Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний
Здесь х — смещение колеблющейся материальной точки, t — время,
где А — амплитуда колебаний, фаза колебаний, φ0 — начальная фаза колебаний φ= φ0 при t=0, ω0— круговая частота колебаний.
, где k — коэффициент квазиупругой силы (F= — kx), возникающей в системе при выходе ее из положения равновесия.
Период колебаний:
где L — длина маятника, g — ускорение свободного падения;
где k — жесткость пружины;
где J — момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса; L— расстояние между точкой подвеса и центром массы маятника.
Приведенная длина физического маятника
Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания,
где Aω0=Vmax –амплитуда скорости.
Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях:
где -амплитуда ускорения.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания
Рассмотрим свободные затухающие колебания— колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах,
а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.
Закон затухающих колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы— идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейными системами являются, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колебательный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моделирование, в том числе и на ЭВМ.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийлинейной системы задается в виде
где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, d=const — коэффициент затухания,w0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при d=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотойколебательной системы.
Решение уравнения (146.1) рассмотрим в виде
где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим
Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:
w 2 =w 2 0-d 2 (146.4)
(если (w 2 -d 2 )>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим уравнение типа (142.1)
решением которого является функция и=А0cos(wt+j)
Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (d 2 2 0)
— амплитуда затухающих колебаний,а
a0— начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис.208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штриховыми линиями. Промежуток времени t=1/d, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.
Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 208). Тогда период затухающих колебаний с учетом формулы
Если A(t) и A(t+T)— амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение
называется декрементом затухания, а его
— логарифмическим декрементом затухания;Ne — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.
Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротностиQ, которая при малых значениях логарифмического декремента равна
(так как затухание невелико (d 2 2 0), то Т принято равным Т0).
Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за время релаксации.
Применим выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).
1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника.Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.
где r — коэффициент сопротивления;знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.
При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид
Используя формулу w0=Ök/m (см. (142.2)) и принимая, что коэффициент затухания
получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний, маятника:
Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что маятник колеблется по закону
х=A0е — d t cos(wt+j) с частотой w=Ö(w 2 0-r2/4m 2 ) (см. (146.4)).
Добротность пружинного маятника,
согласно (146.8) и (146.10), Q=1/rÖkm.
Лекция № 5 Свободные электромагнитные колебания
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Выписка из рабочей программы дисциплины «Колебания и волны» – 010900
2.1 Свободные электромагнитные колебания.
Колебательный контур. Процессы в идеализированном колебательном контуре. Электромагнитные гармонические колебания. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний и его решение. Собственная частота свободных электромагнитных колебаний. Формула Томсона. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре.
1. Свободные электромагнитные колебания
Электромагнитные колебания представляют собой взаимосвязанные периодические изменения зарядов, токов, характеристик электрического и магнитного полей, сопровождающиеся взаимными превращениями этих полей.
Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из конденсатора ёмкостью и катушки индуктивностью .
Если сопротивление контура равно нулю, колебательный контур называют идеальным. В идеальном колебательном контуре отсутствуют потери энергии, поэтому собственные колебания, возникающие в нем, являются незатухающими.
Рассмотрим процесс возникновения свободных незатухающих колебаний в идеальном колебательном контуре. Чтобы возбудить колебания, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд, а потом замкнуть ключ К (рис.1).
Пусть в начальный момент времени () конденсатору сообщили некоторый заряд . При этом напряжение между его обкладками , напряженность электрического поля и энергия электрического поля – максимальны, а ток в цепи отсутствует (рис. 2,а). Затем начинается разряд конденсатора. Возникающий при этом разрядный ток, проходя через катушку , создает в ней изменяющееся магнитное поле, которое продолжает расти до тех пор, пока ток не достигает максимального значения . При этом вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки , а индукция магнитного поля достигает максимума (рис. 2,б). Несмотря на то, что конденсатор полностью разрядился, ток в колебательном контуре не прекращается и поддерживается э. д.с. самоиндукции, что в итоге приведет к перезарядке конденсатора. При этом заряд конденсатора, напряжение между обкладками, напряженность и энергия электрического поля вновь достигают максимальных значений, однако полярность обкладок конденсатора и направление напряженности электрического поля между ними противоположны тем, какие были в начальный момент времени (рис. 2, в). По окончании перезарядки энергия магнитного поля катушки перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Начиная с этого момента, ток в контуре меняет направление, и процесс воспроизводится в обратном направлении (рис. 2, г). Система возвращается в исходное состояние (рис. 2, д), и начинается следующий период колебаний.
В контуре возникают электромагнитные колебания, при которых происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот. Рисунок 2 представляет собой график зависимости заряда конденсатора от времени , , на котором значениям заряда в моменты времени сопоставлены соответствующие состояния колебательного
контура (а; б; в; г; д).
Так как сопротивление контура равно нулю, т. е. нет потерь энергии, такой процесс должен продолжаться бесконечно, а возникающие колебания называются собственными или свободными.
Период собственных незатухающих колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона
, (5)
а циклическая частота
. (6)
Колебания заряда происходят по гармоническому закону
, (7)
где – максимальный заряд на обкладках конденсатора;
– циклическая частота собственных колебаний;
– начальная фаза.
На рисунках 3 и 4 представлены соответственно идеальный колебательный контур и график зависимости при .
Очевидно, что изменение напряжения между обкладками описывается таким же законом
(8)
где – максимальное напряжение между обкладками конденсатора.
Так как электрический ток характеризует скорость изменения заряда на обкладках конденсатора,
(9)
где – амплитуда силы тока.
Из выражений (7), (8), (9) следует, что колебания заряда (напряжения) и тока в контуре сдвинуты по фазе на , т. е. ток достигает максимального значения в те моменты времени, когда заряд и напряжение на обкладках конденсатора равны нулю, и наоборот. Этот же вывод следует из анализа рис. 2 (а, б, в, г, д).
Идеальный колебательный контур (рис. 3), в котором происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, представляет собой электрическую цепь, состоящую из конденсатора емкостью и катушки индуктивности . Запишем для этого замкнутого контура второе правило Кирхгофа: сумма падений напряжений равна сумме э. д.с., действующих в контуре.
В контуре действует только одна э. д.с. – э. д.с. самоиндукции, следовательно
,
где – падение напряжения на конденсаторе;
– мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора;
.
Так как , , то дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний может быть записано в виде
,
,
где – собственная циклическая частота контура.
Уравнение колебаний принимает вид
и называется уравнением свободных незатухающих электромагнитных колебаний в дифференциальной форме.
Из математики известно, что решение этого уравнения имеет вид
,
т. е. соответствует формуле (7) и рис. 4 (при ).
Таким образом, свободные незатухающие электромагнитные колебания являются гармоническими, а их период определяется формулой Томсона:
2. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре
Исключительно важным является вопрос об энергии гармонических колебаний. С энергетической точки зрения гармоническое колебание представляет собой непрерывный процесс перехода кинетической энергии движущихся частей осциллятора в потенциальную энергию упругого элемента. Полная энергия гармонического осциллятора есть величина постоянная, так как для него потерь нет. Она равна либо максимальной кинетической энергии ( в момент прохождения положения равновесия) , либо максимальной потенциальной энергии (при амплитудном смешении). В задачах используются именно эти энергии, так как с их помощью можно оценить величину амплитуды и частоты собственных колебаний осциллятора.
Расчет энергии W гармонического осциллятора осуществляют стандартным образом. Для механических осцилляторов:
http://allrefrs.ru/1-25816.html
http://pandia.ru/text/80/142/13117.php