее решение имеет вид:

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

5) Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Определение числового ряда.

Сходимость ряда.

Бесконечным числовым рядом называется выражение u1+u2+. +un+. , (1)

содержащее неограниченное число членов, где

u1 , u2 , u3 , . , un , .

— бесконечная числовая последовательность; un называется общим членом ряда.

Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : [1].

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда.

9,10) Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Особенно часто и эффективно степенные ряды используются для точного и приближенного решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. Не вдаваясь в сложные теоретические обоснования, рассмотрим дифференциальное уравнение Бесселя

x2y» + xy’ + (x2 — n2)y = 0,

где n — постоянная (необязательно целая), x — независимая переменная, а y = y(x) — искомая функция. Решения этого уравнения, называемые функциями Бесселя, нашли применение практически во всех областях современного естествознания.

Будем искать y в виде обобщенного степенного ряда

где p, ak — неизвестные постоянные, причем a0 ? 0. Дифференцируя этот ряд дважды под знаком суммы, подставим выражения функции y и ее производных y’, y» в уравнение (7). Затем сделаем приведение подобных членов, и коэффициенты полученного ряда приравняем нулю. После этого получим бесконечную систему уравнений

ak[(p + k)2 — n2] + ak — 2 = 0, k = 2, 3, 4, _,

p = ? n, a1 = a3 = a5 = _ = 0,

В случае нецелого n функции y1(x) и y2(x), соответствующие значениям p = n и p = — n, являются линейно-независимыми и любое другое решение дифференциального уравнения (7) имеет вид y = c1y1(x) + + c2y2(x), где c1 , c2 — постоянные. В случае целого n эти функции отличаются друг от друга только постоянным множителем, поэтому определяют лишь одно из двух линейно-независимых решений дифференциального уравнения.

14)

Дискретной случайной величинойназывается такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

Дифференциальных уравнений степенными рядами

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

При решении дифференциальных уравнений степенными рядами каждый полученный ряд является только элементом искомого решения, определенным в его области сходимости. Область сходимости степенного ряда есть круг, на границе которого должна находиться по крайней мере одна особая точка решения исходного дифференциального уравнения. Поэтому для того, чтобы распространить полученные результаты на всю комплексную область, прежде всего надо провести исследования поведения решений в окрестности полюса и существенно особой точки, которые на практике встречаются наиболее часто. Однако, этот процесс при реализации его в ручную довольно трудоемкий. В связи с этим появляется возможность запрограммировать данную задачу и сравнить полученный результат с уже проведенными вычислениями. Попытка именно этого и предпринята в данной дипломной работе.

1. Вводные замечания

1.1 Степенные ряды. Радиус сходимости

Наиболее простыми будут ряды, сходящиеся не только абсолютно, но и равномерно. К таким рядам относятся и степенные, чем и обусловлено то особо важное значение, которое они имеют в самых различных областях математики и ее приложениях.

Определение. Степенным рядом (точнее, целым степенным) называется бесконечный ряд вида

(1.1)

где с _k и z ₀ — заданные комплексные числа, не зависящие от z. Число z ₀ для краткости называют центром ряда. В частности, может быть z ₀ = 0.

Выясним прежде всего область сходимости степенного ряда, для чего докажем следующую теорему.

Первая теорема Абеля (1826).

Если степенной ряд

сходится в некоторой точке z=z ₁ , то он сходится, и притом абсолютно и равномерно, во всяком круге с центром z ₀ и радиусом  ₀ |, т.е. радиусом, меньшим, чем расстояние от z ₁ до z ₀ (рис. 1).

Переходя к доказательству теоремы, предположим, что z — произвольная точка круга | z — z ₀ | р | z ₁ — z ₀ |, и представим n-й член ряда (1.1) в виде

Из сходимости ряда в точке z ₁ , которая имеет место по условию теоремы, вытекает, что

для всех n, где М — некоторое положительное число. Кроме того, в силу нашего предположения

Следовательно, для всех n

откуда и вытекает по признаку Вейерштрасса абсолютная и равномерная сходимость ряда внутри круга | z — z ₀ |  р z ₁ — z ₀ |, так как члены рассматриваемого ряда по модулю меньше членов убывающей геометрической прогрессии, составленной из положительных чисел.

В частности, ряд сходится абсолютно (но, вообще говоря, не равномерно) во всех точках круга | z — z ₀ | z ₁ — z ₀ |. Отсюда вытекает, что если степенной ряд расходится при некотором значений z = z ₁ то он расходится и при всяком значении z, для которого

Теорема, сформулированная выдающимся норвежским математиком Нильсом Генриком Абелем (1802-1829), играет в теории степенных рядов исключительно важную роль, и, в частности, из этой теоремы следует, что степенной ряд сходится в некотором круге, радиус которого будем обозначать через R, причем ряд сходится

и равномерно сходится в любом круге

На самом же круге | z — z ₀ | = R ряд может быть сходящимся или расходящимся, и установление этого факта требует дополнительных исследований, иногда очень сложных.

Радиус этого круга R называется радиусом сходимости степенного ряда, а сам круг — кругом его сходимости. Для определения радиуса сходимости R служит формула

(1.2)

где lim обозначает верхний предел.

Эта формула была получена Огюстом Луи Коши в 1821 г. и со всей строгостью доказана в 1893 г. Жаком Адамаром (1865-1963). Она называется формулой Коши — Адамара.

Радиус сходимости можно также определять по формуле, вытекающей из признака сходимости рядов Даламбера;

(1.3)

если только указанный предел существует.

В частности, R может равняться нулю (тогда сумма ряда сводится к его первому члену c ₀ ) или бесконечности (тогда ряд сходится во всей комплексной плоскости z).

На основании теорем о сумме ряда и доказанной равномерной сходимости степенного ряда внутри его круга сходимости вытекают весьма важные свойства степенных рядов, которые мы сформулируем в виде следующих теорем.

Теорема 1. Сумма степенного ряда есть непрерывная функция от z внутри круга сходимости ряда.

Этот результат дополняется второй теоремой Абеля (1826): если степенной ряд сходится в точке z окружности | z — z ₀ | = R, то его сумма s(z) есть функция, непрерывная в точке z ₁ самой окружности вдоль радиуса, идущего из центра z ₀ в точку z ₁ .

А. Прингсхейм доказал, что при условиях этой теоремы s(z) непрерывна в точке z ₁ вдоль любой линии, которая не касается окружности в точке z ₁ .

Теорема 2. Степенной ряд внутри круга его сходимости можно почленно интегрировать, и сумма полученного ряда будет представлять собой интеграл от суммы данного ряда:

(1.4)

Теорема 3. Степенной ряд внутри круга его сходимости можно почленно дифференцировать, и его сумма будет представлять собой производную от суммы данного степенного ряда:

(1.5)

Для того чтобы последнее свойство имело место, надо еще доказать, что ряд, полученный по членным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости R (в силу чего он также будет равномерно сходящимся рядом).

Пусть z — некоторая точка внутри круга сходимости и R — число, удовлетворяющее неравенству | z — z ₀ | R ₁ R . Так как ряд

сходится абсолютно, то существует такое положительное число М, что

при всех значениях n .

Тогда для модуля общего члена ряда, полученного дифференцированием, имеем:

т.е. модули членов ряда (1.5) меньше соответствующих членов сходящегося по признаку Даламбера ряда. Следовательно, ряд (1.5) сходится абсолютно во всех точках внутри круга сходимости исходного степенного ряда

Если | z — z ₀ | > R , то c _n ( z — z ₀ ) n , а благодаря этому и n c _n ( z — z ₀ ) n -1 не стремится к нулю и ряд расходится.

Таким образом, ряд (1.5) и ряд

имеют один и тот же круг сходимости.

Следствие 2 . Ряд

полученный почленным интегрированием степенного ряда

имеет тот же радиус сходимости R, что и исходный ряд.

Действительно, если бы это было не так, то, дифференцируя почленно ряд

мы бы получили исходный ряд

с радиусом сходимости R ₁  R , что противоречит теореме 3.

Следует, однако, отметить, что из факта равенства радиусов сходимости данного степенного ряда и рядов, полученных почленным дифференцированием или интегрированием, нельзя сделать никаких выводов относительно характера сходимости этих рядов и на самой границе области сходимости, т.е. на самой окружности | z — z ₀ | = R.

Так, например, ряд

расходится во всех точках границы | z | = 1, тогда как после интегрирования получается ряд

сходящийся при z = — 1. Действительно, при z = — 1 имеем:

радиус сходимости которого R= 1, абсолютно сходится во всех точках границы области сходимости | z | = 1, так как при | z |= 1

а ряд справа, как известно, сходящийся.

Продифференцировав же этот ряд, получим ряд

который на окружности | z | = 1 является расходящимся, по крайней мере в точке z = 1, как гармонический ряд

+ 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + …

Приведенные примеры также хорошо иллюстрируют сказанное ранее о поведении ряда на самой границе области сходимости. А именно, на контуре сходимости ряд может быть всюду сходящимся (но отнюдь не обязательно абсолютно или равномерно сходящимся) или всюду расходящимся, или может сходиться только в отдельных точках и расходиться в других точках.

Следствие 2 . Степенной ряд

в круге его сходимости | z — z ₀ | R можно дифференцировать (и интегрировать) произвольное число раз. В результате получим новые степенные ряды, которые будут иметь тот же самый радиус сходимости R, суммы которых будут равны последовательным производным (или интегралам от) суммы ряда s (z).

2. Ряды Лорана. Полюса и особые точки

Рассмотрим два ряда:

(2.1)

(2.2)

Область сходимости первого ряда (если она существует) определяется неравенством | z — a | r . Если существует область сходимости второго ряда, то она определяется неравенством |z — a |

полученного сложением рядов (2.1) и (2.2), областью сходимости служит кольцо r R , ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке а и радиусами r и R (рис. 2).

Пусть  (z) — однозначная и аналитическая функция в кольце r R . Эта функция в указанном кольце может быть представлена в виде суммы ряда:

 (z)=

Ряд в правой части равенства называется рядом Лорана функции  (z). Коэффициенты этого ряда можно вычислить по формуле:

Ряд (2.1) называется главной частью ряда Лорана, а ряд (2.2) — правильной частью ряда Лорана.

Если ряд Лорана содержит главную часть, то а называется изолированной особой точкой. Коэффициент А _-1 называется вычетом функции  (г) относительно изолированной особой точки z = a.

Особая точка называется устранимой, если функция  (г) — аналитическая в окрестности z = а и ограничена по модулю в этой окрестности, т.е. существует конечный предел

Особая точка называется полюсом функции  (г), если  (г) — аналитическая функция вблизи z = а и стремится к бесконечности при z  а.

Особая точка z = a называется существенно особой, если при z, близких к а, модуль |  (z) | не остается ограниченным, но функция не стремится к  при z  а, предел не существует.

Изолированная особая точка является:

устранимой, если главная часть разложения в ряд Лорана отсутствует. Например, для функции точка z = 0 служит устранимой особой точкой, так как

полюсом n — го порядка, если главная часть содержит конечное число членов, т.е. имеет вид

Например, для функции точка z = 0 есть полюс первого порядка, так как

существенно особой, если главная часть содержит бесконечное число членов. Например, функция в точке z = 0 имеет существенно особую точку, так как

Между нулем и полюсом функции существует следующая связь. Если z = а — нуль кратности k функции  (z), то z = а — полюс того же порядка функции 1/  (z); обратно, если z=b — полюс порядка k функции  ( z ), то z = b — нулъ той же кратности функции 1/  (z).

Следует заметить, что если то z = а — полюс k-го порядка функции  (z).

3. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. Задача Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения  -го порядка, разрешенного относительно старшей производной

; j = 0, 1, 2,…,  — 1. (3.2)

Будем искать формальное решение задачи (3.1) — (3.2) в виде степенного ряда

, (3.3)

так что в каждом конкретном случае необходимо дополнительно исследовать, может ли данная задача Коши быть решена при помощи ряда (3.3).

Обозначим k -ю степень ряда (3.3) соответственно

, k = 1, 2, 3,… (3.4)

и выведем рекуррентную формулу для вычисления введенных коэффициентов

Так как для произвольного k = l + m имеет место тождество,

то воспользовавшись формулой Коши для умножения степенных рядов

непосредственно получаем искомую рекуррентную формулу:

(3.5)

где l = 1, 2, 3,…; m = 1, 2, 3,…; n = 0, 1, 2, 3, …

В частности, при k = 1 ряд (1.4) тождественно совпадает с рядом (3.3), так что

; п =0.1, 2,…, (3.6)

и тогда при помощи формулы (3.5) легко определить коэффициенты а ( k ) _n для произвольной целой степени ряда y k через коэффициенты исходного ряда (3.3).

Для удобства выкладок представим производные у’, у»,… в виде таких рядов

(3.7)

где введены обозначения

(3.8)

В таком случае и все степени от производных у’, у»,… легко выразить рядами

(3.9)

определим при помощи формулы (3.5), если в этой формуле a _n заменим соответственно на

Если мы теперь подставим ряды (3.3), (3.4), (3.7), (3.9) в исходное уравнение (1.1) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ( x — x ₀ ) то после соответствующих упрощений, получим рекуррентную формулу вида:

(3.10)

где функция F полностью определяется заданной функцией  (х, у, у’,…, y ( v -1) ), а первые v коэффициентов, согласно начальным условиям (3.2), будут такими:

(3.11)

В том случае, когда существует предел

радиус сходимости ряда (3.3) можно определить численно, если вычислить достаточное количество членов последовательности

(3.12)

до такого значения n включительно, начиная с которого будет иметь место равенство

(3.13)

с необходимой для данной задачи точностью.

В отдельных частных случаях радиус сходимости ряда (3.3) можно найти, исходя из самой рекуррентной формулы (3.10).

Рассматриваемый метод позволяет также построить аналитическое продолжение ряда (3.3) и выявить особые точки найденного решения. Для этого в любой точке х ₁ , где [x ₁ — x ₀ ] R , вычисляем при помощи ряда (3.3) новые начальные значения

(3.14)

и, подставив их в ту же самую рекуррентную формулу (3.10), находим коэффициенты а* _n нового ряда

который, согласно известной теореме об аналитическом продолжении решений дифференциального уравнения, и есть аналитическое продолжение ряда (3.13).

Особые точки решения находим как точки пересечения двух или трех окружностей сходимости соответствующих аналитических продолжений. Если найденная особая точка есть полюс, то его легко выделить, перестроив соответствующим образом ряд (3.13).

Все полученные результаты имеют место также и в комплексной области.

Для пояснения методики вычислений рассмотрим пример.

Пример. Решим с семью десятичными знаками на сегменте [-1; +1] задачу Коши для нелинейного уравнения третьего порядка:

y ’’’=2 y ’+ y 3 —  ( x );  (х)= sh ( x ) (1/ x ). (3.16)

при следующих начальных условиях:

Решение. Подставив в исходное уравнение (3.16) ряды (3.13), (3.14), (3.17) при x ₀ = 0, k = 3, в результате сравнения коэффициентов при х n имеем:

(3.18)

 _n есть коэффициенты ряда Маклорена для заданной функции

в данном случае

Заменив теперь по формуле (3.8)

и учтя, что согласно начальным условиям (3.17)

находим из (3.18) рекуррентную формулу (3.10) для уравнения (3.16);

(3.19)

Коэффициенты a * _n вычисляем по формуле (1.8), а коэффициенты а _n (3) — по формуле (1.5), в которой надо вначале положить l=m= 1, а затем l = 1, т = 2, в результате чего получим

Все вычисления (с одним запасным знаком) приведены в табл. 1, и окончательным решением будет ряд

Согласно (3.13), радиус сходимости полученного ряда

так что при п = 15 заданная точность для |x|  1 будет выполнена.

Методика вычислений по формулам (3.20) — (3.20′) очень проста.

По известным а ₀ , а ₁ , а ₂ вычисляем а* ₁ =а ₁ и а* ₂ =а ₂ , а также а ₀ (2) , а ₁ (2) , а ₂ (2) , после чего, перемножив столбец а _n на столбец а _n (2) , находим соответствующий коэффициент а _n (3) .В результате получаем все необходимые данные для вычисления по рекуррентной формуле (1.19) а ₃ и а ₄ , что позволяет продолжить дальше этот процесс и определить любое количество коэффициентов а _n искомого ряда (3.21).

Для удобства ориентировки каждый из сомножителей, который используется в данный момент, отмечаем какими-либо марками. Столбец а _n (2) вычисляем, умножив столбец а _n сам на себя. Например, _n (2) = 1.00000000 * 0,25000000 + (1.00000000) 2 + 0,25000000 *1,00000000 = 1,50000000.

a _n (3) = 1,00000000 * 1,50000000 + 1,00000000 * 2,00000000 + 0,25000000 * 1,00000000 = =3,75000000.

Ход дальнейших вычислений ясен из табл. 1, в которой все величины, необходимые для определения очередного а _n _+3, размещены в одной строке.

Для того чтобы точнее определить радиус сходимости R , вычисления надо вести с большим числом значащих цифр, и если мы это выполним, то получим, например,

a ₁₂ =5,7341*10 -6 ; a ₁₃ =1,8765*10 -6 ;… по которым в табл. 1 найдены соответствующие а _n / a _n ₊₁

4 . Уравнение Риккати

Уравнение Риккати (1676-1754) — одно из простейших нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка.

4.1 Общее дифференциальное уравнение Риккати

y’=P(x) y 2 + Q(x) y+R(x) (4.1)

за исключением некоторых частных случаев, не сводится к квадратурам и не может быть выражено в конечном виде через элементарные функции (Лиувилль).

Для четырех частных решений этого уравнения y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ двойное отношение постоянно:

Поэтому, если известны три частных решения y ₁ , y ₂ , y ₃ , то получаем общее решение

с произвольной постоянной С. Если известны лишь два решения y ₁ и y ₂ , то будем иметь:

(4.3)

Располагая только одним известным частным решением y ₁ , при помощи подстановки

уравнение Риккати можно привести к линейному уравнению:

y = — u ’/[ P ( x ) u ] (4.6)

уравнение (4.1) можно свести к однородному линейному уравнению второго порядка:

(4.7)

Если положить y =1/ z , (4.8)

то для z получим снова уравнение Риккати

z’= — [P(x) z 2 + Q(x) z+R(x)] (4.9)

нули которого будут являться полюсами исходного уравнения (4.1) и наоборот.

(4.10)

общее уравнение Риккати (4.1) можно привести к канонической форме:

(4.11)

, (4.12)

а функция  (х) определяется из условия: P ’+2 P 2  + PQ =0

т.е. (4.13)

5. Исследование решений в окрестности полюса и существенно особой точки

лоран дифференциальный рикатти уравнение

При решении дифференциальных уравнений степенными рядами каждый полученный ряд является только элементом искомого решения, определенным в его области сходимости. Область сходимости степенного ряда есть круг, на границе которого должна находиться по крайней мере одна особая точка решения исходного дифференциального уравнения. Поэтому для того, чтобы распространить полученные результаты на всю комплексную область, нам прежде всего надо найти ‘методику исследования поведения решений в окрестности полюса и существенно особой точки, которые на практике встречаются наиболее часто. С этой целью обратимся к характерному примеру, рассматривая при этом искомую функцию  = и +i v и аргумент z =x+iy как комплексные величины.

Пример . Определим все полюсы решения задачи Коши для уравнения Риккати

(5.1)

Решение . Представим исходное уравнение в виде:

(5.2)

Тогда для определения коэффициентов его решения

(5.3)

рекуррентная формула будет иметь следующий вид:

(5.4)

Значение коэффициентов  _n для заданной функции

находим, представив ее в виде ряда с тем же центром z ₀ = 0.

При n= 0 мы должны положить

и тогда, согласно формулам (5.4), находим

Вычисление остальных коэффициентов a* _n и a _n до (n = 12 включительно) ясно из табл. 2, в которой приведены все необходимые данные. При этом вначале по известным уже а _n вычисляем a _n (2) =[ a _n a _n ] и

a * _n ₊₁ , после чего, разделив найденное a* _n ₊₁ на его номер, определяем a _n ₊₁

Проанализировав результаты, видим, что все нечетные коэффициенты

а все четные с ростом n стремятся к +1. Поэтому из решения (5.3) целесообразно вычесть ряд

/(1+ z )=1- z + z 2 — z 3 + …

в результате чего получим

(5.5)

где коэффициенты b _п определяются по формуле

и их значения приведены в последней колонке табл. 2

(5.6)

Подставив это значение в (5.1), после несложных преобразований убеждаемся, что оно удовлетворяет и самому дифференциальному уравнению, и начальному условию  (0)=3/2.

Таким образом, искомое решение имеет три полюса

благодаря чему радиус сходимости ряда (5.3) есть единица.

Формула (5.6), которую мы получили, исходя из ряда (5.3) полностью решает поставленную задачу. Однако просуммировать в явном виде полученный ряд удается лишь в простейших случаях, редко встречающихся на практике. Поэтому решим поставленную задачу, не прибегая к процессу суммирования ряда (5.3), а воспользовавшись его аналитическим продолжением и, кроме того, при помощи перехода к инверсной функции, что можно выполнить в случае любого получаемого ряда, суммируемого в явном виде или не суммируемого.

Ряд (5.3) является только элементом решения уравнения (5.1), определенным в круге с центром z ₀ = 0 и проходящим через ближайшую к z ₀ особую точку z= — 1. Но этот элемент мы можем аналитически продолжить на полную область его определения, которой чаще всего является вся комплексная область, за исключением сколь угодно малых окрестностей изолированных особых точек. (Могут встретиться и такие случаи, когда окружность сходимости исходного элемента состоит из всюду плотного множества особых точек, так что исходный ряд за нее нельзя аналитически продолжить, но мы такие исключительные случаи рассматривать не будем.)

Для того чтобы аналитически продолжить исходный элемент (5.3), необходимо только вычислить для нового центра z ₀ значение функции  ₀ =  ( z ₀ ) и в случае необходимости перестроить рекуррентную формулу (5.4). В качестве нового центра z ₀ можно, вообще говоря, взять любую точку комплексной плоскости, лежащую внутри круга сходимости исходного ряда (5.3). Однако не любой выбранный центр z ₀ будет приводить к расширению круга сходимости исходного ряда, так что мы должны предварительно испытать ряд проб и найти такую последовательность центров z ₀ ( I ) , z ₀ ( II ) , z ₀ ( III ) , которая ведет к поставленной цели.

В качестве первой пробы возьмём z ₀ = z ₀ (1) =+

Тогда, выполнив в уравнении (5.2) замену независимой переменной

z = t + z ₀ (1) = t + ;

(5.7)

приходим к уравнению

2 ,

или после очевидных преобразований

, (5.8)

Следовательно, коэффициенты a _n = a _n * ряда I

(5.9)

будут определяться рекуррентной формулой

(5.10)

В табл. 3 по формулам (5.10) вычислены с семью десятичными знаками 17 коэффициентов а _n = а _n * ряда I. Значение a * ₀ = 1,1111111…, без знания которого нельзя начать рекуррентный процесс (5.10), мы определили при помощи исходного ряда (5.3)

положив в нем z=z ₀ ( I ) =1/2. При этом для обеспечения требуемой точности выполненное в табл. 2 вычисление коэффициентов а _n надо продолжить до n = 24. Для контроля найденных коэффициентов a _n * ряда I определяем  ( t ) при t= — 0,5, т.е. при z = t + 0,5 =0, и в результате получаем

что в пределах точности вычислений полностью совпадает с исходным начальным значением (5.1)

Вычислив с помощью ряда I по тем же коэффициентам a _n * значение  ( t ) при t= + 0,5, т.е. при

Z = t + 0,5 =1, получаем новое начальное значение

определяющее собой ряд II с центром z ₀ = z ₀ ( II ) = + 1:

(5.11)

который является аналитическим продолжением ряда I (рис. 3). Рекуррентная формула для определения коэффициентов a _n =a _n ** ряда II будет иметь следующий вид:

(5.12)

Действительно, произведя в (5.1) подстановку

(5.12)

Первые 16 коэффициентов a _n = a _n ** ряда II вычислены в табл. 4, а для контроля этих вычислений умножим найденные а _n ** на  _n для  = — 0.5, т.е. для z =  + 1 = 0.5, стоящие в тех же строках, и, просуммировав результаты, получаем

Что полностью совпадает с начальным значением  ( z ₀ ( I ) )= a ₀ * =1,1111111 ряда I.

Вычислив аналогичным путем

мы можем использовать этот результат для построения ряда III. Однако сходимость ряда II значительно лучше сходимости ряда I, в чем легко убедиться, проанализировав быстроту убывания коэффициентов a _n * и a _n ** , а также сравнив результаты, полученные в табл. 3 для t = 1 и  = 1 с соответствующими точными значениями. Поэтому мы можем с помощью ряда II вычислить (при п = 15 с пятью десятичными знаками) начальное значение

соответствующее центру z ₀ = z ₀ ( III ) = + 2, и построить затем ряд III, сходящийся еще быстрее.

Продолжая этот процесс, мы будем получать ряды, сходящиеся все быстрее и быстрее, так что, определив по формуле (3.12) § 3 радиусы сходимости для двух из них, найдем затем полюсы z = , как точки пересечения окружностей сходимостей этих рядов. Но это процесс довольно трудоемкий, а потому более целесообразно перейти к инверсной функции.

( 5.14)

нули которой будут являться полюсами исследуемой функции  (и наоборот).

Переход к инверсной функции проще всего осуществить при помощи подстановки

(5.15)

Тогда из (5.1) получаем уравнение

или, умножив обе части на (1 + z )  2 и поменяв знаки,

(5.16)

Решение этого уравнения ищем в виде ряда

(5.17)

и для коэффициентов  _n получаем рекуррентную формулу

(5.18)

 ₀ =1/ a ₀ =2/3;  ₀ =0;  ₁ =2;  ₂ =4;  ₃ =2;  _n =0 при n  4Нули функции  находим, определяя корни уравнения по формуле Ньютона

(5.19) При этом производную  (z) находим, пользуясь коэффициентами  * _n которые были уже вычислены в процессе определения коэффициентов  _n по формуле (5.18).

В табл. 5 вычислены первые 24 коэффициента  _n по которым затем, исходя из нулевого приближения z ₀ (0) =-0,8, после двух уточнений по формуле Ньютона находим один из нулей z ₂ (0) = — 1,00001 инверсной функции  ( z ). Выполнив еще один шаг, получаем

z (0) = z ₃ (0) = — 1,000000.

Следовательно, одним из полюсов исследуемой функции  =1/  ( z ) будет точка z = — 1,000000.

Выделив этот полюс из исходного ряда (5.3), аналогичным путем определяем два других полюса, на чем и заканчиваем решение поставленной задачи.

Коэффициенты  _n для инверсной функции можно также непосредственно найти по коэффициентам исходного ряда (5.3), так как, согласно (5.14), имеем

(5.20)

Тогда, представив единицу в следующем виде:

при n  2

И воспользовавшись формулами:

где a _n — коэффициенты исходного ряда (5.3).

Исследование решений дифференциальных уравнений в окрестности полюсов и особых точек

ФОРМА — ЗАСТАВКА Sub Command1_Click()SubSub Command2_Click(). Visible = False. Visible = TrueSubSub Ex_Click()SubSub Form_Load(). Visible = TrueSubSub prog_Click(). Visible = False. Visible = TrueSub

ФОРМА — ВВОД ЗНАЧЕНИЙ Sub Command1_Click()Text1 = «0» Or Text1 = «» Or Text2 = «» Or Text3 = «» Or Text4 = «» Or Text5 = «» Or Text6 = «» Then

Beep. Caption = «Введите все коэффициенты, первый не должен равняться 0»

ElseIf Text1 = «0» Or Text1 = «» Or Text2 = «» Or Text3 = «» Or Text4 = «» Or Text5 = «» Or Text6 = «» Then

Beep. Caption = «Введите все коэффициенты, первый не должен равняться 0»

Else= Text1= Text2= Text3= Text4= Text5= Text6= 0. Caption = «». Visible = False. Visible = TrueIfSub

ФОРМА — ИНФОРМАЦИЯnum As Integer

Dim num2 As Integernum1 As Integerds1 As Doubleds2 As DoubleSub Command1_Click(). Visible = False. Visible = TrueSubSub Command4_Click(). Visible = False. Visible = TrueSubSub Command5_Click(). Visible = False. Visible = TrueSubSub Form_Load(). Visible = True. Visible = Falsek1 = 0 Then k1 = 1. ColAlignment(0) = 3. ColAlignment(4) = 3. ColAlignment(1) = 3. ColAlignment(2) = 3. ColAlignment(3) = 3. ColWidth(0) = 500. ColWidth(4) = 1300. ColWidth(2) = 1300. ColWidth(3) = 1300. ColWidth(1) = 1300(-2) = 0(-1) = 0(0) = w0(0) = -1(-2) = 0(-1) = 0(0) = 0i% = 0 To 25i > 0 And i / 2 = Int (i / 2) Then ny(i) = 1 Else ny(i) = -1j% = 0 To i(i) = a2 (i) + a(j) * a (i — j)j(i + 1) = (k5 * a (i — 1) + (k4 * a2 (i — 1) + k3 * a2 (i — 2)) — k2 * at(i) + ny(i)) / k1(i + 1) = at (i + 1) / (i + 1)i / 2 = Int (i / 2) Then wan% = 1 Else wan = -1(i) = a(i) — wanii = 1 To num + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = a (i — 1). TextMatrix (i, 2) = a2 (i — 1). TextMatrix (i, 3) = at (i — 1). TextMatrix (i, 4) = ny (i — 1)iSubSub Command2_Click()SubSub HS1_Change()= HS1. Valuenum1 > num Theni = num + 1 To num1 + 1. TextMatrix (i, 0) = «». TextMatrix (i, 1) = «». TextMatrix (i, 2) = «». TextMatrix (i, 3) = «». TextMatrix (i, 4) = «»iIf. Caption = num. Caption = « Нажмите обновить >»= numSubSub Command3_Click(). Caption = «»(0) = w0i% = 0 To 50i > 0 And i / 2 = Int (i / 2) Then ny(i) = 1 Else ny(i) = -1(i) = 0j% = 0 To i(i) = a2 (i) + a(j) * a (i — j)j(i + 1) = (k5 * a (i — 1) + (k4 * a2 (i — 1) + k3 * a2 (i — 2)) — k2 * at(i) + ny(i)) / k1(i + 1) = at (i + 1) / (i + 1)i / 2 = Int (i / 2) Then wan% = 1 Else wan = -1(i) = a(i) — wanii = 0 To 25j = 1 To 10= Format (a(i) / a (i + j), «0.000»)= Format (a(i + j) / a (i + 2 * j), «0.000»)ds1 = «Нажмите »Sub

ФОРМА — ИНФОРМАЦИЯ О ПРОГРАММЕ

Private Sub Command1_Click(). Visible = True. Visible = FalseSubSub Form_Load(). Caption = «Данный программный продукт составил студент КнАГТУ группы 6ПМ-1 Давыдов Андрей Анатольевич. Программа позволяет решить дифференциальное уравнение, а также исследовать полученные полюса и особенно существенные точки»

ФОРМА — ВЫБОР МЕТОДА Sub Command1_Click()Option1. Value = True Then. Visible = True. Visible = FalseOption1. Value = True Then. Visible = True. Visible = FalseIfOption2. Value = True And Text1 <> «» Then. Visible = True= Text1= «». Value = True= «»= «»= «». Label6. Caption = z1. Visible = FalseOption2. Value = True And Text1 = «» Then

Beep= «Необходимо ввести z1»

ElseIfSubSub Option1_Click()= «»= «»= «»= «»SubSub Option2_Click()= « Введите значение z1= (

ФОРМА — ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЮСОВ

Dim num As Integer

Dim num2 As Integernum15 As Integersum As Doubleds1 As Doubleds2 As Doubleds3 As DoubleSub Command3_Click()SubSub Command4_Click()Text1 = «» Then= « Необходимо ввести радиус »Text1 = «» Then

Beep= «Необходимо ввести радиус»

Else= Text1= «». Label3 = z1 — radius2. Label4 = z1 + radius2. Visible = False. Visible = TrueIfSubSub Command5_Click(). Visible = False. Visible = TrueSubSub Form_Load(). ColAlignment(0) = 3. ColAlignment(4) = 3. ColAlignment(1) = 3. ColAlignment(2) = 3. ColAlignment(3) = 3. ColWidth(0) = 300. ColWidth(4) = 1600. ColWidth(2) = 1300. ColWidth(3) = 1300. ColWidth(1) = 1300i% = 0 To 24n(i) = 1j% = 0 To ij = 0 Then z1n(i) = 1 Else z1n(i) = z1n(i) * z1j= sum + z1n(i) * a(i)i(-2) = 0(-1) = 0(0) = sum(0) = -2 + 1 / (1 + z1)(1) = — (1 / ((1 + z1) * (1 + z1)))(-2) = 0(-1) = 0(0) = 0i = 0 To 25i > 1 Then ny1 (i) = 0i > 1 Then ny1 (i) = — (1 / (1 + z1)) * ny1 (i — 1)(i) = 0j = 0 To i(i) = a21 (i) + a1 (j) * a1 (i — j)j(i + 1) = (k5 * a1 (i — 1) + k5 * z1 * a1 (i) + k3 * a21 (i — 2) + (2 * k3 * z1 + k4) * a21 (i — 1) + (k4 * z1 + k3 * z1 * z1) * a21 (i) — k1 * at1 (i) + ny1 (i)) / (k1 + k1 * z1)(i + 1) = at1 (i + 1) / (i + 1)n(i) = 1ii = 1 To num15 + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a1 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 2) = Format (a21 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 3) = Format (at1 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny1 (i — 1), «0.0»)iSubSub Command1_Click(). Visible = False. Visible = TrueSubSub HS1_Change()= HS1. Valuenum15 > num Theni = num + 1 To num15 + 1. TextMatrix (i, 0) = «». TextMatrix (i, 1) = «». TextMatrix (i, 2) = «». TextMatrix (i, 3) = «». TextMatrix (i, 4) = «»iIf. Caption = num. Caption = « Нажмите обновить >»= numSubSub Command2_Click(). Caption = «»= 0i% = 0 To 24n(i) = 1j% = 0 To ij = 0 Then z1n(i) = 1 Else z1n(i) = z1n(i) * z1j= sum + z1n(i) * a(i)i(0) = sum(0) = -2 + 1 / (1 + z1)(1) = — (1 / ((1 + z1) * (1 + z1)))i% = 0 To 50i > 1 Then ny1 (i) = 0i > 1 Then ny1 (i) = — (1 / (1 + z1)) * ny1 (i — 1)(i) = 0j% = 0 To i(i) = a21 (i) + a1 (j) * a1 (i — j)j(i + 1) = (k5 * a1 (i — 1) + k5 * z1 * a1 (i) + k3 * a21 (i — 2) + (2 * k3 * z1 + k4) * a21 (i — 1) + (k4 * z1 + k3 * z1 * z1) * a21 (i) — k1 * at1 (i) + ny1 (i)) / (k1 + k1 * z1)(i + 1) = at1 (i + 1) / (i + 1)n(i) = 1j = 0 To ij = 0 Then z1n(i) = 1 Else z1n(i) = z1n(i) * z1ji. Caption = z1num2 = 0 Then num2 = 1Case num21i = 1 To num + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a1 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 2) = Format (a21 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 3) = Format (at1 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny1 (i — 1), «0.0»)i2i = 1 To num + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a1 (i — 1), «0.00»). TextMatrix (i, 2) = Format (a21 (i — 1), «0.00»). TextMatrix (i, 3) = Format (at1 (i — 1), «0.00»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny1 (i — 1), «0.00»)i3i = 1 To num + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a1 (i — 1), «0.000»). TextMatrix (i, 2) = Format (a21 (i — 1), «0.000»). TextMatrix (i, 3) = Format (at1 (i — 1), «0.000»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny1 (i — 1), «0.000»)i4i = 1 To num + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a1 (i — 1), «0.0000»). TextMatrix (i, 2) = Format (a21 (i — 1), «0.0000»). TextMatrix (i, 3) = Format (at1 (i — 1), «0.0000»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny1 (i — 1), «0.0000»)i5i = 1 To num + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a1 (i — 1), «0.00000»). TextMatrix (i, 2) = Format (a21 (i — 1), «0.00000»). TextMatrix (i, 3) = Format (at1 (i — 1), «0.00000»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny1 (i — 1), «0.00000»)i6i = 1 To num + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a1 (i — 1), «0.000000»). TextMatrix (i, 2) = Format (a21 (i — 1), «0.000000»). TextMatrix (i, 3) = Format (at1 (i — 1), «0.000000»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny1 (i — 1), «0.000000»)i7i = 1 To num + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a1 (i — 1), «0.0000000»). TextMatrix (i, 2) = Format (a21 (i — 1), «0.0000000»). TextMatrix (i, 3) = Format (at1 (i — 1), «0.0000000»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny1 (i — 1), «0.0000000»)i8i = 1 To num + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a1 (i — 1), «0.00000000»). TextMatrix (i, 2) = Format (a21 (i — 1), «0.00000000»). TextMatrix (i, 3) = Format (at1 (i — 1), «0.00000000»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny1 (i — 1), «0.00000000»)i9i = 1 To num + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a1 (i — 1), «0.000000000»). TextMatrix (i, 2) = Format (a21 (i — 1), «0.000000000»). TextMatrix (i, 3) = Format (at1 (i — 1), «0.000000000»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny1 (i — 1), «0.000000000»)i10i = 1 To num + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a1 (i — 1), «0.0000000000»). TextMatrix (i, 2) = Format (a21 (i — 1), «0.0000000000»). TextMatrix (i, 3) = Format (at1 (i — 1), «0.0000000000»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny1 (i — 1), «0.0000000000»)iSelectSubSub HS2_Change()= HS2. Value. Caption = num2. Caption = «Нажмите »Sub

ФОРМА — ВВОД ЗНАЧЕНИЯ z1Sub Command1_Click()Text1 = «» Then

Label 2. Caption = «Необходимо ввести значение z 2»

ElseIf Text1 = «» Then. Caption = «Необходимо ввести значение z 2»

Else= Text1= «». Label6 = z1. Label7 = z2. Visible = False. Visible = TrueIf Sub

ФОРМА — ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЮСОВ 2

Dim num As Integer

Dim num2 As Integernum15 As Integersum As Doubleds1 As Doubleds2 As Doubleds3 As DoubleSub Command1_Click(). Visible = False. Visible = TrueSubSub Command3_Click()SubSub Command4_Click()

If Text1 = «» Then= «Необходимо ввести радиус»Text1 = «» Then= «Необходимо ввести радиус»

Beep= Text1= «»= (radius2 * radius2 — radius1 * radius1 — z1 * z1) / (-2 * z1)(radius1 * radius1 — x1 * x1)

Label10 = «Введеные радиусы не корректны»

ElseIf (radius1 * radius1 — x1 * x1) >= 0 Then= Sqr (radius1 * radius1 — x1 * x1)= (radius3 * radius3 — radius2 * radius2 — z2 * z2 + z1 * z1) / (2 * (z1 — z2))(radius2 * radius2 — (x2 + z1) * (x2 + z1))

Label10 = «Введеные радиусы не корректны»

ElseIf (radius2 * radius2 — (x2 + z1) * (x2 + z1)) >= 0 Then= Sqr (radius2 * radius2 — (x2 + z1) * (x2 + z1))y2 1 Then ny2 (i) = — (1 / (1 + z2)) * ny2 (i — 1)(i) = 0j = 0 To i(i) = a22 (i) + a12 (j) * a12 (i — j)j(i + 1) = (k5 * a12 (i — 1) + k5 * z2 * a12 (i) + k3 * a22 (i — 2) + (2 * k3 * z2 + k4) * a22 (i — 1) + (k4 * z2 + k3 * z2 * z2) * a22 (i) — k1 * at2 (i) + ny2 (i)) / (k1 + k1 * z2)(i + 1) = at2 (i + 1) / (i + 1)n(i) = 1ii = 1 To num15 + 1. TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a1 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 2) = Format (a21 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 3) = Format (at1 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny1 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 0) = i — 1. TextMatrix (i, 1) = Format (a12 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 2) = Format (a22 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 3) = Format (at2 (i — 1), «0.0»). TextMatrix (i, 4) = Format (ny2 (i — 1), «0.0»)iSubSub HS1_Change()= HS1. Valuenum15 > num Theni = num + 1 To num15 + 1. TextMatrix (i, 0) = «». TextMatrix (i, 1) = «». TextMatrix (i, 2) = «». TextMatrix (i, 3) = «». TextMatrix (i, 4) = «». TextMatrix (i, 0) = «». TextMatrix (i, 1) = «». TextMatrix (i, 2) = «». TextMatrix (i, 3) = «». TextMatrix (i, 4) = «» If

В результате выполнения дипломной работы были решены дифференциальные уравнения и исследованы полученные решения в окрестности полюсов двумя способами. Разработана методика исследования решений в комплексной области и представления результата в виде действительной и мнимой частей без относительной затраты времени и огромного объема вычислений. Приблизительно, производительность программы по скорости вычислений превышает в десятки тысяч раз. Программа выдает желаемое количество полученных коэффициентов (от 1 до 25) с желаемой точностью (от 1 до 10 знаков после запятой). В результате значительной доработки данной дипломной работы можно устранить необходимость ввода радиусов сходимости полученных рядов, но по предварительным расчетам необходимо будет вычислять до 300 коэффициентов исследуемого ряда, что в некоторых случаях будет приводить к переполнению переменных в коде программы.

Кудрявцев Л.Д. «Курс математического анализа» Т.1, М., ВШ., 1981 г. — 687 с.

Фильчаков П.Ф.» Численные и графические методы прикладной математики» Справочник, К., «Наукова думка», 1970 г. — 798 с.

Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. — 13-е изд., исправленное. — М. Наука, 1986 — 544 с.

Михаэль Райтингер, Геральд Муч. Visual Basic 6: полное руководство: пер. с нем. — К.: Издательская группа BHV, 2000. — 720 с.

Данилина Н.И., Дубровская Н.С. Численные методы. — М.: «Высшая школа», 1976 — 368 с.

Мышкис А.Д. Математика для ВТУЗов. Спец. Курсы. — М.:» Наука». 1971 — 632 с.

Данко П.Е., Попов А.Г. Теория функций комплексного переменного. — М.: «Высшая школа». 1986 — 415 с.

Фролов С.Н., Шостак Р.Я. Численные методы. — М.: «Высшая школа». 1972 — 472 с.

Привет студент

Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

Министерство образования Республики Беларусь

«Могилевский государственный университет имени А.А. Кулешова»

Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

Курсовая работа

Выполнил: студент Б группы 3 курса

Юскаева Александра Маратовна

Морозов Николай Порфирьевич

1. Дифференциальные уравнения высших порядков

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка

2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов.

3. Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

4. Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике.

Введение

В общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения.

Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Целью работы является анализ одного из приближенных аналитических методов, такого как интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов, и применение их при решении дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения высших порядков

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида

где F – известная функция своих аргументов, заданная в некоторой области;

x – независимая переменная;

y – функция переменной x, подлежащая определению;

y’, y”, …, y ( n ) – производные функции y.

При этом предполагается, что y ( n ) действительно входит в дифференциальное уравнение. Любой же из остальных аргументов функции F может в этом соотношении явно не участвовать.

Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение — это значит найти все его решения. Если для искомой функции y удается получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных с₁, с₂. c_n и имеет вид .

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности величин y, y’, …, y ( n ) . Таким образом, линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

где – известные непрерывные функции от x.

Данное уравнение называется неоднородным линейным уравнением или уравнением с правой частью. Если же правая часть уравнения, , тождественно равна нулю, то линейное уравнение называется однородным дифференциальным линейным уравнением и имеет вид

В случае если n будет равно 2, то получим линейное уравнение II-го порядка, которое запишется как Как и линейное уравнение n-го порядка уравнение второго порядка может быть однородным ( ) и неоднородным.

Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.

Решения обыкновенного дифференциального уравнения выше первого порядка с переменными коэффициентами не всегда выражаются через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения редко приводится к квадратурам.

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

Наиболее распространенным приемом интегрирования указанных уравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда. Рассмотрим уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Замечание1. Достаточно широкий класс функций можно представить в виде

где , — некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом. Если его значения равны соответствующим значениям функции для любого x из интервала (х₀ – Т; х₀ + Т), то такой ряд называют сходящимся в этом интервале.

Предположим, что функции a(х), b(х) являются аналитическими функциями уравнения (2.1) на интервале (х₀ – Т; х₀ + Т), Т > 0, т.е. разлагаются в степенные ряды:

Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку).

Теорема_1. Если функции a(х), b(х) имеют вид (2.2), то любое решение y(х) обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) представимо в виде сходящегося при |x — x₀| 0. Подставив в это уравнение выражение (2.7) при х₀ = 0, имеем

Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем рекуррентную систему уравнений:

Так как , то λ должно удовлетворять уравнению

которое называется определяющим уравнением. Пусть – корни этого уравнения. Если разность не есть целое число, то ни при каком целом k > 0, а значит, указанным методом можно построить два линейно независимых решения уравнения (2.6):

Если же разность является целым числом, то указанным выше способом можно построить одно решение в виде обобщённого ряда . Зная это решение, с помощью формулы Лиувилля — Остроградского можно найти второе линейно независимое с решение:

Из этой же формулы вытекает, что решение можно искать в виде

(число А может оказаться равным нулю).

Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

Уравнению Бесселя является одним из важных в математике и ее приложениях дифференциальным уравнением. Решения уравнения Бесселя, составляющие его фундаментальную систему функций, не являются элементарными функциями. Но они разлагаются в степенные ряды, коэффициенты которых вычисляются довольно просто.

Рассмотрим уравнение Бесселя в общем виде:

К этому уравнению сводятся многие задачи математической физики.

Поскольку уравнение не изменяется при замене в нем x на –x, досточно рассмотреть неотрицательные значения x. Единственная особая точка x=0. Определяющее уравнение, соответствующее x=0, есть , . Если 0, то определяющее уравнение имеет два корня: и . Найдем решение данного уравнения в виде обобщенного степенного ряда

то, подставив у, у’ и у» в исходное уравнение, получим

Отсюда, сокращая на , имеем

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, коэффициенты должны удовлетворять уравнениям

Найдем решение, соответствующее корню определяющего уравнения λ = n. Подставив в последние равенства λ = n, видим, что в качестве можно взять любое число, отличное от нуля, число = 0, а для k = 2, 3, . имеем

Отсюда при всех m = 0, 1, 2, … .

Таким образом, найдены все коэффициенты , а значит, решение уравнения (3.1) запишется в виде

называемую гамма-функцией Эйлера. Учитывая, что и что для целых , , а также выберем произвольную постоянную как то запишется в виде

называется функцией Бесселя первого рода n-го порядка.

Второе частное решение уравнения Бесселя, линейно независимое с ищем в виде

Уравнения для определения при имеют вид

По условию n не является целым числом, так что все коэффициенты с четными номерами однозначно выражаются через :

Полагая представим у₂(х) в виде

называется функцией Бесселя первого рода с отрицательным индексом.

Таким образом, если n не является целым числом, то все решения исходного уравнения Бесселя являются линейными комбинациями функции Бесселя и : .

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

Гипергеометрическим уравнением (или уравнением Гаусса) называется уравнение вида

где α, β, γ — действительные числа.

Точки являются особыми точками уравнения. Обе они регулярные, так как в окрестности этих точек коэффициенты уравнения Гаусса, записанного в нормальной форме

можно представить в виде обобщенного степенного ряда.

Убедимся в этом для точки . Действительно, замечая, что

уравнение (3.2) можно записать в виде

Это уравнение является частным случаем уравнения

причем здесь , так что точка х=0 есть регулярная особая точка уравнения Гаусса.

Построим фундаментальную систему решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0.

Определяющее уравнение, соответствующее точке х=0, имеет вид

Его корни , причем их разность не является целым числом.

Поэтому в окрестностях особой точки х=0 можно построить фундаментальную систему решений в виде обобщенных степенных рядов

первый из которых соответствует нулевому корню определяющего уравнения и является обычным степенным рядом, так что решение голоморфно в окрестности особой точки х=0. Второе решение заведомо неголоморфно в точке х=0. Построим сначала частное решение, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения.

Итак, будем искать частное решение уравнения (3.2) в виде

Подставим (3.3) в (3.2), получим

Приравнивая к нулю свободный член, получаем .

Пусть , тогда получаем .

Приравнивая нулю коэффициент при , найдем:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

Ряд справа называется гипергеометрическим рядом, так как при α=1, β=γ он превращается в геометрическую прогрессию

Согласно теореме_2 ряд (3.4) сходится при |x| 4 включительно) с начальными условиями

Решение: Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:

Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х 4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты .

Из начальных условий следует, что Теперь найдем остальные коэффициенты:

Следовательно, решение уравнения запишется в виде

Пример_2. (№696) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х 4 включительно) с начальными условиями

Решение: Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Из начальных условий следует, что и 2. Теперь найдем остальные коэффициенты:

Следовательно, решение уравнения запишется в виде

Пример_3. (№700) Найти линейно независимые решения в виде степенных рядов уравнения . По возможности сумму полученного ряда выразить с помощью элементарных функций.

Решение. Решение уравнения будем искать в виде ряда

Дважды продифференцировав этот ряд и подставив в данное уравнение, имеем

Выпишем несколько первых членов рядов в полученном уравнении:

Приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения :

Из этих уравнений находим

Положим , тогда отличными от нуля будут только коэффициенты . Получаем, что

Построено одно решение уравнения

Второе решение, линейно независимое с найденным, получим, предположив . Тогда отличными от нуля будут только коэффициенты :

Ряды, представляющие и , сходятся при любых значениях х и являются аналитическими функциями. Таким образом, все решения исходного уравнения — аналитические функции при всех значениях х. Все решения выражаются формулой , где С₁, С₂ — произвольные постоянные:

Так как сумму полученного ряда легко выразить с помощью элементарных функций, то и запишется как:

Пример_4. (№711) Решить уравнение 2х 2 у» + (3х – 2х 2 )у’ – (х + 1)у = 0.

Решение. Точка х = 0 является регулярной особой точкой данного уравнения. Составляем определяющее уравнение: Его корни λ₁ = 1/2 и λ₂ = — 1. Решение исходного уравнения, соответствующее корню λ = λ₁ ищем в виде

Подставив , , и в исходное уравнение, имеем

Отсюда, сократив на , получим

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем уравнения для определения :

Положив y₀ = 1, находим

Соответствующее корню λ = λ₂ решение исходного уравнения ищем в виде

Подставив это выражение в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим или Положив y₀ = 1, находим

Общее решение исходного уравнения запишем в виде , где и — произвольные постоянные.

Заключение

Решение уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, зачастую очень сложно.

В последние годы такие дифференциальные уравнения привлекают все большее внимание. Так как решения уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

В ходе выполнения курсовой работы был проведен анализ метода интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных и обобщенных степенных рядов.

Литература:

Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 4-е, испр. и доп. Минск, “Вышэйш. школа”, 1974. – 768с. с ил.
Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. — 3-е изд, стереотип. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. — 352 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Т.3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. —— 512с.: ил.
Самолейнко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш. шк., 1989. – 383 с.: ил.
Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Учеб. пособие для вузов. – М.: Физматизд, 1961. – 100 с.: ил.

Скачать: У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

источники:

http://infourok.ru/differencialnyh-uravnenij-stepennymi-ryadami-4119983.html

http://privetstudent.com/kursovyye/kursovye-po-matematike/4320-postroenie-resheniy-differencialnyh-uravneniy-s-pomoschyu-ryadov.html