Дифференциальное уравнение сау относительно ошибки

2. Математическое описание систем автоматического управления

Публикую первую часть второй главы лекций по теории автоматического управления.
В данной статье рассматриваются:

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях
2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)
2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях

При составлении уравнений, описывающих нестационарные процессы в САУ (САР) и которые в дальнейшем будем называть уравнениями динамики, система “разбивается” на отдельные элементы (звенья), для каждого из которых не существует проблем в записи соответствующего уравнения динамики.

На рис. 2.1.1 представлено схематичное представление САУ (звена) в переменных «вход-выход», где x(t) (или u(t)) — входное воздействие, а y(t) — выходное воздействие, соответственно. Нередко входное воздействие будет называться управляющим, а выходное воздействие — регулируемой величиной (переменной).

При составлении уравнений динамики используются фундаментальные законы сохранения из разделов “Механики”, “Физики”, “Химии” и др.

Например, при описании перемещения узла какого-то механизма силового привода используются законы сохранения: момента, энергии, импульса и др… В теплофизических (теплогидравлических) системах используются фундаментальные законы сохранения: массы (уравнение неразрывности), импульса (уравнение движения), энергии (уравнение энергии) и др

Уравнения сохранения в общем случае содержат постоянные и нестационарные члены, причем при отбрасывании нестационарных членов получают так называемые уравнения статики, которые соответствуют уравнениям равновесного состояния САУ (звена). Вычитанием из полных уравнений сохранения стационарных уравнений получают нестационарные уравнения САУ в отклонениях (от стационара).

где: — стационарные значения входного и выходного воздействий;
— отклонения от станционара, соотвесвенно.

В качестве примера рассмотрим «технологию» получения уравнений динамики для механического демпфера, схематическое изображение которого представлено на рис. 2.1.2.

Согласно 2-му закону Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:

где, m — масса тела, F_j — все силы воздействующие на тело (поршень демпфера)

Подставляя в уравнение (2.1.1) все силы согласно рис. 2.2, имеем:

где — сила тяжести; — сила сопротивления пружины, — сила вязконо трения (пропорциональна скорости поршеня)

Размерности сил и коэффициентов, входящих в уравнение (2.1.2):

Предполагая, что при t ≤ 0 поршень демпфера находился в равновесии, то есть

перейдем к отклонениям от стационарного состояния:
Пусть при t>0 . Тогда, подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), получаем:

если , то уравнение принимает вид:

Соотношение (2.1.4) – уравнение звена (демпфера) в равновесном (стационарном) состоянии, а соотношение (2.1.5) – статическая характеристика звена – демпфера (см. рисунок 2.1.3).

Вычитая из уравнения (2.1.3) уравнение (2.1.4), получаем уравнение динамики демпфера в отклонениях:

тогда, разделив на k, имеем:

Уравнение (2.1.6) — это уравнение динамики в канонической форме, т.е. коэффициент при Δy(t) равен 1.0!

«Легко» видеть, что коэффициенты перед членами, содержащими производные, имеют смысл (и размерность!) постоянных времени. В самом деле:

Таким образом, получаем, что:
— коэффициент перед первой производной имеет размерность [c] т.е. смысл некоторой постоянной времени;
— коэффициент перед второй производной: [];
— коэффициент в правой части (): [].
Тогда уравнение (2.1.6) можно записать в операторной форме:

, что эквивалентно

где: — оператор диффренцирования;
-линейный дифференциальный оператор;
— линейный дифференциальный оператор, вырожденный в константу, равную .

Анализ уравнения (2.1.6.а) показывает, что такое уравнение имеет размерные переменные, а также размерными являются все коэффициенты уравнения. Это не всегда удобно. Кроме того, если реальная САР (САУ) состоит из многих звеньев, выходными воздействиями которых являются различные физические переменные (скорость, температура, нейтронный поток, тепловой поток и т.д.), то значения коэффициентов могут различаться на большое число порядков, что ставит серьезные математические проблемы при численном решении уравнений динамики на компьютере (поскольку числа в компьютере всегда представляются с какой-то точностью). Одним из наилучших способов избежать численных трудностей является принцип нормализации, т.е. переход к безразмерным отклонениям, которые получены нормированием отклонения на стационарное значение соответствующей переменной.

Введем новые нормированные (безразмерные) переменные:

Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), имеем:

Поддчеркнутые члены выражения в сумме дают 0 (см. 2.1.4) Перенося в левую часть члены, содержащие , и, разделив на , получаем:

где: — коэффициент усиления, причем безразмерный.

Проверим размерность коэффициента

Использованный выше «технический» прием позволяет перейти к безразмерным переменным, а также привести вид коэффициентов в уравнении динамики к легко интерпретируемому виду, т.е. к постоянным времени (в соответствующей степени) или к безразмерным коэффициентам усиления.

На рис. 2.1.4 представлены статические характеристики для механического демпфера:

Процедура нормировки отклонений позволяет привести уравнения динамики к виду:

где дифференциальные операторы.

Если дифференциальные операторы — линейные, а статическая характеристика САУ (звена) – тоже линейна, то выражение (2.1.8) соответствует линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ).

А если – нелинейные дифференциальные операторы, или , то уравнение динамики — нелинейное. Под нелинейными действиями понимаются все математические действия, кроме сложения (+) и вычитания (-).

Пример создания модели демпфера можно посмотереть здесь: «Технология получения уравнений динамики ТАУ»

2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)

Практически все реальные системы автоматического управления (САУ) являются нелинейными, причем нелинейность САУ может определяться различными причинами:

1. Нелинейностью статической характеристики.
2. Нелинейностью динамических членов в уравнениях динамики.
3. Наличием в САУ принципиально нелинейных звеньев.

Если в замкнутой САУ (САР) нет принципиально нелинейных звеньев, то в большинстве случаев уравнения динамики звеньев, входящих в систему, могут быть линеаризованы. Линеаризация основана на том, что в процессе регулирования (т.е. САУ с обратной связью) все регулируемые величины мало отклоняются от их программных значений (иначе система регулирования или управления не выполняла бы своей задачи).

Например, если рассмотреть управление мощностью энергетического ядерного реактора, то главная задача САР — поддержание мощности на заданном (номинальном) уровне мощности. Существующие возмущения (внутренние и внешние) “отрабатываются” САР и поэтому параметры ядерного реактора незначительно отличаются от стационарных. На рис. 2.2.1 представлена временная зависимость мощности ядерного реактора, где нормированные отклонения мощности ΔN /N₀ Рис. 2.2.1 – Пример изменения мощности реактора

Рассмотрим некоторое звено (или САР в целом), описание динамики которого можно представить в переменных “вход-выход”:

Предположим, что динамика данного звена описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка:

Перенесем в левую часть уравнения и запишем уравнение в виде%

где -– функция регулируемой переменной и ее производных, а также управляющего (входного) воздействия и его производных, причем F – обычно нелинейная функция.

Будем считать, что при t ≤ 0 САУ (звено) находилось в равновесии (в стационарном состоянии). Тогда уравнение (2.2.2) вырождается в уравнение статической характеристики:

Разложим левую часть уравнения (2.2.2) в ряд Тейлора в малой окрестности точки равновесного состояния .

Напомним, что разложение в ряд Тейлора трактуется следующим образом: если , то «простое» разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки будет выглядеть так:

C учетом вышеприведенного разложение принимает вид:

Предполагая, что отклонения выходных и входных воздействий незначительны, (т.е.:), оставим в разложении только члены первого порядка малости (линейные). Поскольку , получаем:

Подставляя соотношение (2.2.4) в уравнение (2.2.2), и перенося множители при у и u в разные части получаем уравнения:

Коэффициенты — постоянные коэффициенты, поэтому уравнения 2.2.5 — линейное дифференциальное с постоянными коэффициентами.

В дальнейшем нами будет часто использоваться операторная форма записи уравнений динамики:

где – оператор дифференцирования;
— линейный дифференциальный оператор степени n;
— линейный дифференциальный оператор степени m, причем обычно порядок оператора выше порядка оператора :

Уравнения (2.2.5) и (2.2.6) — уравнения динамики системы (звена) в отклонениях.

Если исходное уравнение (2.2.1) — дифференциальное уравнение в физических переменных (температура, скорость, поток и т.д.), то размерность коэффициентов может быть произвольной (любой).

Переход к нормализованным отклонениям позволяет “упорядочить” размерность коэффициентов. В самом деле, разделив уравнение (2.2.5) на начальные условия (значения в нулевой момент времени) и выполнив некоторые преобразования, получаем:

Приведение уравнения динамики САУ (звена) к нормализованному виду позволяет “унифицировать” размерность коэффициентов уравнений: ==>

Если вынести в правой части (2.2.7) коэффициент за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение принимает вид:

или в операторном виде:

Линеаризация уравнений динамики и нормализация переменных позволяют привести уравнения динамики САУ (звена) к виду, наиболее удобному для использования классических методов анализа, т.е. к нулевым начальным условиям.

Пример

Выполнить линеаризацию уравнения динамики некоторой «абстрактной» САР в окрестности состояния (x₀, y₀), если полное уравнение динамики имеет вид:

Нелинейность полного уравнения динамики проявляется в следующем:

• во-первых, в нелинейности статической характеристики:

• во-вторых, слагаемое в левой части — чисто нелинейное, так как действие умножения является нелинейным.

Выполним процесс линеаризации исходного уравнения, динамики без разложения я ряд Тейлора, основываясь на том, что в окрестности состояния (x₀, y₀) нормированные отклонения управляющего воздействия и регулируемой величины намного меньше 1.

Преобразования выполним в следующей последовательности:

1. Перейдем к безразмерным переменным (нормализованным);
2. Выполним линеаризацию, отбросив нелинейные члены 2-го и выше порядков малости.

Перейдем к новым безразмерным переменным:

Заметим, что:
.

Подставляя значения x(t) и y(t) в исходное уравнение:

Удаляем полученного уравнения уравнения стационара: , а так же пренебрегая слагаемыми второго прядка малости: , получаем следующее уравнение:

Вводим новые обозначения:

Получаем уравнения в «почти» классическом виде:

Если в правой части вынести за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение (линеаризованное) принимает вид:

Процедура нормализации позволяет более просто линеаризовать уравнение динамики, так как не требуется выполнять разложение в ряд Тейлора (хотя это и не сложно).

2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Классический метод решения уравнений динамики САУ (САР) применим только для линейных или линеаризованных систем.

Рассмотрим некоторую САУ (звено), динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

Переходя к полной символике, имеем:

Выражение (2.3.2) — обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), точнее неоднородное ОДУ, так как правая часть ≠ 0.

Известно входное воздействие x(t), коэффициенты уравнения и начальные условия (т.е. значения переменных и производных при t = 0).

Требуется найти y(t) при известных начальных условиях.

где: — решение однородного дифференциального уравнения y_<част.>(t) $inline$ — частное решение. $inline$

Будем называть решение однородного дифференциального уравнения , собственным решением, так как его решение не зависит от входного воздействия, а полностью определяется собственными динамическими свойствами САУ (звена).

Вторую составляющую решения (2.3.3) будем называть , вынужденным, так как эта часть решения определяется внешним воздействием , поэтому САУ (САР или звено) “вынуждена отрабатывать” это воздействие:

Напомним этапы решения:

1) Если имеется уравнение вида , то сначала решаем однородное дифференциальное уравнение:

2) Записываем характеристическое уравнение:

3) Решая уравнение (2.3.5), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на компьютере) находим корни характеристического уравнения
4) Тогда собственное решение записывается в виде:

если среди нет повторяющихся корней (кратность корней равна 1).

Если уравнение (2.3.5) имеет два совпадающих корня, то собственное решение имеет вид:

Если уравнение (2.3.5) имеет k совпадающих корней (кратность корней равна k), то собственное решение имеет вид:

5) Вынужденную часть решения можно найти различными способами, но наиболее распространены следующие способы:
а) По виду правой части.
б) Методом вариации постоянных.
в) Другие методы…

Если вид правой части дифференциального уравнения – относительно несложная функция времени, то предпочтительным является способ а): подбор решения. .

6) Суммируя полученные составляющие (собственную и вынужденную), имеем:

7) Используя начальные условия (t = 0), находим значения постоянных интегрирования . Обычно получается система алгебраических уравнений. Решая систему, находим значения постоянных интегрирования

Пример

Найти аналитическое выражение переходного процесса на выходе звена, если

Решение. Запишем однородное ОДУ:
Характеристическое уравнение имеет вид: ; Решая, имеем: тогда:

где — неизвестные (пока) постоянные интегрирования.

По виду временной функции в правой части запишем как:

Подставляя в исходное уравнение, имеем:

Суммируя , имеем:

Используя 1-е начальное условие (при t = 0), получаем: , а из 2-го начального условия имеем:

Решая систему уравнений относительно и , имеем:
Тогда окончательно:

Что бы проверить результ, выполним моделирование процесса в SimInTech, для этого преобразуем исходное уравнение к виду:

Создадим модель SimInTech, содержащую исходное динамическое уравнение и полученное аналитическое решение, и выведем результаты на один график (см. рис. 2.3.1).

Рис. 2.3.1 – структурная схема для проверки решения

На рис. 2.3.2 приведено решение по вышеприведенному соотношению и численное решение задачи в среде SimInTech (решения совпадают и линии графиков «наложены» друг на друга).

Оценка точности САУ в установившемся режиме

Одним из показателей качества регулирования является точность работы системы в установившемся режиме. Оценка точности работы системы может проводиться как по выходной координате , так и по величине ошибки e. Обычно такая оценка дается по величине установившейся ошибки .

Установившееся значение ошибки может быть определено на основании предельного свойства преобразования Лапласа следующим образом:

, (13.1)

где E(p) — изображение сигнала ошибки e(t).

Данное равенство справедливо только для устойчивых систем автоматического управления. Так как

,

то выражение (13.1) можно переписать так:

, (13.2)

где W(p) — передаточная функция разомкнутой системы.

Совершенно аналогично может быть получено выражение для определения установившегося значения выходной величины:

, (13.3)

где Ф(р) — передаточная функция замкнутой системы по управляющему воздействию.

Рассмотрим случаи определения установившейся ошибки для статической и астатической системы при различных видах входных воздействий. Известно, что любую систему автоматического управления можно привести к одноконтурной структуре. Тогда передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в следующем виде:

,

Статическая система в одноконтурном виде не должна содержать интегрирующих звеньев, следовательно, . Поэтому установившуюся ошибку статической системы (13.2) можно представить так:

,

а установившееся значение выходной координаты будет равно (13.3):

.

При постоянном входном воздействии, в частности, равном единичной ступенчатой функции 1(t), получаем: и

; .

В случае постоянного воздействия, приложенного к статической системе, установившаяся ошибка называется статической ошибкой и обозначается через D. А установившаяся величина выходной координаты называется статическим отклонением.

Следовательно, для повышения точности статической системы в установившемся режиме необходимо увеличивать передаточный коэффициент системы, при этом выходная координата будет стремиться к величине входного сигнала. Однако увеличение передаточного коэффициента системы повышает ее колебательность и может привести к неустойчивости. Поэтому коэффициенты передаточной функции должны выбираться таким образом, чтобы при достаточной точности обеспечивалась необходимая устойчивость управления.

На рис.13.1,а показана установившаяся ошибка статической системы при единичном входном сигнале. Определим установившуюся ошибку статической системы при переменном входном сигнале, изменяющемся с постоянной скоростью . Тогда и в соответствии с (13.2), (13.3) получаем:

;

.

Как видно из полученных выражений, установившийся режим в системе не наступает, причем ошибка в пределе возрастает до бесконечности (рис.13.1,б).

Рис.13.1. К определению установившейся ошибки статической САУ:

а — при единичном ступенчатом воздействии;

б — при линейно возрастающем воздействии

Совершенно очевидно, что статические системы не могут использоваться для регулирования таких процессов, в которых внешние воздействия носят переменный характер. В частности, статические системы не могут использоваться в качестве следящих систем.

Рассмотрим точность работы в установившемся режиме астатических систем 1-го и 2-го порядков. В астатической системе 1-го порядка передаточная функция разомкнутой системы, приведенная к одноконтурной структуре, может быть представлена в виде:

,

Очевидно, что .

На основании (13.2), (13.3) можно записать:

;

.

Пусть входной сигнал представляет собой единичную ступенчатую функцию , тогда .

;

.

Рис.13.2. К определению установившейся ошибки астатической

Таким образом, при действии на систему с астатизмом первого порядка (n=1) постоянного входного сигнала установившаяся ошибка на выходе сумматора, к которому приложен сигнал, стремится к нулю, а установившееся значение выходной координаты совпадает с входным сигналом.

Пусть теперь входной сигнал имеет вид и . Установившееся значение ошибки системы будет равно

,

а установившаяся величина выходной координаты определяется таким образом:

,

т.е. выходная величина, как и входной сигнал, в пределе стремится к бесконечности, причем значение установившейся ошибки сохраняется постоянным: (рис.13.2,а). Уменьшить установившуюся ошибку системы можно путем увеличения передаточного коэффициента разомкнутой системы. Как было уже отмечено выше, увеличение передаточного коэффициента может привести к неустойчивости системы.

Рассмотрим теперь, как изменится установившаяся ошибка астатической системы с астатизмом первого порядка при входном воздействии вида g(t)=at 2 (входной сигнал изменяется с постоянным ускорением). Изображением входного сигнала будет , поэтому

.

Таким образом, при заданном сигнале астатическая система с астатизмом первого порядка является практически неработоспособной (рис.13.2,б). Для осуществления процесса регулирования (слежения) при быстроменяющихся сигналах используется астатическая система с астатизмом второго порядка (n=2).

Передаточную функцию разомкнутой астатической системы с астатизмом второго порядка, приведенной к одноконтурному виду, можно представить таким образом:

,

.

Тогда на основании (13.2) получаем

.

Если g(t)=at 2 , то .

Таким образом, система отрабатывает входной сигнал вида g(t)=at 2 с постоянной установившейся ошибкой. Легко определить, что установившаяся ошибка астатической системы второго порядка при входных сигналах вида 1(t), at стремится к нулю.

2. Статические и астатические системы управления

,

при

при для имеем

Система называется астатической по возмущающему воздействию, если передаточная функция разомкнутой системы от точки приложения задающего воздействия до точки приложения возмущения содержит полюса, равные нулю, кратность таких полюсов определяет порядок астатизма системы.

3. Чувствительность систем управления

Параметры системы автоматического управления в про­цессе работы не остаются равными расчетным значениям. Это объясняется изменением внешних условий, неточностью изготовления отдельных устройств системы, старением эле­ментов и т. п. Изменение параметров САУ, т. е. изменение ко­эффициентов уравнений системы, вызывает изменение стати­ческих и динамических свойств системы.

Зависимость характеристик системы от изменения каких-либо ее параметров оценивают чувствительностью. Под чув­ствительностью понимают свойство системы изменять режим работы вследствие отклонения каких-либо параметров от но­минальных значений. Для числовой оценки чувствительности используют функции чувствительности, определяемые как частные производные от координат системы или показателей качества процессов управления по вариациям параметров:

где х_i — координаты системы; α_j — параметр системы.

Индекс 0 означает, что функция u_ij вычисляется при но­минальных значениях параметров.

Система, значения параметров которой равны номиналь­ным и не имеют вариаций, называется исходной системой, а движение в ней — основным движением. Система, в которой имеют место вариации параметров, называются варьирован­ной системой, а движение в ней — варьированным движением. Разность между варьированным и основным движениями на­зывают дополнительным движением.

Допустим, что исходная система описывается системой не­линейных дифференциальных уравнений

Пусть в некоторый момент времени в системе произошли вариации параметров Δα_j, где j = 1, 2, . m; тогда пара­метры станут равными α_j+Δα_j. Если вариации параметров не вызывают изменения порядка уравнения, то варьированное движение описывается новой системой п уравнений первого порядка

(13.6)

Разность решений уравнений (4.94) и (4.95) определяет допол­нительное движение:

(13.6)

Если и дифференцируемы по α_j(j=1,…,m), то до­полнительное движение (13.6) можно разложить в ряд Тейлора по степеням Δα_j. При малых вариациях параметров ограничим­ся в разложении лишь линейными членами. Нужно отметить, что в случае конечных вариаций такое приближение недопу­стимо. Итак, можно записать уравнения первого приближе­ния для дополнительного движения:

(13.7)

Учитывая формулу (13.4), можно записать

(13.8)

Следовательно, располагая функциями чувствительности и задаваясь вариациями параметров, можно определить пер­вое приближение для дополнительного движения.

Продифференцируем уравнения исходной системы (13.5) по α_j:

(13.9)

Полученные линейные дифференциальные уравнения (13.9) называются уравнениями чувствительности. Решение их дает функции чувствительности u_ij. Следует заметить, что в силу сложности уравне­ний (13.9) их решение весьма затруднительно. М. Л. Быховским пред­ложен структурный метод построения модели для определения функций чувствительности.

Для определения функций чувствительности можно исполь­зовать уравнения системы или ее передаточные функции.

Пусть САУ описывается уравнением

Запишем уравнения чувствительности, продифференци­ровав (13.10) по α_k:

По уравнению (13.11) можно представить структурную схе­му модели чувствительности для определения функции u_k (рис. 13.4). Эту схему можно упростить.

Дата добавления: 2016-06-24 ; просмотров: 8989 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Уравнения систем автоматического управления

Для того, чтобы провести анализ системы автоматического управления САУ необходимо иметь ее математическое описание – интегродиффернциальные или дифференциальные уравнения. Если система с распределенными параметрами, то уравнения представлены в частных производных. Они будут определять поведение системы автоматического регулирования САР в динамических режимах – переходные процессы, а также приложение или снятие возмущающих воздействий.

Ели уравнения описывают изменения входящих в них переменных во времени, то их называют уравнениями динамики. Не прилагая особых усилий из уравнений динамики можно получить уравнения статики – если предположить, что все входящие в них воздействия и производные равны нулю или равны константам (постоянны). Уравнениями статики описываются системы в установившемся режиме.

Для упрощения записи уравнений динамики САР ее, как правило, разбивают на отдельные звенья, и записывают уравнения каждого звена по отдельности. Созданную таким образом систему уравнений можно преобразовать к одному уравнению, путем исключения промежуточных переменных.

Уравнения звена необходимо составлять так, чтоб оно выражало зависимость между выходящим и входящим сигналом. Также следует учитывать, что звено может иметь не одно входное значение (при наличии обратных связей), а также следует учесть, что звено может иметь возмущение из вне.

Дифференциальные уравнения составляются на основании законов физических процессов, которые будут протекать в звене.

Все факторы или переменные, от которых зависит изучаемый процесс, выявляются при составлении дифференциального уравнения. Уравнения статики не линейны для большого диапазона изменений регулируемой величины. Если рассмотреть на примере генератора независимого возбуждения, то при небольшом изменении напряжения возбуждения уравнение цепи будет иметь линейный вид:

Где: U_г – выходное генераторное напряжение, U_в – напряжение на обмотке возбуждения, α – коэффициент, выражающий зависимость U_в от U_г.

Если изменения магнитного поля машины будут существенны, то тогда придется учитывать режим насыщения, а это вводит в систему определенную нелинейность:

Если для малых отклонений регулируемой величины вполне можно использовать линеаризованные уравнения, то для больших отклонений используют нелинейные уравнения вида:

Где x, y, z – значения абсолютные регулируемой величины, а также регулирующего и возмущающего воздействий.

Изображение данных статических уравнений называют статическими характеристиками – кривыми, построенными в координатах x, z или x,y.

В качестве примера такой характеристики может послужить характеристика статическая электронного усилителя постоянного тока U_вых = f(U_вх):

Или же машины постоянного тока Ω = f(U_у):

Где: Ω – скорость вала, рад/с; U_у — якорное напряжение управления;

Из показанных выше характеристик видно, что они не линейные. Для того, чтоб упростить себе жизнь и не проводить расчет нелинейной САУ было введено понятие линеаризация, которая возможна для небольшого диапазона изменений входных и выходных величин:

Точка С, на характеристике Ω = f(U_у), имеет координаты Ω₀ и U_у0, которые соответствуют номинальной скорости вращения машины. Величины ΔΩ и ΔU_у — достаточно малые отклонения напряжения и скорости, поэтому нелинейный участок характеристики принадлежащий точке С вполне можно заменить прямой (секущей или касательной). Рассматриваемый участок кривой можно рассматривать в отдельных осях (ΔΩ и ΔU_у), которые обозначают отклонение величин Ω и ΔU_у от их номинальных значений. Замену нелинейной характеристики линейной, основанной на малых отклонениях, называют линеаризацией. Рабочий участок можно обновить формулой ΔΩ = k₀ΔU_у, где k₀ – крутизна характеристики, k₀ = tgα.

Также необходимо отметить, что существую и САР со значительно нелинейными характеристиками, которые не подлежат линеаризации. Такие системы рассматривает раздел нелинейной теории автоматического регулирования.