Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний в контуре

Свободные гармонические колебания в колебательном контуре.

Свободные электрические колебания в колебательном контуре являются гармоническими, если его электрическое сопротивление R = 0.

Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре

Заряд q совершает гармонические колебания по закону

с циклической частотой

Эта формула называется — формула Томсона. В формуле Томсона — амплитуда колебаний заряда. Сила тока в колебательном контуре

опережает по фазе колебания заряда q на .

Здесь — амплитуда силы тока.

Разность потенциалов обкладок конденсатора также изменяется по гармоническому закону и совпадает по фазе с зарядом q

где — амплитуда разности потенциалов. Амплитуда тока

Величина называется волновым сопротивлением колеба­тельного контура.

15.Сложение гармонических колебаний.

Если система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах, то под сложением колебаний понимают нахождение закона,

описывающего результирующий колебательный процесс.

используем метод вращающегося вектора амплитуды (метод векторных диаграмм).

Так как векторы А₁ и A₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью ω, то разность фаз между ними остается постоянной.

Уравнение результирующего колебания будет

где амплитуда А и начальная фаза 𝜑 задаются соотношениями

Сумма двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты есть гармоническое колебание в том же направлении и с той же

частотой, что и складываемые колебания.

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний:

1) , где (т = 0,1,2. ), тогда А = А₁+А₂;

2) , где (т = 0,1,2. ), тогда А = |А₁ — А₂|.

16.Биения.

Биениями называются периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны 𝜔 и ω+∆ω, причем ∆ω≪ω. Путь для простоты начало отсчета выбрано так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю

,

Результирующее колебание будет иметь вид — гармоническое колебание с частотой ω, амплитуда которого изменяется по закону с частотой (частота биений вдвое больше частоты изменения косинуса, поскольку А_6иений берется по модулю).

17. Разложение Фурье..

Любое сложное периодическое колебание s = f(t) можно представить в виде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте ω₀

Такое представление периодической функции f(t) называется разложением ее в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания.

Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами ω₀, 2ω₀, 3ω₀ и т. д., называются первой (или

основной), второй, третьей и т. д., гармониками сложного периодического колебания s = f(t).

Совокупность этих гармоник образует спектр колебания s = f(t).

18. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты.

Пусть два гармонических колебания одинаковой частоты , происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты выберем начало отсчета так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю

где α — разность фаз колебаний, а А и В — их амплитуды. Уравнение траектории результирующего колебания (исключая t из уравнений) есть уравнение эллипса, произвольно расположенного относительно координатных осей,

и такие колебания называются эллиптически поляризованными.

19. Линейно поляризованные колебания.

Если разность фаз равна то

эллипс вырождается в отрезок прямой

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m, а знак минус — нечетным значениям m.

Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой со и амплитудой и совершается вдоль прямой, составляющей с осью х угол . Такие колебания называются линейно поляризованными колебаниями.

20. Циркулярно поляризованные колебания.

Если разность фаз , где

(m = 0, ± 1, ± 2. ), то уравнение траектории

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам А и В.

Если А=В, то эллипс вырождается в окружность, и такие колебания называются циркулярно поляризованными или колебаниями, поляризованными по кругу.

21. Фигуры Лиссажу.

Если взаимно перпендикулярные колебания происходят с циклическими частотам pω и qω, где qи р — целые числа

то значения координат х и у одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени Т₀ равные наименьшему общему кратному периодов и колебаний вдоль осей х и у. Траектории замкнутых кривых, которые получаются в этих случаях, называются фигурами Лиссажу.

Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рисунке показан вид фигур Лиссажу при трех различных значениях отноше­ния (2:1, 3:2, 4:3) и разности фаз

ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

22. Затухающие колебания.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний стечением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Затухание механических колебаний вызывается главным образом трением. Затухание в электрических колебательных системах вызывается тепловыми потерями и потерями на излучение электромагнитных волн, а также тепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем.

Система называется линейной, если параметры, характеризующие те физические свойства системы, которые существенны для рассматриваемого процесса, не изменяются в ходе процесса.

Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями.

Различные по своей природе линейные системы описываются одинаковыми уравнениями, что позволяет осуществлять единый подход к изучению колебаний различной физической природы.

23. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

линейной системы имеет вид

где s — колеблющаяся величина,

δ=const— коэффициент затухания,

ω₀ — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы (при δ=0).

В случае малых затуханий решение этого уравнения:

,

где: — амплитуда зату­хающих колебаний,

А₀ — начальная амплитуда,

— циклическая частота затухающих колебаний.

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации.
Затухание нарушает периодичность колебаний.
Затухающие колебания не являются периодическими.
Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода затухающих колебаний как промежутка времени между двумя последующими максимумами колеблющейся физической величины

24. Декремент затухания.

Если A(t) и A(t+T) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

называется логарифмическим декрементом затухания.

Здесь N — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

25.Добротность колебательной системы.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q, равная произведению 2π на отношение энергии W(t) колебаний системы в произвольный момент времени tк убыли этой энергии за промежуток времени от t до t+T (за один условный период затухающих колебаний)

Энергия W(t) пропорциональна квадрату амплитуды А(t), поэтому

При малых значениях логарифмического декремента затухания , поэтому (принимая Т≈T₀) .

26. Примеры свободных затухающих колебаний

Рассмотрим затухающие колебания различной физической природы:

a. механические колебания — пружинный маятник с массой m , который совершает малые колебания под действием упругой силы F = -kx и силы трения (r — коэффициент сопротивления)

b. электромагнитные колебания — колебания в колебательном контуре состоящем из сопротивления R, индуктивности L и емкости С

Будем сравнивать оба случая с дифференциальным уравнением свободных затухающих колебаний линейной системы

решение которого имеет вид

27. Вынужденные колебания.

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющегося по гармоническому закону

В случае механических колебаний таким фактором является вынуждающая сила . Закон движения для пружинного маятника

будет иметь вид

В случае электрического колебательного контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя ЭДС или переменное напряжение . Уравнение колебаний в контуре будет иметь вид

В общем виде дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

Это уравнение — линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение равно сумме общего решения однородного

уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Можно показать, частное решение имеет вид

где А и φ задаются формулами

Так для электромагнитных колебаний, если обозначить а — сдвиг по фазе между зарядом и приложенным напряжением, то можно показать, что решение дифференциального уравнения будет иметь вид где

Сила тока при установившихся колебаниях

Силу тока можно записать в виде , где —

сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. Тогда можно показать, что

Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды

вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (или, в случае электрических колебаний, частоты вынужда­ющего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы.

Амплитуда вынужденных колебаний имеет максимум при частоте

, которая называется резонансной частотой. (Первая производная знаменателя ( ) обращается в нуль при .)

При , амплитуда достигает предельного значения , которое называется статическим отклонением. В случае механических колебаний . В случае электромагнитных колебаний

При , амплитуда стремится к нулю.

В случае малого затухания, когда , резонансная амплитуда

где Q — добротность колебательной системы, A₀ — статическое отклонение.

Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы — чем больше Q, тем больше A_0.

29. Переменный ток.

Переменным током называются вынужденные колебания тока в цепи, совпадающие с частотой вынуждающей ЭДС.

Пусть переменная ЭДС (или переменное напряжение) имеет вид

Где U_m — амплитуда напряжения.

Тогда на участке цепи, имеющей сопротивление R, емкость С и индуктивность L, закон Ома будет иметь вид

или

Рассмотрим частные случаи цепи.

(1)R≠0, C→ 0, L→ 0: переменное напряжение приложено к сопротив­лению R. Закон Ома

Амплитуда силы тока

Колебания тока происходят в одной фазе с напряжением.

Для наглядности воспользуемся методом векторных

диаграмм и будем изображать векторами, угол между которыми равен разности фаз.

(2)R→0, C→ 0, L≠ 0: переменное напряжение приложено к катушке индуктивности.
ЭДС самоиндукции в катушке

Закон Ома , откуда после интегрирования получим

где .

Таким образом, падение напряжения U_L опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на .

Величина называется реактивным индуктивным сопротивлением. Для посто­янного тока (ω=0) катушка индуктивности не имеет сопротивления.

(3)R→ 0, C≠ 0, L→ 0: переменное напряжение приложено к конденса­тору.

где

Таким образом,падение напряжения U_С отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на .

Величина называется реактивным емкостным сопротивлением. Для постоянного тока (ω=0) R_C=∞, т.е. постоянный ток через конденсатор течь не может.

(4) В общем случае R≠ 0, C≠ 0, L≠ 0. Если напряжение в цепи

изменяется по закону , то в цепи течет ток

где и ф определяются формулами

Величина называется полным сопротивле­нием цепи.

Величина называется реактивным сопротивлением.

Таким образом, , , причем , .

30. Резонанс напряжений.

Если , то φ=0 — изменения тока и напряжения происходят синфазно. В этом случае Z=R и ток определяется только активным сопротивлением и достигает максимально возможного значения. Падение напряжения на конденсаторе U_C и на катушке индуктивности U_L одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений (последовательным резонансом).

Частота называется резонансной.

31. Резонанс токов.

К цепи переменного тока, содержащей параллельно включенные конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью L, приложено напряжение

Токи в ветаях 1С2 (R = 0,L = 0) и 1L2 (R=0, C=∞) равны

и противоположны по фазам. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи

Если , то I_m1=I_m2 и I_m =0. Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты ω приложенного напряжения к резонансной частоте ω_рез называется

резонансом токов (параллельным резонансом).

В реальных цепях R≠0, поэтому сила тока I_m>0, но принимает

наименьшее возможное значение.

32. Действующее значение переменного тока.

Действующим или эффективным значением переменного тока называется среднее квадратичное значение силы тока за период Т его изменения

поскольку

Аналогично, действующее значение напряжения:

33. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока.

Мгновенная мощность тока в цепи

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью Р тока

Множитель cosφ называется коэффициентом мощности.

Так как , и , то .

Если в цепи отсутствует реактивное сопротивление (X = 0) , то cos𝜑=1 и P=IU.

Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R= 0), то cosφ=0 и Р = 0, какими бы большими ни были ток и напряжение.

Волны в упругой среде.

34. Волновой процесс.

Если возбудить колебания в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной) то, вследствие взаимодействия между частицами среды, эти колебания будут передаваться от одной точки среды к другой со скоростью, зависящей от свойств среды.

При рассмотрении колебаний не учитывается детальное строение среды; среда рассматривается как сплошная, непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Среда называется линейной, если ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых колебаниями.

Волновым процессом или волной — называется процесс распро­странения колебаний в сплошной среде.

При распространении волны частицы колеблются около своих положений равновесия, а не перемещаются вслед за волной.

Вместе с волной от частицы к частице передается только состояние колебательного движения и его энергия.

Основным свойством всех волн является перенос энергии без переноса вещества.

35. Упругие волны.

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.

Продольная волна — волна, в которой частицы среды колеблются в направлении распространения волны.

Поперечная волна — волна, в которой частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения (в твердых, жидких и газообразных телах).

Поперечные волны могут распространяться только в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига (только в твердых телах).

36. Упругая гармоническая волна.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Пусть гармоническая волна распространяется со скоростью и вдоль оси ОХ. Обозначим смещения частиц среды через ξ=ξ(x,t).

Для данного момента времени t зависимость между смещением частиц среды и расстоянием х этих частиц от источника колебаний О можно представить в виде графика волны.

Отличие графика волныот графика гармонического колебания:

1)график волны представляет зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени ξ=ξ(x,t=const);

2)график гармонического колебания это зависимость смещения данной частицы от времени ξ=ξ(x=const,t).

Длиной волны λ называется расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе.

Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется гармоническая волна за время, равное периоду колебаний Т:

где n — частота колебаний, υ — скорость распространения волны.

Волновым фронтом называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к определенному моменту времени t.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один.

37.Бегущие волны.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию.

Перенос энергии количественно характеризуется вектором плотности потока энергии (вектор Умова). Направление этого вектора совпадает с направлением распространения энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно волне.

Важными примерами бегущих волн являются плоская и сферическая волны.

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеют вид концентрических сфер. Центры этих сфер называются центром волны.

38. Уравнение плоской волны.

Пусть точки, которые расположены в плоскости х=0, колеблются по закону ξ(0,t)=Acos𝜔t. И пусть υ— скорость распространения колебаний в данной среде.

Колебания частицы В среды (см. рисунок), расположенной на расстоянии х от источника колебаний О, будут происходить по тому же закону. Но, поскольку для прохождения волной расстояния х требуется время , то

ее колебания будут отставать по времени от колебания источника на τ.

Уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

Следовательно, функция ξ(x,t) является не только периодической

функцией времени, но и периодической функцией координаты х.

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

здесь: А = const — амплитуда волны,

ω — циклическая частота,

φ₀ — начальная фаза волны,

— фаза плоской волны.

Если определить волновое число

то уравнение плоской бегущей волны можно записать в виде

или в экспоненциальной форме

где физический смысл имеет только вещественная часть.

В общем виде уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении имеет вид

39. Фазовая скорость.

Скорость в этих уравнениях есть скорость распространения фазы волны и ее называют фазовой скоростью.

Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна

40. Уравнение сферической волны.

где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

Амплитуда колебаний в сферической волне убывает с расстоянием по

закону

41. Волновое уравнение.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных

или

где υ— фазовая скорость,

— оператор Лапласа.

Решением волнового уравнения является уравнение любой волны (в том числе и плоская и сферическая волны).

Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x.

42. Принцип суперпозиции.

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, то к этим волнам применим принцип суперпозиций (наложения) волн:

При распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвующие в каждом из слагающих волновых процессов.

43. Групповая скорость.

Любое сложное колебание может быть представлено в виде суммы одновременно совершающихся гармонических колебаний (разложение Фурье).

Поэтому любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, то есть в виде волнового пакета или группы волн.

Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

За скорость распространения волнового пакета принимают скорость перемещения максимума его амплитуды (центра волнового пакета).

Групповой скоростью и называется скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет (или скорость движения центра волнового пакета).

Связь групповой и фазовой скоростей

44. Интерференция волн.

Когерентностью называется согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.

Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени.

Гармонические волны, имеющие одинаковую частоту, когерентны всегда. Интерференцией волн называется явление наложения волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками, колеблющимися с одинаковыми амплитудой А₀, частотой со и постоянной разностью фаз

где r₁ и r₂ — расстояния от источников до рассматриваемой точки, к — волновое число, φ₁ и φ₂ — начальные фазы волн.

Амплитуда результирующей волны

Поскольку для когерентных источников 𝜑₁+𝜑₂=const, то результат

интерференции двух волн зависит от величины (r₁-r₂), называемой

Интерференционный максимум наблюдается в точках, где (т = 0,1,2. ).

Числа (m=0,1,2. ) называются порядком интерференционного максимума.

Интерференционный минимум наблюдается в точках,ГД е (m=0,1, 2. ).

Числа (m= 0,1,2. ) называются порядком интерференционного минимума.

45. Стоячие волны.

Особым случаем интерференции являются стоячие волны. Стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Пусть две плоские бегущие волны с одинаковыми амплитудами и частотами распространяются навстречу друг другу вдоль оси х

Сложив эти уравнения, с учетом cos(𝛼±𝛽)=cosαcos𝛽±sinαsinβ и k=2𝜋/λ, получим уравнение стоячей волны

В точках среды, где
(m = 0,1,2. ) амплитуда стоячей волны достигает максимального значения A_СТ=2A

Такие точки называются пучностями cтоячей волны.

В точках среды, где

(т = 0,1,2. ), амплитуда стоячей обращается в нуль A_СТ=2A. Такие точки называются узлами стоячей волны.

Координаты узлов: .

Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны λ бегущих волн. Эту

величину называют длиной стоячей волны

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн.

Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то на границе сред образуется пучность.

Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, то на границе сред образуется узел стоячей волны.

46. Эффект Доплера.

Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. В акустике эффект Доплера проявляется как повышение тона при приближении источника звука к приемнику и понижения тона звука при удалении источника от приемника.

Пусть источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; υ_i и υ_p — скорости источника и приемника (положительны при сближении и

отрицательны при удалении источника и приемника); n₀ — частота колебаний источника; υ- скорость распространения звука в данной среде.

a. Источник и приемник покоятся относительно среды.

. Длина волны . Распространяясь в среде, волна

достигнет приемника и вызовет его колебания с частотой .

b. Приемник приближается к источнику, а источник покоится.

. Скорость распространения волны относительно приемника

станет равной , при этом длина волны не меняется, следовательно

Частота колебаний, воспринимаемых приемником увеличится.

c. Источник приближается к приемнику, а приемник покоится.

. Скорость распространения колебаний υ зависит только от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние . Источник же пройдет расстояние . Поэтому к моменту окончания излучения волны длина волны в направлении движения сократится и станет . Частота колебаний которые воспринимает приемник, увеличится

d. Источник и приемник движутся друг относительно друга.

Этот случай обобщает два предыдущих. Частота колебаний, воспринимаемых приемником.

Верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.

Если направления скоростей не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле надо брать их проекцию на направление этой прямой.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫН ВОЛНЫ.

47. Электромагнитные волны.

Электромагнитные волны — это переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью.

Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений

Максвелла

Дата добавления: 2014-10-31 ; просмотров: 689 ; Нарушение авторских прав

Лекция № 5 Свободные электромагнитные колебания

СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Выписка из рабочей программы дисциплины «Колебания и волны» – 010900

2.1 Свободные электромагнитные колебания.

Колебательный контур. Процессы в идеализированном колебательном контуре. Электромагнитные гармонические колебания. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний и его решение. Собственная частота свободных электромагнитных колебаний. Формула Томсона. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре.

1. Свободные электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания представляют собой взаимосвязанные периодические изменения зарядов, токов, характеристик электрического и магнитного полей, сопровождающиеся взаимными превращениями этих полей.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из конденсатора ёмкостью и катушки индуктивностью .

Если сопротивление контура равно нулю, колебательный контур называют идеальным. В идеальном колебательном контуре отсутствуют потери энергии, поэтому собственные колебания, возникающие в нем, являются незатухающими.

Рассмотрим процесс возникновения свободных незатухающих колебаний в идеальном колебательном контуре. Чтобы возбудить колебания, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд, а потом замкнуть ключ К (рис.1).

Пусть в начальный момент времени () конденсатору сообщили некоторый заряд . При этом напряжение между его обкладками , напряженность электрического поля и энергия электрического поля – максимальны, а ток в цепи отсутствует (рис. 2,а). Затем начинается разряд конденсатора. Возникающий при этом разрядный ток, проходя через катушку , создает в ней изменяющееся магнитное поле, которое продолжает расти до тех пор, пока ток не достигает максимального значения . При этом вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки , а индукция магнитного поля достигает максимума (рис. 2,б). Несмотря на то, что конденсатор полностью разрядился, ток в колебательном контуре не прекращается и поддерживается э. д.с. самоиндукции, что в итоге приведет к перезарядке конденсатора. При этом заряд конденсатора, напряжение между обкладками, напряженность и энергия электрического поля вновь достигают максимальных значений, однако полярность обкладок конденсатора и направление напряженности электрического поля между ними противоположны тем, какие были в начальный момент времени (рис. 2, в). По окончании перезарядки энергия магнитного поля катушки перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Начиная с этого момента, ток в контуре меняет направление, и процесс воспроизводится в обратном направлении (рис. 2, г). Система возвращается в исходное состояние (рис. 2, д), и начинается следующий период колебаний.

В контуре возникают электромагнитные колебания, при которых происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот. Рисунок 2 представляет собой график зависимости заряда конденсатора от времени , , на котором значениям заряда в моменты времени сопоставлены соответствующие состояния колебательного

контура (а; б; в; г; д).

Так как сопротивление контура равно нулю, т. е. нет потерь энергии, такой процесс должен продолжаться бесконечно, а возникающие колебания называются собственными или свободными.

Период собственных незатухающих колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона

, (5)

а циклическая частота

. (6)

Колебания заряда происходят по гармоническому закону

, (7)

где – максимальный заряд на обкладках конденсатора;

– циклическая частота собственных колебаний;

– начальная фаза.

На рисунках 3 и 4 представлены соответственно идеальный колебательный контур и график зависимости при .

Очевидно, что изменение напряжения между обкладками описывается таким же законом

(8)

где – максимальное напряжение между обкладками конденсатора.

Так как электрический ток характеризует скорость изменения заряда на обкладках конденсатора,

(9)

где – амплитуда силы тока.

Из выражений (7), (8), (9) следует, что колебания заряда (напряжения) и тока в контуре сдвинуты по фазе на , т. е. ток достигает максимального значения в те моменты времени, когда заряд и напряжение на обкладках конденсатора равны нулю, и наоборот. Этот же вывод следует из анализа рис. 2 (а, б, в, г, д).

Идеальный колебательный контур (рис. 3), в котором происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, представляет собой электрическую цепь, состоящую из конденсатора емкостью и катушки индуктивности . Запишем для этого замкнутого контура второе правило Кирхгофа: сумма падений напряжений равна сумме э. д.с., действующих в контуре.

В контуре действует только одна э. д.с. – э. д.с. самоиндукции, следовательно

,

где – падение напряжения на конденсаторе;

– мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора;

.

Так как , , то дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний может быть записано в виде

,

,

где – собственная циклическая частота контура.

Уравнение колебаний принимает вид

и называется уравнением свободных незатухающих электромагнитных колебаний в дифференциальной форме.

Из математики известно, что решение этого уравнения имеет вид

,

т. е. соответствует формуле (7) и рис. 4 (при ).

Таким образом, свободные незатухающие электромагнитные колебания являются гармоническими, а их период определяется формулой Томсона:

2. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре

Исключительно важным является вопрос об энергии гармонических колебаний. С энергетической точки зрения гармоническое колебание представляет собой непрерывный процесс перехода кинетической энергии движущихся частей осциллятора в потенциальную энергию упругого элемента. Полная энергия гармонического осциллятора есть величина постоянная, так как для него потерь нет. Она равна либо максимальной кинетической энергии ( в момент прохождения положения равновесия) , либо максимальной потенциальной энергии (при амплитудном смешении). В задачах используются именно эти энергии, так как с их помощью можно оценить величину амплитуды и частоты собственных колебаний осциллятора.

Расчет энергии W гармонического осциллятора осуществляют стандартным образом. Для механических осцилляторов:

Уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний.

Для возбуждения в контуре колебаний предварительно заряжают конденсатор, сообщая его обкладкам заряд ±q. Тогда в начальный момент времени t=0 (рис. 19, а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле. Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, конденсатор начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. Когда конден­сатор полностью разрядится, энергия электрического поля конденсатора полностью перейдет в энер­гию магнитного поля катушки (рис. 19, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать, и, следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, тогда в ней согласно закону Фарадея индуцируется ток, который течет в соответствии с правилом Ленца в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся осла­бить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис. 19, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 19, г), и система к моменту времени t=Т (Т – период колебаний) придет в первоначальное состояние (рис. 19, а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разряд­ки и зарядки конденсатора, то есть начнутся периодические незатухающие колебания величины заряда q на обкладках конденсатора, напряжения U_C на конденсаторе и силы тока I, текущего через катушку индуктивности. Согласно закону Фарадея напряжение U_C на конденсаторе определяется скоростью изменения силы тока в катушке индуктивности идеального контура, то есть :

.

Исходя из того, что U_C=q/C, а I=dq/dt, получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

или .

Решением этого дифференциального уравнения является функция q(t), то естьуравнение свободных незатухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

,

где q(t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;

q₀ – амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора;

– круговая (или циклическая) частота колебаний ( ) ;

=2 /T (T – период колебаний, –формула Томсона);

– фаза колебаний в момент времени t;

– начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в момент времени t=0.

Уравнение свободных затухающих гармонических колебаний.В реальном колебательном контуре учитывается, что кроме катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С, в цепи также имеется резистор сопротивлением R,отличным от нуля, что является причиной затухания колебаний в реальном колебательном контуре. Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.

Для цепи реального колебательного контура напряжения на последовательно включенных конденсаторе емкостью С и резисторе сопротивлением R складываются. Тогда с учетом закона Фарадея для цепи реального колебательного контура можно записать:

,

где – электродвижущая сила самоиндукции в катушке;

IR – напряжения на резисторе.

Исходя из того, что I=dq/dt, получаем дифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

или ,

где – коэффициент затухания колебаний ( ) , .

Решением полученного дифференциального уравнения является функция q(t), то естьуравнение свободных затухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

,

где q(t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;

– амплитуда затухающих колебаний заряда в момент времени t ;

q₀ – начальная амплитуда затухающих колебаний заряда;

– круговая (или циклическая) частота колебаний ( );

– фаза затухающих колебаний в момент времени t;

– начальная фаза затухающих колебаний.

Период свободных затухающих колебаний в реальном колебательном контуре :

.

Вынужденные электромагнитные колебания. Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо в процессе колебаний компенсировать потери энергии. Такая компенсация в реальном колебательном контуре возможна с помощью внешнего периодически изменяющегося по гармоническому закону переменного напряжения U(t):

.

В этом случае дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебанийпримет вид:

или .

Решением полученного дифференциального уравнения является функция q(t):

.

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являют­ся гармоническими, а амплитуда и фаза колебаний определяются следующими выражениями:

; .

Отсюда следует, что амплитуда колебаний величины заряда имеет максимум при резонансной частоте внешнего источника :

.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего переменного напряжения к ча­стоте, близкой частоте , называется резонансом.

Тема 10. Электромагнитные волны

Согласно теории Максвелла электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость распространения которых определяет­ся выражением:

,

где и – соответственно электрическая и магнитная постоянные,

e и m – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды,

с – скорость света в вакууме ( ) .

В вакууме (e = 1, m = l) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью света( с ), что согласуется с теорией Максвелла о том,

что свет представляет собой электромагнитные волны.

По теории Максвелла электромагнитные волны являются поперечными,то есть век­торы и напряженностей электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору

скорости рас­пространения волны, причем векторы , и образуют правовинтовую систему (рис. 20).

Из теории Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы и колеблются в одинаковых фазах (рис. 20), то есть значения напряженностей Е и Н электрического и магнитного полей одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль, причем мгновенные значения Е и Н связаны соотношением: .

Уравнение плоской монохроматической электромагнитной волны (индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей в соответствии с рис. 20):

,

,

где E₀ и Н₀– соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнит­ного полей,

w – круговая частота волны, (T – период колебаний),

k – волновое число, ( – длина волны),

j – на­чальная фаза колебаний (на­чальная фаза колебаний j имеет одинаковое значение как для колебания электрического, так и магнитного векторов, так как в электромаг­нитной волне эти колебания происходят в одинаковых фазах).

Энергия электромагнитных волн. Электромагнитные волны переносят энергию. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей w_эл электрического и w_м магнитного полей:

.

Учитывая выражение связи между величинами Е и Н , можно получить, что суммарная плотность энергии электрического и маг­нитного полей:

.

Умножив плотность энергии w на скорость распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии:

.

Tax как векторы и взаимно перпендикулярны, то произведение EH совпадает с модулем вектора ( – векторное произведение векторов и ). Кроме того, направление вектора совпадает с направлением распространения волны, то есть с направлением переноса энергии, что позволило ввести вектор ,равныйвекторному произведению , как вектор плотности потока электромагнитной энергии, называемыйвектором Умова–Пойнтинга:

.

Итак, вектор направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.