Дифференциальное уравнение теплопроводности
При решении задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.
Температурное поле – совокупность значений температур во всех точках рассматриваемого пространства для каждого момента времени 
.
Для упрощения вывода этого дифференциального уравнения сделаны следующие допущения:
– физические параметры постоянны;
– деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой величиной по сравнению с самим объемом;
– внутренние источники теплоты в теле 
распределены равномерно.
В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии в формулировке:
количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время dτ теплопроводностью, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмотрения изохорного или изобарного процесса), содержащегося в элементарном объеме.
(*)
где dQ1 – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем теплопроводностью за время dτ;
dQ2 – количество теплоты, Дж, которое за время dτ выделилось в элементарном объем 
за счет внутренних источников;
dQ – изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме , за время dτ.
Для нахождения составляющих выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz. Параллелепипед расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям.
Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время dτ в направлении осей Оx, Оy, Оz обозначим соответственно dQx, dQy, dQz.
Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQx+dx, dQy+dy, dQz+dz.
Количество теплоты, подведенное к грани dydz=dF в направлении оси Ох за время dτ, составляет 
,
где qx – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани.
Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох
.
Разница количеств теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него за время dτ в направлении оси Ох
Функция 
является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора
Если ограничиться двумя первыми членами ряда:
Аналогично можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему в направлениях двух других координатных осей Oy и Oz.
Количество теплоты dQ, подводимое теплопроводностью к рассматриваемому объему, будет равно
Обозначим через 
, Вт/м 3 , количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема в единицу времени.
Тогда 
Третья составляющая уравнения (*) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.
В случае рассмотрения изохорного процесса вся теплота, подведенная к элементарному объему, уйдет на изменения внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме, т.е.
где 
– изохорная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К);
ρ – плотность вещества, кг/м 3 .
Подставляя полученные выражения в уравнение (*), получим
,
Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси Ох, Оу, Оz определяются законом Фурье:
; 
; 
.
где λ – коэффициент теплопроводности (физический параметр вещества, характеризующий способность проводить теплоту), Вт/(м∙°С).
Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (*), опуская индекс при с, ипринимая теплофизические характеристики постоянными, получим
(***)
Выражение (***) называется дифференциальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь между временнЫм и пространственным изменением температуры в любой точке тела.
и 
Тогда выражение (***) имеет вид:
Выражение (***) в цилиндрической системе координат:
где r – радиус-вектор;
φ – полярный угол;
Коэффициент пропорциональности а, м 2 /с, называется коэффициентом температуропроводности и является физическим параметром вещества.
Он характеризует скорость изменения температуры, т.е. является мерой теплоинерционных свойств тела. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает бόльшим коэффициентом температуропроводности.
Коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества.
Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности.
Металлы обладают малой тепловой инерционностью, т.к. они имеют большой коэффициент температуропроводности.
Если система тел не содержит внутренних источников теплоты (qυ=0), то
Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т.е. 
, то
При рассмотрении изобарного процесса вся теплота, подведенная к объему, уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в этом объеме:
(**)
Если рассматривать энтальпию единицы объема как 
, то
где сp – изобарная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К).
В итоге (**) имеет вид:
| | | следующая лекция ==> | |
| СПОСОБЫ ПЕРЕНОСА ТЕПЛОТЫ | | | Условия однозначности для процессов теплопроводности. Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление теплопроводности в самом общем виде |
Дата добавления: 2016-02-09 ; просмотров: 4538 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ