Дифференциальное уравнение свободных незатухающих механических
1.Свободные механические и электрические колебания. Дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решения.
Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний:
Гармоническими называются колебания, происходящие по законам синуса или косинуса.
— амплитуда колебаний – максимальное смещение колеблющейся величины относительно положения равновесия.
— фаза колебаний. Показывает, какая часть колебаний завершена к данному моменту времени.
— начальная фаза колебаний.
Математический маятник — механическая система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длины l.
Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины жёсткостью k, один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.
Свободные электромагнитные колебания:
(идеальная катушка)
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний
Здесь х — смещение колеблющейся материальной точки, t — время,
где А — амплитуда колебаний, фаза колебаний, φ0 — начальная фаза колебаний φ= φ0 при t=0, ω0— круговая частота колебаний.
, где k — коэффициент квазиупругой силы (F= — kx), возникающей в системе при выходе ее из положения равновесия.
Период колебаний:
где L — длина маятника, g — ускорение свободного падения;
где k — жесткость пружины;
где J — момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса; L— расстояние между точкой подвеса и центром массы маятника.
Приведенная длина физического маятника
Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания,
где Aω0=Vmax –амплитуда скорости.
Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях:
где -амплитуда ускорения.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания
Рассмотрим свободные затухающие колебания— колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах,
а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.
Закон затухающих колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы— идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейными системами являются, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колебательный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моделирование, в том числе и на ЭВМ.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийлинейной системы задается в виде
где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, d=const — коэффициент затухания,w0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при d=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотойколебательной системы.
Решение уравнения (146.1) рассмотрим в виде
где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим
Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:
w 2 =w 2 0-d 2 (146.4)
(если (w 2 -d 2 )>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим уравнение типа (142.1)
решением которого является функция и=А0cos(wt+j)
Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (d 2 2 0)
— амплитуда затухающих колебаний,а
a0— начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис.208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штриховыми линиями. Промежуток времени t=1/d, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.
Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 208). Тогда период затухающих колебаний с учетом формулы
Если A(t) и A(t+T)— амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение
называется декрементом затухания, а его
— логарифмическим декрементом затухания;Ne — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.
Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротностиQ, которая при малых значениях логарифмического декремента равна
(так как затухание невелико (d 2 2 0), то Т принято равным Т0).
Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за время релаксации.
Применим выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).
1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника.Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.
где r — коэффициент сопротивления;знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.
При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид
Используя формулу w0=Ök/m (см. (142.2)) и принимая, что коэффициент затухания
получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний, маятника:
Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что маятник колеблется по закону
х=A0е — d t cos(wt+j) с частотой w=Ö(w 2 0-r2/4m 2 ) (см. (146.4)).
Добротность пружинного маятника,
согласно (146.8) и (146.10), Q=1/rÖkm.
http://mydocx.ru/6-118533.html
http://allrefrs.ru/1-25816.html