Дифференциальное уравнение теплоотдачи в пограничном слое имеет вид

Теплоотдача при ламинарном пограничном слое

Для расчета теплоотдачи при ламинарном слое используем интегральное уравнение теплового потока для теплового пограничного слоя:

Чтобы рассчитать теплоотдачу, необходимо знать распределение скорости в слое. В случае ламинарного пограничного слоя распределение скорости в нем близко к параболе (кубическая парабола):

w_х = а + bу + су 2 + dу 3 (a)

Уравнение распределения скорости должно удовлетворять граничным условиям.

При у = 0 w_х = 0 (условие «прилипания»), полагаем также, что (¶ 2 w_х/¶у 2 ) = 0.

Уравнение (а) будет удовлетворять этим требованиям, если

Распределение скорости при этом примет вид:

(б)

При распределении скорости согласно (б) из интегрального уравнения импульсов

—

можно получить, что толщина гидродинамического пограничного слоя определяется выражением:

или в безразмерной форме

Таким образом, толщина d изменяется пропорционально корню квадратному из расстояния от переднего края пластины до данной точки. Чем больше вязкость, тем толще d. Чем выше скорость – тем меньше (тоньше) слой d.

Пограничные условия для температур:

При у = 0 u (здесь и ниже принято u = Т – Тс) и (¶u/¶у)_у=0 = const и Þ (¶ 2 u/¶у 2 ) = 0, если учесть, что в жидкости, непосредственно прилегающей к плоской стенке, теплота передается по у только теплопроводностью.

При у = k (на внешней границе теплового слоя) u = u₀ = const и (¶u/¶у)_у=k = 0.

То есть граничные условия получились аналогичны принятым ранее условиям для гидродинамического пограничного слоя.

В результате получаем, что распределение температуры описывается уравнением, аналогичным по форме записи уравнению распределения скорости

После подстановки в интегральное уравнение теплового потока и упрощений получили:

,

Тогда – то есть отношение k/d не зависит от х, а зависит только от числа Рr.

Для капельных жидкостей Рr ³ 1, Þd³ k.

Для газов Рr = 0,6 – 1 (для воздуха Рr » 0,7). При этомk>d.

Определим коэффициент теплоотдачи из уравнения , Þ _у=0 зная, что (это следует из производной), опуская знак ²-² получим:

(а)

Коэффициент теплоотдачи обратно пропорционален толщине пограничного слоя (чем меньше толщина k, тем больше a Þ лучше теплоотдачи).

Уравнение (а) можно привести к безразмерному виду (умножив левую и правую части на х/l и подставляя значение ):

(б)

Здесь Nu_x = ax/l = a /l x/ = Nu_еX; Re_x = w₀x/n = w₀ /n x/ = Re_еX; Pr = n/a; – длина пластины вдоль потока.

Формула (б) справедлива только при условии, что температура поверхности пластины постоянна, физические параметры жидкости, не зависят от температуры и в начале пластины нет необогреваемого участка.

Коэффициент теплоотдачи капельной жидкости зависит от рода жидкости, ее температуры, направления теплового потока. Особенно существенное влияние оказывает зависимость вязкости от температуры. При охлаждении жидкости, вязкость увеличивается, течение замедляется. Поэтому для жидкостей вводится поправка (Pr_ж/ Pr_с) 0,25 , которая учитывает влияние на теплообмен изменения вязкости. Для (Pr_ж/ Pr_с) 0,25 Þ 1.

Индекс «с» — означает, что Pr_с вычислен при температуре стенки; «ж» — при температуре жидкости вдали от стенки.

Переход ламинарного течения в турбулентное

1 – ламинарный пограничный слой; 2 – переходная область; 3 – турбулентный пограничный слой; 4 – вязкий (ламинарный) подслой.

Переход ламинарного течения в турбулентное происходит на некотором участке. Течение на этом участке имеет нестабильный характер и называется переходным.

Законы теплообмена при ламинарном и турбулентном режимах различны, поэтому определение их границ имеет большое значение.

О режиме течения судят по критическим значениям числа Re:

где х – продольная координата, отсчитываемая от передней кромки поверхности. Зная Re_кр1 и Re_кр2 можно определить х_кр1 и х_кр2, которые определяют соответственно начало разрушения ламинарного слоя и появления устойчивого турбулентного течения. Из опытных данных получено, что

На переход влияют такие характеристики внешнего источника, как степень турбулентности, масштаб турбулентности. При ускорении потока переход затягивается, при замедлении — наступает при меньших значениях х (или Re_х).

Кроме параметров внешнего потока на переход из ламинарного течения в турбулентное влияют параметры, связанные с омываемым теплом. Значения Re_кр1 и Re_кр2 зависят:

1) от интенсивности теплообмена;

2) от волнистости, шероховатости поверхности;

3) обтекаемости передней кромки пластины;

4) вибрации тела.

На рис. представлена зависимость критических чисел Рейнольдса от степени турбулентности набегающего потока

,

где v¢ 2 _x, v¢ 2 _y, v¢ 2 _z – средние во времени квадраты трех составляющих пульсации скорости; w₀ – скорость внешнего потока.

При сравнительно малых значениях Tu переход не зависит от степени турбулентности внешнего потока, а определяется характеристиками самого ламинарного слоя (его устойчивостью).

Увеличение Tu приводит к уменьшению Re_кр.

На практике сечение перехода можно определить по изменению осредненной во времени v_х (у). При турбулентном течении v_х резко увеличивается вблизи стенки, на удалении от нее v_х (у) становится более выровненной. Выравнивание объясняется турбулентным переносом кол-ва движения.

Теплоотдача при турбулентном пограничном слое

Перенос теплоты и количества движения поперек турбулентного пограничного слоя можно описать уравнениями:

q = — (l + l_т)× = — (l + rс_рe_q)× ,

S = (m + m_т)× = (m + re_s)× ,

где S – касательная сила трения; l_т, m_т – коэффициенты турбулентного переноса теплоты и кол-во движения; e_q = l_т/rс_р ,e_s = m_т/r — кинематические коэффициенты турбулентного переноса теплоты и кол-ва движения.

Эти уравнения можно переписать в виде:

q = — l(1 + )× (1)

S = rn(1 + e_s/n)× (2)

Величину Pr_т – называется турбулентным числом Прандтля. С учетом (1) и (2) дифференциальное уравнение энергии и движения для турбулентного пограничного слоя примут вид

= а [(1 + ) ], (3)

= n [(1 + e_s/n) ]. (4)

Если Pr = 1 (а = n) и Pr_т = 1, то уравнения (3) и (4) идентичны. В этом случае при идентичных граничных условиях поля температуры u и скорости v_х будут подобны.

Для того, чтобы проинтегрировать уравнение (3) и (4), необходимо иметь сведения о коэффициентах турбулентного переноса теплоты e_s и e_q.

Опыты показывают сложность движения в турбулентном слое:

А Б dп I

Рис. Турбулентный пограничный слой А – внешняя область; Б – пристенная область (I – вязкий подслой (ламинарный); II – промежуточный слой). Пульсации, особенно крупномасштабные (низкочастотные), проникают в вязкий подслой, где их течение регламентируется

вязкими силами. Поэтому граница подслоя четко не определена. Наиболее высокая интенсивность турбулентности наблюдается в пристенной области Б. Внешняя граница турбулентного пограничного слоя непрерывно пульсирует. В зависимости от области характер переноса теплоты различен.

Аналогично вязкому подслою непосредственно у стенки наблюдается тепловой подслой.

Он характеризуется преобладанием теплоты теплопроводностью над турбулентным переносом.

При Pr = 1 толщина вязкого подслоя d_п и теплового k_п совпадают.

Поскольку в тепловом подслое перенос теплоты определяется теплопроводностью, то изменение температуры по его толщине описывается уравнением прямой (как для плоской стенки). В остальной части турбулентного слоя температура распределяется по логарифмическому закону.

Зная распределение скоростей и температуры, можно рассчитать теплоотдачу с помощью интегральных уравнений теплового потока и импульса.

На основе эмпирических данных и вычислений был получен безразмерный комплекс – число Стантона

St º

При Pr = 1 и Pr_т = 1 – получаем аналогию переноса теплоты и кол-ва движения. На основе опытных данных получена формула

За определяющую принята температура жидкости вдали от тела Т₀ (за исключениемPr_с, выбираемого по температуре Т_с – стенки). Определяющим размером является координата х, отсчитываемая от начала участка теплообмена.

Рис. а – ламинарное течение; б – смешанное (переходное); в — турбулентное течение

Посмотрим как изменяется коэффициент теплоотдачи вдоль пластины.

Если вся пластина занята турбулентным слоем (в случае высокой стенки турбулентности набегающего потока, плохой обтекаемости пластины и т.п.), то коэффициент a изменяется в соответствии с кривой 1. при наличии на передней части пластины ламинарного пограничного слоя коэффициент a изменяется по более сложному закону. В этом случае теплоотдачу необходимо рассчитывать отдельно для участков с различными режимами течения.

Теплоотдача

7.1.1.Основной закон теплоотдачи

Понятие конвективного теплообмена охватывает процесс переноса теплоты конвекцией между твердыми поверхностями и омывающими их теплоносителями. Теплоносителем, как правило, является либо жидкость, либо газ. Однако в качестве теплоносителей могут использоваться двух- или трехфазные системы: газ – жидкость; газ – твердые частицы; газ – жидкость – твердые частицы.

В теплоносителе с неоднородным полем температур при вынужденном или естественном перемещении макроскопических элементов наряду с конвекцией происходит процесс переноса тепла теплопроводностью.

Совместный процесс конвекции и теплопроводности называют конвективным теплообменом.

Конвективный теплообмен протекает как внутри теплоносителя, так и на границах его соприкосновения с поверхностями обтекаемых тел.

Конвективный теплообмен между теплоносителем и поверхностью обтекаемого им тела называют теплоотдачей.

Обычно в инженерной практике исследуют теплоотдачу, конвективный же теплообмен внутри теплоносителя при этом не рассматривается.

Тепловой поток при теплоотдаче всегда направлен в сторону меньшей температуры. В процессе теплоотдачи плотность теплового потока, согласно закону Ньютона, прямо пропорциональна температурному напору между теплоносителем и поверхностью теплообмена, т.е.

(7.1)

где α – коэффициент пропорциональности, называемый к о э ф ф и ц и е н-

т о м т е п л о о т д а ч и;

∆Т – температурный напор.

Здесь индексом m обозначена температура теплоносителя, индексом cm

– температура поверхности теплообмена (стенки).

Для произвольной поверхности при T_m > T_cm закон Ньютона запишется в виде:

. (7.2)

Значения F, T_m и T_cm в уравнении (6.2) не отражают условий теплообмена, влияющих на величину . Здесь α не является физической постоянной, присущей данному теплоносителю, а зависит от множества факторов, формирующих картину течения около стенки. По этой причине простота уравнения (7.1) представляется кажущейся, и особенности его использования заключаются в сложности определения коэффициента теплоотдачи.

7.1.2. Факторы, влияющие на коэффициент теплоотдачи.

Величина коэффициента теплоотдачи характеризует интенсивность конвективного теплообмена на границе “теплоноситель-стенка”.

Численно коэффициент теплоотдачи равен тепловому потоку, приходящемуся на единицу поверхности при температурном напоре, равный единице, т.е.

Отсюда же следует и единица α – Вт/(м 2 × К).

Коэффициент теплоотдачи имеет весьма широкий диапазон численных значений, табл. 7.1.

Особенности теплоотдачи	.
Естественная конвекция газов	6…40
Вынужденное движение газов	12…120
Вынужденное движение пара в трубах	110…2200
Естественная конвекция воды	110…1100
Вынужденное движение воды	500…11000
Пузырьковое кипение воды	8500…18000
Конденсация водяного пара	4500…22000

На величину коэффициента теплоотдачи влияют, прежде всего, теплофизические свойства теплоносителя, его фазовое состояние, вид движения (естественное или вынужденное) и режим течения теплоносителя. Различают ламинарный, переходный и турбулентный режимы течения.

При ламинарном (слоистом) режиме макрочастицы жидкости движутся, не перемешиваясь, параллельно омываемым стенкам и траекториям других частиц. В силу внутреннего трения скорость теплоносителя переменна по сечению нормальному к поверхности. Так, для канала круглого сечения эпюра скорости имеет параболическую форму, рис.7.1, а Перенос тепла при ламинарном режиме движения происходит в осноном за счет теплопроводности теплоносителя и естественной конвекции.

При турбулентном режиме макрочастицы перемещаются по сложным траекториям, не совпадающим с общим направлением потока. Их движение неупорядоченное, хаотичное. Эпюра скорости имеет вид усеченной параболы, (см. рис. 7.1, б). Теплоотдача при турбулентном режиме течения теплоносителя отличается несравненно большей интенсивностью, чем при ламинарном режиме

Как при ламинарном, так и при турбулентном режимах движения скорость теплоносителя непосредственно на стенке равна нулю, а с увели -чением расстояния по нормали от стенки она возрастает.

Слой теплоносителя около поверхности тела, где скорость изменяется от нуля до величины, примерно равной 0,9 скорости невозмущенного потока, называют г и д р о д и н а м и ч е с к и м пограничным слоем и обозначают буквой δ_{д ,} рис.7.2.

Кроме того, необходимо отметить, что в турбулентном пограничном слое непосредственно у стенки имеется очень тонкий слой жидкости, движение в котором имеет ламинарный характер. Этот слой называют вязким, или л а м и н а р н ы м п о д с л о е м и обозначают δ_л (см. рис. 7.2, б).

Если температуры стенки и теплоносителя не одинаковы, то вблизи стенки образуется тепловой пограничный слой δ_т (см. рис.7.2, в). В нем температура изменяется от T_cm до ≈ T_m , т.е. все изменение температуры происходит в сравнительно тонком слое, непосредственно прилегающем к поверхности теплоотдачи. Значения толщин δ_д и δ_т в общем случае не равны, соотношение между ними зависит от рода жидкости. Однако изменения в δ_д приводят к изменениям δ_т. С увеличением скорости теплоносителя значения толщин δ_д , δ_т и δ_л уменьшаются.

При вынужденной конвекции режим течения оценивают по безразмерному комплексу, называемому критерием Рейнольдса. Для цилиндрического канала критерий Рейнольдса имеет вид:

где c — скорость течения теплоносителя,;

d — диаметр канала,;

ν — коэффициент кинематической вязкости,.

Течение теплоносителя в трубах принято считать ламинарным до

Re Re 10000 течение турбулентное.

Для того, чтобы качественно оценить влияние режима течения теплоносителя на коэффициент теплоотдачи, запишем уравнение теплоотдачи в дифференциальной форме.

Для слоя теплоносителя непосредственно на поверхности теплообмена по закону Фурье следует:

где n – нормаль к поверхности тела,.

С другой стороны, согласно закону Ньютона,

Приравнивая правые части этих уравнений, получим:

(7.3)

Уравнение (7.3) выражает условия теплоотдачи на границе “твердая стенка – теплоноситель”.

Чем больше скорость движения теплоносителя, тем меньше толщина пограничного слоя, тем больше градиент температуры и, следовательно, больше коэффициент теплоотдачи. Через толщину пограничного слоя на влияют форма и размер поверхности теплообмена.

Величина коэффициента теплоотдачи зависит от физических свойств теплоносителя.С увеличением плотностиρ, теплопроводности λ, теплоем-кости c_pи уменьшением вязкости ν коэффициент теплоотдачи возрастает.

Влияние температур T_m и T_cm на сказывается через их воздействие на физические свойства теплоносителя.

Таким образом, в самом общем виде коэффициент теплоотдачи является функцией многих факторов:

где X – характер движения теплоносителя;

Ф – форма поверхности теплообмена;

l – характерный геометрический размер;

c – скорость движения теплоносителя.

Для определения коэффициента теплоотдачи в зависимости от поста-

новки задачи могут использоваться следующие методы: экспериментальный,

аналитический и метод теплового подобия.

Чисто экспериментальный метод определения коэффициента теплоотдачи весьма прост и достоверен, так как требует опытного измерения

только трех величин: , T_m и T_cm. Отсюда

.

Этот метод широко используется при исследовании влияния различных факторов на интенсивность теплоотдачи в функционирующих теплообменных установках. Однако экспериментальный метод имеет существенный недостаток, состоящий в том, что полученное значение α не может быть рекомендовано для использования при расчетах устройства, характеристики которого хотя бы незначительно отличаются от характеристик опытной установки.

Аналитические методы основаны на теории пограничного слоя. Сущность этих методов состоит в составлении замкнутой системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс конвективного теплообмена в движущемся теплоносителе и последующем решении этой системы. Дифференциальные уравнения, описывающие конвективный теплообмен, устанавливают самую общую связь между величинами, характерными для этого процесса. Следовательно, эти дифференциальные уравнения являются математической моделью целого класса процессов теплообмена. Для получения частного решения эти уравнения дополняются условиями однозначности.

В большинстве случаев, из-за сложности математического описания профиля скорости в пограничном слое, решения, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям и условиям однозначности, весьма трудоемки.

Следовательно, если недостатком экспериментального метода определения α является невозможность распространения результатов опытов на другие условия теплообмена, отличающиеся от изученного, то недостатком аналитического метода является невозможность перейти от класса явлений конвективного теплообмена, характеризующегося дифференциальными уравнениями, к единичному, конкретному явлению. Каждый из этих методов в отдельности не может быть эффективно использован для решения практических задач.

В настоящее время для определения коэффициента теплоотдачи в основном используется метод теплового подобия, который объединяет в себе положительные стороны экспериментального и аналитического методов.