Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний решение

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний решение

1.Свободные механические и электрические колебания. Дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решения.

Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний:

Гармоническими называются колебания, происходящие по законам синуса или косинуса.

— амплитуда колебаний – максимальное смещение колеблющейся величины относительно положения равновесия.

— фаза колебаний. Показывает, какая часть колебаний завершена к данному моменту времени.

— начальная фаза колебаний.

Математический маятник — механическая система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длины l.

Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины жёсткостью k, один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Свободные электромагнитные колебания:

(идеальная катушка)

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих коле­баний

Здесь х — смещение колеблющейся материальной точки, t — время,

где А — амплитуда колебаний, фаза колебаний, φ₀ — начальная фаза колебаний φ= φ₀ при t=0, ω₀— круговая частота колебаний.

, где k — коэффициент квази­упругой силы (F= — kx), возникающей в системе при выходе ее из положения равновесия.

Период колебаний:

где L — длина маятника, g — ускорение свободного падения;

где k — жесткость пружины;

где J — момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса; L— расстояние между точкой подвеса и центром массы маятника.

Приведенная длина физического маятника

Скорость материальной точки, совершающей гармонические ко­лебания,

где Aω₀=V_max –амплитуда скорости.

Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях:

где -амплитуда ускорения.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания

Рассмотрим свободные затухающие коле­бания— колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебатель­ной системой с течением времени умень­шается. Простейшим механизмом умень­шения энергии колебаний является ее пре­вращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах,

а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электриче­ских колебательных системах.

Закон затухающих колебаний опреде­ляется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные систе­мы— идеализированные реальные систе­мы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе про­цесса не изменяются. Линейными система­ми являются, например, пружинный маят­ник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колеба­тельный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различ­ные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что по­зволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моде­лирование, в том числе и на ЭВМ.

Дифференциальное уравнение свобод­ных затухающих колебанийлинейной системы задается в виде

где s — колеблющаяся величина, описы­вающая тот или иной физический про­цесс, d=const — коэффициент затухания,w₀ — циклическая частота свободных не­затухающих колебаний той же колебатель­ной системы, т. е. при d=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотойколебательной системы.

Решение уравнения (146.1) рассмот­рим в виде

где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим

Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели­чиной. Рассмотрим случай, когда этот ко­эффициент положителен:

w 2 =w 2 ₀-d 2 (146.4)

(если (w 2 -d 2 )>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим урав­нение типа (142.1)

решением которого является функция и=А₀cos(wt+j)

Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (d 2 2 ₀)

— амплитуда затухающих колебаний,а

a₀— начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис.208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штри­ховыми линиями. Промежуток времени t=1/d, в течение которого амплитуда за­тухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колеба­ния не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие перио­да или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться по­нятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимума­ми (или минимумами) колеблющейся фи­зической величины (рис. 208). Тогда пери­од затухающих колебаний с учетом формулы

Если A(t) и A(t+T)— амплитуды двух последовательных колебаний, соответству­ющих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его

— логарифмическим декрементом затуха­ния;N_e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротно­стиQ, которая при малых значениях лога­рифмического декремента равна

(так как затухание невелико (d 2 2 ₀), то Т принято равным Т₀).

Из формулы (146.8) следует, что до­бротность пропорциональна числу колеба­ний N_e, совершаемых системой за время релаксации.

Применим выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линей­ных систем, для колебаний различной фи­зической природы — механических (в ка­честве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический коле­бательный контур).

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника.Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершаю­щего малые колебания под действием уп­ругой силы F=-kx, сила трения про­порциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления;знак минус указывает на противоположные на­правления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Используя формулу w₀=Ök/m (см. (142.2)) и принимая, что коэффици­ент затухания

получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний, маятника:

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что маятник колеблется по закону

х=A₀е — d t cos(wt+j) с частотой w=Ö(w 2 ₀-r2/4m 2 ) (см. (146.4)).

Добротность пружинного маятника,

согласно (146.8) и (146.10), Q=1/rÖkm.