Дифференциальное уравнение теплопроводности для нестационарного трехмерного температурного поля

Лекция 4. Кондуктивный теплообмен

Лекция 4. КОНДУКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН.

4.1 Уравнение Фурье для трехмерного нестационарного

4.2 Коэффициент температуропроводности. Физический смысл

4.3 Условия однозначности – краевые условия

4.1 Уравнение Фурье для трехмерного нестационарного

Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами его характеризующими. Для установления такой зависимости при изучении довольно сложного процесса теплопроводности использованы методы математической физики, суть которых заключается в рассмотрении процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением — уравнением Фурье для трехмерного нестационарного температурного поля.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения:

— внутренние источники теплоты отсутствуют;

— тело однородно и изотропно;

— используется закон сохранения энергии – разность между количеством теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в элементарный объем за время dτ и вышедшей из него за то же время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.

В теле выделяется элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлениях осей x, y, z.

Рисунок 4.1 К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Через площадку dx·dy за время dτ, согласно гипотезе Фурье, проходит следующее количество теплоты:

. (4.1)

Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты:

(4.2)

где — температура второй грани, а величина определяет изменение температуры в направлении z.

После математических преобразований уравнение (4.2) запишется:

Приращение внутренней энергии в параллелепипеде в направлении оси z равно:

, после сокращения:

. (4.3)

Приращения энергии в параллелепипеде в направлениях осей x и y выразятся аналогичными уравнениями:

(4.4)

(4.5)

Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде равно:

(4.6)

С другой стороны, согласно закону сохранения энергии:

(4.7)

где — объем параллелепипеда; ρ – плотность вещества; с – массовая теплоемкость; — изменение температуры во времени.

Левые части уравнений (4.6) и (4.7) равны, поэтому:

. (4.8)

Величина называется коэффициентом температуропроводности и уравнение (4.8) записывают в виде:

(4.9)

Уравнение (4.9) называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным уравнением при изучении процессов теплопроводности и устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке температурного поля.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками теплоты внутри тела:

, (4.10)

qv – плотность теплового потока внутренних источников теплоты.

4.2 Коэффициент температуропроводности. Физический смысл

Из дифференциального уравнения теплопроводности или уравнения Фурье для трехмерного нестационарного температурного поля:

Следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине а.

Величина называется коэффициентом температуропроводности, является физическим параметром вещества и имеет единицу измерения . При одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет больший коэффициент температуропроводности. Так газы имеют малый, а металлы большой коэффициент температуропроводности.

В нестационарных тепловых процессах а характеризует скорость изменения температуры.

4.3 Условия однозначности – краевые условия

Дифференциальное уравнение теплопроводности (или система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена) описывают эти процессы в самом общем виде. Для изучения конкретного явления или группы явлений переноса теплоты теплопроводностью или конвекцией, необходимо знать: распределение температур в теле в начальный момент, температуру окружающей среды, геометрическую форму и размеры тела, физические параметры среды и тела, граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела или условия теплового взаимодействия тела с окружающей средой.

Все эти частные особенности объединяют в так называемые условия однозначности или краевые условия, которые включают:

1) Начальные условия. Задают условия распределения температур в теле и температуру окружающей среды в начальный момент времени τ = 0.

2) Геометрические условия. Задают форму, геометрические размеры тела и его положение в пространстве.

3) Физические условия. Задают физические параметры среды и тела.

4) Граничные условия могут быть заданы тремя способами.

Граничное условие I рода: задается распределение температуры на поверхности тела для любого момента времени;

Граничное условие II рода: Задается плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие III рода: задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой.

Законы конвективного теплообмена между поверхностью твердого тела и окружающей средой отличаются большой сложностью. В основу теории конвективного теплообмена положено уравнение Ньютона-Рихмана, устанавливающего связь между плотностью теплового потока на поверхности тела q и температурным напором (tcт – tж), под воздействием которого и происходит теплоотдача на поверхности тела:

q = α·(tcт – tж), Вт/м2 (4.11)

В этом уравнении α – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/м2·град.

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Он численно равен количеству теплоты отдаваемой (или воспринимаемой) единицей поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в 1 градус. Коэффициент теплоотдачи зависит от очень многих факторов и его определение весьма затруднительно. При решении задач теплопроводности его значение, как правило, принимают постоянным.

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела окружающей среде в единицу времени вследствие теплоотдачи должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времен со стороны внутренних частей тела:

, (4.12)

где — проекция градиента температуры на направление нормали к площадке dF.

Приведенное равенство является математической формулировкой граничного условия III рода.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности (или системы уравнений для процессов конвективного теплообмена) при заданных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем теле для любого момента времени, т. е. найти функцию вида: t = f(x, y, z, τ).

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Теория теплообмена изучает процессы распространения теплоты в твердых, жидких и газообразных телах. Перенос теплоты может передаваться тремя способами:

Процесс передачи теплоты теплопроводностью происходит при непосредственном контакте тел или частицами одного тела с различными температурами и представляет собой молекулярный процесс передачи теплоты. При нагревании тела кинетическая энергия его молекул возрастает и частицы более нагретой части тела, сталкиваясь с соседними молекулами, сообщают им часть своей кинетической энергии.

Конвекция – это перенос теплоты при перемещении и перемешивании всей массы неравномерно нагретых макрочастиц жидкости или газа. При этом перенос теплоты зависит от скорости движения жидкости или газа прямо пропорционально. Этот вид передачи теплоты сопровождается всегда теплопроводностью. Одновременный перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом.

В инженерных расчетах часто определяют конвективный теплообмен между потоками жидкости или газа и поверхностью твердого тела. Этот процесс конвективного теплообмена называют конвективной теплоотдачей или просто теплоотдачей, а процесс переноса теплоты от одной жидкой среды к другой через разделяющую их твердую стенку – теплопередачей.

Процесс передачи теплоты внутренней энергии тела в виде электромагнитных волн называется тепловым излучением (радиацией). Совместный теплообмен излучением и теплопроводностью называют радиационно-кондуктивным теплообменом.

Совокупность всех трех видов теплообмена называется сложным теплообменом.

Процессы теплообмена могут происходить в различных средах – твердых телах, жидкостях, газах и разных смесях, при изменении и без изменения агрегатного состояния рабочих сред и т. д. В зависимости от этого теплообмен протекает по-разному и описывается различными уравнениями.

В первой части курса по тепломассообмену для студентов ИЭФ рассматривается передача тепла теплопроводностью. Решение задач теплопроводности проводится для однородных и изотропных тел, т. е. таких тел, которые обладают одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При передаче теплоты в твердом теле, температура тела будет изменяться как в пространстве, так и во времени.

Совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек пространства называется температурным полем:

.

Такое температурное поле называется нестационарным, т. е. соответствует неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности. Если температура тела является функцией только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным:

Изотермической поверхностью называется поверхность тела с одинаковой температурой.

Градиент температуры – это вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по нормали:

Количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность F в единицу времени, называется тепловым потоком – Q, [Вт=Дж/с].

Тепловой поток, проходящий через единицу площади называют плотностью теплового потока – [Вт/м 2 ].

Для твердого тела уравнение теплопроводности подчиняется закону Фурье: Тепловой поток, передаваемый теплопроводностью, пропорционален градиенту температуры и площади сечения перпендикулярного направлению теплового потока.

или

Коэффициент теплопроводности λ является физическим параметром вещества, характеризующим способность тела проводить теплоту.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для трехмерного нестационарного температурного поля при условии, что внутренние источники тепла отсутствуют, можно записать как

Коэффициент температуропроводности а зависит от рода вещества, давления и температуры. Для большинства веществ он определяется опытным путем, и для технических расчетов его значение берут из справочной литературы.

– оператор Лапласа.

В прямоугольной декартовой системе координат (x,y,z) он записывается в виде

а в цилиндрической (z, r, j) –

При решении задач нестационарной теплопроводности используются два безразмерных комплекса:

– число Фурье (характеризует безразмерное время).

– число Био (характеризует отношение внутреннего термического сопротивления , обусловленного теплопроводностью, к внешнему термическому сопротивлению , обусловленному конвекцией.

Задача 1

Определение количества тепла, проходящего через

плоскую стенку при граничных условиях I рода

Определить количество теплоты Q, проходящее через плоскую стенку, выложенную из красного кирпича. Длина стенки L, м, высота h, м, толщина соответствует 2,5 длины стандартного кирпича. Одна из поверхностей оштукатурена слоем d. На поверхностях стены поддерживаются температуры t_c1 и t_c2. Коэффициент теплопроводности кирпичной кладки l = 0,75 Вт/(м о С), коэффициент теплопроводности штукатурки l = 1,2 Вт/(м о С).

Решить задачу и ответить письменно на следующие вопросы:

1. Какие параметры задачи изменятся и почему, если слои поменять местами?

2. Как передается теплота в процессе теплопроводности? Сформулируйте основной закон теплопроводности.

3. Что такое тепловой поток, плотность теплового потока, температурное поле?

4. Каков закон распределения температуры по толщине плоской многослойной стенки?

5. Физический смысл коэффициента теплопроводности λ и его размерность.

Задача 2

Определение мощности электронагревателя для

Помещение с внутренними габаритами , где а – длина, b – ширина, h – высота, выполнено из панелей толщиной d. Материал панелей имеет коэффициент теплопроводности l. Какой мощности электронагреватель нужно установить, чтобы температура в помещении сохранялась на

уровне t_вн, если температура наружного воздуха t_н, а коэффициенты теплоотдачи соответственно на внутренних и внешних поверхностях панелей следующие:

a_c1 = 9 Вт/(м 2 ∙ о С), a_с2 = 20 Вт/(м 2 ∙ о С) (для стен);

a_п1 = 10 Вт/(м 2 ∙ о С), a_п2 = 4 Вт/(м 2 ∙ о С) (для пола);

a_пт1 = 8Вт/(м 2 ∙ о С), a_пт2 = 15 Вт/(м 2 ∙ о С) (для потолка).

Решить задачу и ответить письменно на следующие вопросы:

1. В чем отличие между теплопроводностью, конвективным теплообменом и излучением?

2. Какова математическая запись закона Фурье и закона Ньютона – Рихмана?

3. Физический смысл коэффициента теплоотдачи α и его размерность?

4. Что такое термическое сопротивление? Какова размерность величины термического сопротивления?

5. В чем отличие между термическими сопротивлениями теплоотдачи на поверхности плоской стенки и термическими сопротивлениями теплопроводности плоской стенки?

Задача 3

Расчет параметров изолированного трубопровода

По трубопроводу с размерами , где d₁ – внутренний диаметр трубы, а d₂ – наружный диаметр, течет горячая вода с температурой t_ж1. Температура окружающей среды t_ж2. Снаружи труба покрыта слоем изоляционного материала толщиной d с коэффициентом теплопроводности l₂, коэффициентом теплопроводности материала трубы l₁. Средние коэффициенты теплоотдачи с внутренней поверхности трубы и внешней изоляционного материала соответственно равны a₁, a₂. Определить количество теплоты, отдаваемой единицей длины трубы в окружающее пространство, а также температуры на внутренней и внешней поверхностях трубы.

Решить задачу и ответить письменно на следующие вопросы:

1. В чем отличие между коэффициентами теплопроводности, теплоотдачи, температуропроводности и теплопередачи? Какова их размерность, каков их физический смысл?

2. Какому закону соответствует распределение температуры в цилиндрической однослойной стенке?

3. Каким образом определяются тепловые потери с цилиндрической поверхности однослойной теплоизоляции при граничных условиях I рода?

4. Как определяется коэффициент теплопередачи для многослойной цилиндрической стенки при граничных условиях III рода?

5. Какова зависимость тепловых потерь трубопровода от наружного диаметра его теплоизоляции, если: а) критический диаметр теплоизоляции меньше наружного диаметра стальной трубы; б) критический диаметр теплоизоляции больше наружного диаметра стальной трубы?

Задача 4

Определение количества тепла, отдаваемого

Нагревательный прибор, выполненный в виде стальной цилиндрической трубы с оребренной поверхностью, имеет следующие характеристики: внутренний и наружный радиусы ребер постоянной толщины d соответственно равны r₁ и r₂, коэффициент теплоотдачи от поверхности ребра a_р, коэффициент теплоотдачи от неоребренной поверхности a_п, коэффициент теплопроводности стали l=50 Вт/(м о С), температура в основании ребра t₁. Определить количество теплоты_, отдаваемое всем прибором в окружающую среду с температурой t_ж1, если длина прибора ℓ, а количество ребер n.

Решить задачу и ответить письменно на следующие вопросы:

1. Напишите дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности в декартовой и цилиндрической системах. Каков физический смысл дифференциального уравнения теплопроводности?

2. Какие из перечисленных величин, характеризующих передачу теплоты через наружную поверхность цилиндра, не зависят от его диаметра: тепловой поток, поверхностная плотность теплового потока, линейная плотность теплового потока?

3. Какие условия должны быть определены (или заданы) для однозначного решения дифференциального уравнения теплопроводности?

4. Каким образом можно интенсифицировать процесс теплопередачи?

5. Как оребрение влияет на теплопередачу?

Задача 5

Определение времени нагревания вала до заданной температуры

Длинный стальной вал диаметром d = 2r_0, который имел температуру t₀, о С, был помещен в печь с температурой t_ж, о С. Определить время t, необходимое для нагрева вала, если нагрев считается законченным, когда температура на оси вала станет равной t _r=0 о C. Определить также температуру на поверхности вала t _r=r0 в конце нагрева.

Коэффициент теплопроводности и температуропроводности стали равны соответственно l и а. Коэффициент теплоотдачи к поверхности вала a. Для решения воспользоваться номограммами (прил. 3, 4).

Решить задачу и ответить письменно на следующие вопросы:

1. Чем нестационарное температурное поле отличается от стационарного?

2. Как записывается одномерное уравнение теплопроводности в декартовой и цилиндрической системах координат для нестационарного случая при условии, что внутренние источники тепла отсутствуют?

3. Какие методы используются для решения нестационарного уравнения теплопроводности?

4. Как определяется критерий Био и что характеризует?

5. Каким образом определяется относительная температура при решении задач нестационарной теплопроводности?

Задача 6

Определение количества тепла, отдаваемого валом и

температуры на его оси и поверхности при заданном времени охлаждения

Цилиндр диаметром d охлаждается в среде, имеющей постоянную температуру t_ж. В начальный момент времени температура цилиндра всюду была одинакова t₀. Коэффициент теплоотдачи во всех точках поверхности цилиндра в процессе охлаждения оставался постоянным и равным a.

Коэффициенты теплопроводности, температуропроводности и плотность материала соответственно равны l, а, r.

Определить количество тепла, которое будет отдано 1 пог. м цилиндра окружающей среде, и температуры на его оси и поверхности в течение 45 минут после начала охлаждения. Для решения воспользоваться соответствующими номограммами (прил. 3, 4).

Решить задачу и ответить письменно на следующие вопросы:

1. Приведите практические примеры нестационарных тепловых процессов.

2. Какие условия ставятся при решении нестационарных задач теплопроводности и как они записываются?

3. Как определяется критерий Фурье и что данный критерий характеризует?

4.Как записываются граничные условия на оси симметрии и поверхности цилиндрического стержня при решении задачи о его нагревании или охлаждении?

5. Как коэффициент теплоотдачи α влияет на время нагревания или охлаждения твердых тел?

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1

Определение количества теплоты Q,

проходящее через двухслойную плоскую стенку

Определить количество теплоты Q, Вт, проходящее через плоскую стенку, выложенную из красного кирпича. Длина стенки L = 4,5 м, высота H = 2,7 м, толщина соответствует 2,5 длины стандартного кирпича (d_кр=0,640 мм). Одна из поверхностей оштукатурена слоем d_ш = 22 мм. На поверхностях стены поддерживается температура t_с1 =20°С и t_с3 = –25 °С. Коэффициент теплопроводности кирпичной кладки l_кр = 0,75 Вт/(м×°С), коэффициент теплопроводности штукатурки l_ш=1,2 Вт/(м×°С). Найти значение температуры на границе соприкосновения кирпичной кладки и штукатурки.

Рис. 1. Схема двухслойной плоской стенки

Количество теплоты Q, проходящее через плоскую стенку в единицу времени, определяется по формуле

,

где q – плотность теплового потока, Вт/м 2 ; F – площадь поверхности, м 2 .

Плотность теплового потока определим как

Вычислим площадь поверхности:

Тогда количество теплоты будет равно

=39,225·12,15=476,58 Вт.

Задача 2

Определение теплопотерь через ограждающую

Помещение с внутренними габаритами , где а = 2,5 м – длина, b = 5,5 м – ширина, h = 6,6 м – высота, выполнено из панелей толщиной d = 0,7 м. Материал панелей имеет коэффициент теплопроводности l = 0,7 Вт/(м × o C).

Какой мощности электронагреватель нужно установить, чтобы температура в помещении сохранялась на уровне t_в = 19°С, если температура наружного воздуха t_н = –15 °С, а коэффициенты теплоотдачи соответственно на внутренних и внешних поверхностях панелей следующие:

a _п1=10 Вт/(м 2 × о С ), a _п2=4 Вт/(м 2 × о С) (для пола);

a _пт1=8 Вт/(м 2 × о С ), a _пт2=15 Вт/(м 2 × о С) (для потолка).

Рис. 2. Габариты помещения

Мощность электронагревателя должна быть такой, чтобы восполнять все теплопотери через ограждающие конструкции помещения:

.

Определим тепловые потери через ограждающие конструкции –

– плотность теплового потока

= ;

– площадь четырех стен

F=2·h (a+b) = ;

(a∙b)= (2,5∙5,5)=66,82 Вт;

в) через потолок:

(a∙b)= (2,5∙5,5)=68,86 Вт.

Необходимая мощность электронагревателя составит

Задача 3

Расчет теплопередачи через цилиндрическую стенку

По трубопроводу с размерами , где d₁ –внутренний диаметр трубы, равный 20 мм, а d₂ – наружный диаметр, равный 22 мм, течет горячая вода с температурой t_ж1=95 °С. Температура окружающей среды t_ж2=22 °С.

Снаружи труба покрыта слоем изоляционного материала толщиной d=10 мм с коэффициентом теплопроводности l₂=0,07 Вт/(м∙ ), коэффициентом теплопроводности материала трубы l₁=211 Вт/(м∙ ). Средние коэффициенты теплоотдачи с внутренней поверхности трубы и внешней изоляционного материала соответственно равны a₁=100 Вт/(м 2 ∙ ) и a₂ = 5000 Вт/(м 2 ∙ ). Определить количество теплоты, отдаваемой единицей длины трубы, в окружающее пространство, а также температуры на внутренней поверхности трубы и внешней поверхности изоляции.

Рис. 3. Схема двухслойной цилиндрической стенки

Найдем диаметр d₃ , определяющий внешнюю толщину трубы по формуле

Линейную плотность теплового потока при теплопередаче через двухслойную цилиндрическую стенку определим по формуле

Количество теплоты, отдаваемой единицей длины трубы (l =1м) в окружающее пространство, найдем по формуле

Температуру на внутренней поверхности стенки трубопровода определим по формуле

,

а на внешней поверхности изоляции можно либо по формуле

.

Задача 4

Расчет теплопередачи через оребренную стенку

Нагревательный прибор, выполненный в виде стальной цилиндрической трубы с оребренной поверхностью, имеют следующие характеристики: внутренний и наружный радиусы ребер постоянной толщины d=3 мм и соответственно равны R₁=140 мм и R₂=220 мм, коэффициент теплоотдачи от поверхности ребра a_р=20 Вт/(м 2 ∙ ), коэффициент теплоотдачи от неоребренной поверхности a_п =8 Вт/(м 2 ∙ ), коэффициент теплопроводности стали l=50 Вт/(м∙ ), температура в основании ребра t₁=60°С.

Определить количество теплоты, отдаваемое всем прибором в окружающую среду с температурой t₀ = 5 °С, если длина прибора l = 500 мм, а количество ребер n = 25 шт. При решении задачи необходимо воспользоваться таблицами для определения значений функции Бесселя (прил. 1, 2).

Рис. 4. Цилиндрическая труба с оребрением

Рис. 5. Схема оребрения трубы

Количество теплоты, отдаваемое поверхностью ребра в окружающую среду, будет равно количеству теплоты, подводимому к основанию ребра:

,

m – определяется по формуле

где a_р – коэффициент теплоотдачи от поверхности ребра, Вт/(м 2 × o C);

l – теплопроводность материала трубы, Вт/ (м× o C);

d _р – толщина ребра, м.

Избыточная температура θ₁ стержня определяется как

Количество тепла, отдаваемое всеми ребрами:

.

Функция y определяется с учетом поправки на радиус R₂, которая учитывается как :

Количества тепла, отдаваемое гладкой поверхностью между ребрами:

,

где F_с – площадь поверхности неоребренной стенки определяется по формуле

Теплота, отводимая от оребренной цилиндрической стенки в единицу времени, будет равна

Задача 5

Определение времени t, необходимое для нагрева вала, а также температуры на поверхности вала в конце нагрева

Длинный стальной вал диаметром d=120 мм, который имел температуру t₀=20 ºС, был помещен в печь с температурой t_ж=700 ºС. Определить время t, необходимое для нагрева вала, если нагрев считается законченным, когда температура на оси вала станет равной t_r=0=680 ºC. Определить также температуру на поверхности вала t_r=r0 в конце нагрева.

Коэффициент теплопроводности и температуропроводности стали равны соответственно l=59 Вт/(м׺C) и а=1,626×10 -5 м 2 /с. Коэффициент теплоотдачи к поверхности вала a=160 (Вт/м 2 × ºC) .

Рис. 6. Нагревание вала

Для определения температуры на оси и на поверхности цилиндра при нагревании (охлаждении) в среде с постоянной температурой воспользуемся графиком зависимости θ=F₁(Fо, Bi) (рис. 5) для оси цилиндра и графиком зависимости θ=F₂(Fо, Bi) (рис. 6) для поверхности цилиндра. Для этого необходимо определить число Bi, безразмерные температуры на оси цилиндра и на его поверхности по формулам:

Вi=

Безразмерную температуру на оси вала определим как:

,

где t_ж – температура окружающей вал среды; t_r=0 – температура на оси вала в конце нагрева; t₀ – температура на оси вала в начале нагрева.

По графику зависимости θ=F₁(Fо, Bi) (рис. 7 – прямая линия) для оси цилиндра определим число Фурье Fо, характеризующее безразмерное время Fо=11,7. Тогда время, необходимое для нагрева вала определится по формуле

,

с=43,17 мин.

Зная числа Фурье и Био, определим безразмерную температуру на поверхности цилиндра из графика зависимости θ=F₂(Fо, Bi) (рис. 8 – прямая линия) для поверхности цилидра θ _r=r0=0,028.

Рис. 7. Зависимость безразмерной температуры

на оси цилиндра от чисел Фурье и Био

Рис. 8. Зависимость безразмерной температуры

на поверхности цилиндра от чисел Фурье и Био

Выразим температуру на поверхности цилиндра из формулы:

;

о С.

Задача 6

Цилиндр диаметром d=600 мм охлаждается в среде, имеющей постоянную температуру t_ж=5 °С. В начальный момент времени температура цилиндра всюду была одинакова t₀=600 °С. Коэффициент теплоотдачи во всех точках поверхности цилиндра в процессе охлаждения оставался постоянным и равным a=160 Вт/(м 2 × о С).

Коэффициенты теплопроводности, температуропроводности и плотность материала соответственно равны

l=59 Вт/(м× о С ), а=1,626×10 -5 м 2 /с, r=7849 кг/м 3 .

Определить количество тепла, которое будет отдано 1 погонным метром цилиндра окружающей среде в течение 45 минут (2700 сек.) после начала охлаждения.

Найдем число Био и число Фурье:

Вi= ,

.

Зная Bi и Fo, определим безразмерные температуры на оси цилиндра и на его поверхности: θ_r=0=0,61; θ_r=r0=0,39 (рис. 7, 8 – пунктирная линия).

Тогда температуры на оси цилиндра и на его поверхности определятся по формулам:

;

о С;

;

о С.

Количество теплоты, отданное поверхностью цилиндра в окружающую среду, определим по формуле

где с – теплоемкость металла, из которого выполнен трубопровод, кДж/(кг· о С) (определяется по таблице теплофизических свойств металлов).

ПРИЛОЖЕНИЯ

Модифицированные функции Бесселя первого рода

Модифицированные функции Бесселя второго рода

X	K0(х)	K1(x)	X	K0(х)	K1(x)
0,0			2,2	0,089	0,108
0,1	2,447	9,854	2,3	0,078	0,0942
0,2	1,753	4,776	2,4	0,071	0,0832
0,3	1,373	3,056	2,5	0,062	0,0739
0,4	1,115	2,184	2,6	0,055	0,0660
0,5	0,924	1,656	2,7	0,049	0,0581
0,6	0,775	1,303	2,8	0,044	0,0503
0,7	0,661	1,050	2,9	0,039	0,0456
0,8	0,565	0,862	3,0	0,0347	0,0402
0,9	0,487	0,717	3,1	0,0314	0,0372
1,0	0,421	0,602	3,2	0,0283	0,0314
1,1	0,366	0,509	3,3	0,0251	0,0283
1,2	0,318	0,435	3,4	0,0220	0,0251
1,3	0,278	0,372	3,5	0,0196	0,0222
1,4	0,244	0,320	3,6	0,0173	0,0204
1,5	0,214	0,278	3.7	0,0157	0,0173
1,6	0,188	0,241	3,8	0,0141	0,0157
1,7	0,165	0,209	3,9	0,0126	0,0141
1,8	0,146	0,183	4,0	0,0112	0,0125
1,9	0,129	0,160	4,5	0,0064	0,0071
2,0	0,114	0,140	5,0	0,0037	0,0040
2,1	0,100	0,122

Теплотехнические характеристики некоторых материалов

0,05

0,05

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Брюханов, О.Н. Тепломассообмен: учебное пособие / О.Н. Брюханов, С.Н. Шевченко. – М.: Изд. АСВ, 2005.

2. Юдаев, Б.Н. Техническая термодинамика. Теплопередача / Б.Н. Юдаев. – М.: Высшая школа. – 1988.

3. Исаченко, В.П. Теплопередача: учебник / В.П. Исаченко, В.А.Осипова, А.С. Сукомел.– 4-е изд. – М.: Энергия. – 1981.

4. Крейт, Ф. Основы теплопередачи / Ф. Крейт, У. Блэк. – М.: Мир. – 1983.

5. Краснощеков, В.А. Задачник по теплопередаче / В.А. Краснощеков, А.С. Сукомел. – 4-е изд.– М.: Энергия. – 1980.

Реферат: Теплопроводность через сферическую оболочку

Министерство общего и профессионального образования

ТОМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра промышленной электроники (ПрЭ)

Теплопроводность через сферическую оболочку

Пояснительная записка к курсовому проекту

по дисциплине «Физика»

Доцент кафедры физики

Объектом исследования является сферическая оболочка заданной толщины с переменным коэффициентом теплопроводности и с заданными значениями температуры на внутренней и внешней поверхностях оболочки.

Цель проекта — определить распределение температуры внутри оболочки.

В процессе работы выведено дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к данным конкретным условиям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T (r ), где T — температура в произвольной точке оболочки а r — расстояние между этой точкой и геометрическим центром оболочки. Разработана программа TSO , рассчитывающая функцию T (r ) и строящая её график для различных задаваемых пользователем параметров задачи .

Результатом исследования является аналитическое решение уравнения теплопроводности T (r ) и графическая иллюстрация этого решения, изображаемая на экране компьютера программой TSO .

Полученная в проекте функция T (r ) и разработанная программа TSO могут быть полезными для разработчиков химических и ядерных реакторов, котлов тепловых станций и различных сосудов в области промышленной и бытовой техники.

Курсовой проект выполнен в текстовом редакторе Microsoft WORD 7.0.

Object of study is a spherical shell of given thickness with floating factors heatconduct and with given values of temperature on internal and external surfaces of shell.

Purpose of project — define a sharing a temperature of inwardly shell.

In the process of work is remove differential equation heatconduct is aplicable to given concrete conditions of problem and is received decision of this equation in the manner of functions T(r), where T — a temperature in the free spot of shell, but r — a distance between this spot and geometric shell centre. Designed program TSO, calculate function T(r) and build its graph for different assign by the user of parameters of task.

Result of studies is an analytical decision of equation heatconduct T(r) and graphic illustration of this deciding, express on the computer screen by the program TSO.

Received in the project a function T(r) and developping program TSO are to be useful for developers of chemical and nucleus reactors, caldrons of heat stations and different containers in the field of industrial and home appliances.

Course project is executed in the textual editor Microsoft WORD 7.0.

Пространство между двумя сферами радиусы которых R ₁ и R ₂ (R ₁ 2 ):

. (2.11)

Вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермической поверхности в сторону убывания температуры. Векторы j и grad T лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.

Тепловой поток q , прошедший сквозь произвольную поверхность S , находят из выражения

. (2.12)

Количество теплоты, прошедшее через эту поверхность в течение времени t , определяется интегралом

. (2.13)

Таким образом, для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо произвольную поверхность твердого тела, необходимо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахождение температурного поля и составляет основную задачу аналитической теории теплопроводности.
2.4 Дифференциальное уравнение теплопроводности

Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача теплоты теплопроводностью, при установлении зависимостей между величинами удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения:

· внутренние источники теплоты отсутствуют;

· среда, в которой распространяется тепло, однородна и изотропна;

· используется закон сохранения энергии, который для данного случая формулируется так: разность между количеством теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в элементарный параллелепипед за время dt и вышедшей из него за тоже время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.

Выделим в среде элементарный параллелепипед с ребрами (рисунок 2.2). Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлении осей . Через площадку за время dt , согласно уравнению Фурье, проходит количество теплоты:

(2.14)

(grad T взят в виде частной производной, т.к. предполагается зависимость температуры не только от x , но и от других координат и времени).

Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты, определяемое из выражения:

, (2.15)

где — температура второй грани, а величина определяет изменение температуры в направлении z.

Последнее уравнение можно представить в другом виде: . (2.16) Итак, приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси z равно: . (2.17) Приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси y выразится аналогичным уравнением: , (2.18) а в направлении оси x : . (2.19) Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде: . (2.20) С другой стороны, согласно закону сохранения энергии: , (2.21) где — объем параллелепипеда; — масса параллелепипеда; c — удельная теплоемкость среды; — плотность среды; — изменение температуры в данной точке среды за время dt . Левые части уравнения (2.20) и (2.21) равны, поэтому: , (2.22) . (2.23) Величину называют оператором Лапласа и обычно обозначают сокращенно ; величину называют температуропроводностью и обозначают буквой a . При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид: . (2.24) Уравнение (2.24) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениям температуры в любой точке поля. Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м 2 /c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температуры. Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a . Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность. Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид: , (2.25) где qV — удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в единицу времени. Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково: , (2.26) где r — радиус-вектор в цилиндрической системе координат; — полярный угол. 2.5 Краевые условия Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле или начальные условия. Кроме того, должны быть известны: · геометрическая форма и размеры тела, · физические параметры среды и тела, · граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой. Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями. Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени t = 0. Граничные условия могут быть заданы тремя способами. Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени. Граничное условие второго рода задается поверхностной плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени. Граничное условие третьего рода задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхность тела и окружающей средой. Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию . 2.6 Теплопроводность через шаровую стенку С учётом описанной в разделах 2.1 — 2.5 терминологии задачу данной курсовой работы можно сформулировать так. Постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку, причем источником теплоты является внутренняя сфера радиусом R 1 . Мощность источника P постоянна. Среда между граничными сферами изотропна, поэтому её теплопроводность c является функцией одной переменной — расстояния от центра сфер (радиуса) r . По условию задачи . Вследствие этого температура среды тоже является в данном случае функцией одной переменной — радиуса r : T = T (r ), а изотермические поверхности это концентрические сферы. Таким образом искомое температурное поле — стационарное и одномерное, а граничные условия являются условиями первого рода: T (R 1 ) = T 1 , T (R 2 ) = T 2 . Из одномерности температурного поля следует, что плотность теплового потока j так же, как теплопроводность и температура, являются в данном случае функциями одной переменной — радиуса r . Неизвестные функции j (r ) и T (r ) можно определить одним из двух способов: или решать дифференциальное уравнение Фурье (2.25), или использовать закон Фурье (2.11). В данной работе избран второй способ. Закон Фурье для исследуемого одномерного сферически симметричного температурного поля имеет вид: . (2.27) В этом уравнении учтено, что вектор нормали к изотермической поверхности n параллелен радиус-вектору r . Поэтому производная может быть записана как . Определим зависимость плотности теплового потока j от r . Для этого сначала вычислим тепловой поток q через сферу произвольного радиуса r > R . . (2.28) В частности, тепловой поток q 1 через внутреннюю сферу радиусом R 1 и тепловой поток q 2 через наружную сферу радиусом R 2 равны (2.29) Все эти три потока создаются одним и тем же источником мощностью P . Поэтому все они равны P и поэтому равны между собой. . (2.30) С учётом (2.28) и (2.29) это равенство можно записать в виде: . (2.31) , получаем искомую зависимость плотности теплового потока j от радиуса r : , (2.32) где C 1 — это константа, определяемая формулой . (2.33) Физический смысл полученного результата достаточно ясен: это известный закон обратных квадратов, характерный для задач со сферической симметрией. Теперь, так как функция j (r ) известна, можно рассматривать уравнение (2.27) как дифференциальное уравнение относительно функции T (r ). Решение этого уравнение и даст искомое распределение температур. Подставив в (2.27) выражение (2.32) и заданную функцию , получим следующее дифференциальное уравнение: . (2.34) Данное уравнение решается методом разделения переменных: . Интегрирование этого выражения даёт: Итак, функция T (r ) имеет вид: . (2.35) Константы C 1 и C 2 можно определить из граничных условий T (R 1 ) = T 1 , T (R 2 ) = T 2 . Подстановка этих условий в (2.35) даёт линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными C 1 и C 2 : . (2.36) Вычитая из первого уравнения второе, получим уравнение относительно C 1 : , . (2.37) С учётом этого выражение (2.35) можно записать в виде: . (2.38) Теперь первое граничное условие T (R 1 ) = T 1 даёт: , (2.39) откуда следует выражение для константы C 2 : . (2.40) Подстановка (2.40) в (2.39) даёт окончательное выражение для искомой функции T (r ): . (2.41) Зная функцию T (r ), можно из закона Фурье определить и окончательное выражение для плотности теплового потока j как функции от радиуса r : . (2.42) Интересно отметить, что распределение температур не зависит от коэффициента b , но зато плотность потока пропорциональна b . В результате проделанной работы выведено дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к данным конкретным условиям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T (r ). Разработана программа TSO , рассчитывающая функцию T (r ) и строящая её график для различных задаваемых пользователем параметров задачи . Листинг программы приведен в Приложении А. Список используемых источников Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., испр. и доп. — М: Высш. школа, 1980. — 469 с. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики: М.: Наука, 1969. — 288 стр. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика: Учеб. пособие для студентов втузов. — М.: Наука, 1982. — 432с. Зельдович Б.И., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. — М.: Наука, 1973. — 352с. Листинг программы TSO Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, источники: http://lektsii.org/14-30524.html http://www.bestreferat.ru/referat-59643.html Вам также может понравиться Задания для уравнения химических реакций Упражнения по составлению уравнений реакций учебно-методический материал по химии (8 класс) на тему Файл Сокращенное ионное уравнение карбоната кальция с соляной кислотой Взаимодействию карбоната кальция и соляной кислоты соответствует сокращённое ионное уравнение 1 CaCO3 Реши уравнение икс 546 равно 35 64 Реши уравнения сделай проверку x — 546 = 35 + 64? Математика | 1 — 4 классы Реши уравнения Составление уравнений реакций горения сложных веществ видеоурок Урок химии в 8 классе по теме: «Воздух. Горение сложных веществ» МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ