Дифференциальное уравнение теплопроводности
При решении задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.
Температурное поле – совокупность значений температур во всех точках рассматриваемого пространства для каждого момента времени .
Для упрощения вывода этого дифференциального уравнения сделаны следующие допущения:
– физические параметры постоянны;
– деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой величиной по сравнению с самим объемом;
– внутренние источники теплоты в теле распределены равномерно.
В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии в формулировке:
количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время dτ теплопроводностью, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмотрения изохорного или изобарного процесса), содержащегося в элементарном объеме.
(*)
где dQ1 – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем теплопроводностью за время dτ;
dQ2 – количество теплоты, Дж, которое за время dτ выделилось в элементарном объем за счет внутренних источников;
dQ – изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме , за время dτ.
Для нахождения составляющих выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz. Параллелепипед расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям.
Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время dτ в направлении осей Оx, Оy, Оz обозначим соответственно dQx, dQy, dQz.
Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQx+dx, dQy+dy, dQz+dz.
Количество теплоты, подведенное к грани dydz=dF в направлении оси Ох за время dτ, составляет ,
где qx – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани.
Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох
.
Разница количеств теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него за время dτ в направлении оси Ох
Функция является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора
Если ограничиться двумя первыми членами ряда:
Аналогично можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему в направлениях двух других координатных осей Oy и Oz.
Количество теплоты dQ, подводимое теплопроводностью к рассматриваемому объему, будет равно
Обозначим через , Вт/м 3 , количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема в единицу времени.
Тогда
Третья составляющая уравнения (*) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.
В случае рассмотрения изохорного процесса вся теплота, подведенная к элементарному объему, уйдет на изменения внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме, т.е.
где – изохорная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К);
ρ – плотность вещества, кг/м 3 .
Подставляя полученные выражения в уравнение (*), получим
,
Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси Ох, Оу, Оz определяются законом Фурье:
; ; .
где λ – коэффициент теплопроводности (физический параметр вещества, характеризующий способность проводить теплоту), Вт/(м∙°С).
Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (*), опуская индекс при с, ипринимая теплофизические характеристики постоянными, получим
(***)
Выражение (***) называется дифференциальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь между временнЫм и пространственным изменением температуры в любой точке тела.
и
Тогда выражение (***) имеет вид:
Выражение (***) в цилиндрической системе координат:
где r – радиус-вектор;
φ – полярный угол;
Коэффициент пропорциональности а, м 2 /с, называется коэффициентом температуропроводности и является физическим параметром вещества.
Он характеризует скорость изменения температуры, т.е. является мерой теплоинерционных свойств тела. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает бόльшим коэффициентом температуропроводности.
Коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества.
Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности.
Металлы обладают малой тепловой инерционностью, т.к. они имеют большой коэффициент температуропроводности.
Если система тел не содержит внутренних источников теплоты (qυ=0), то
Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т.е. , то
При рассмотрении изобарного процесса вся теплота, подведенная к объему, уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в этом объеме:
(**)
Если рассматривать энтальпию единицы объема как , то
где сp – изобарная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К).
В итоге (**) имеет вид:
| | следующая лекция ==> | |
СПОСОБЫ ПЕРЕНОСА ТЕПЛОТЫ | | | Условия однозначности для процессов теплопроводности. Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление теплопроводности в самом общем виде |
Дата добавления: 2016-02-09 ; просмотров: 4579 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Дифференциальное уравнение теплопроводности
В учебниках по теплопередаче, в том числе и в [1], приводится вывод дифференциального уравнения температурного поля движущейся жидкости, уравнение энергии
(1.12) |
где ср, Дж/(кг×К) – изобарная теплоемкость; r, кг/м 3 – плотность; l, Вт/(м×К) – коэффициент теплопроводности; wх, wy, wz – проекции вектора скорости движения жидкости; qv , Вт/м 3 – объемная плотность внутреннего тепловыделения жидкости.
Уравнение (1.12) записано для случая l=const.
Дифференциальное уравнение температурного поля для твердых тел называется дифференциальным уравнением теплопроводности и может быть получено из (1.12) при условии wх= wy= wz=0, ср= сv=с:
,
где — коэффициент температуропроводности, характеризует скорость изменения температуры в теле. Значения а = f (t) для различных тел приводятся в справочниках.
Дифференциальное уравнение теплопроводности
(1.13) |
описывает нестационарное температурное поле твердых тел с внутренним тепловыделением (с внутренними источниками тепла). Такими источниками тепла могут быть: джоулева теплота, выделяемая при прохождении электрического тока по проводникам; теплота, выделяемая ТВЭЛами ядерных реакторов и т.д.
Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.13), записанное в декартовых координатах, можно представить в цилиндрических (r, z, φ) и сферических (r, φ, ψ).
В частности, в цилиндрических координатах (r –радиус; φ – полярный угол; z — аппликата) дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид
(1.14) |
Условия однозначности
Дифференциальное уравнение описывает множество процессов теплопроводности. Чтобы выделить из этого множества конкретный процесс, необходимо сформулировать особенности этого процесса, которые называются условиями однозначности и включают в себя:
· геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела;
· физические условия, характеризующие свойства участвующих в теплообмене тел;
· граничные условия, характеризующие условия протекания процесса на границе тела;
· начальные условия, характеризующие начальное состояние системы при нестационарных процессах.
При решении задач теплопроводности различают:
· граничные условия первого рода, когда задается распределение температуры на поверхности тела:
· граничные условия второго рода, когда задается плотность теплового потока на поверхности тела:
· граничные условия третьего рода, когда задается температура среды tж и коэффициент теплоотдачи между поверхностью и средой.
В соответствии с законом Ньютона-Рихмана тепловой поток, передаваемый с 1м 2 поверхности в среду с температурой tж,
В то же время этот тепловой поток подводится к 1м 2 поверхности из глубинных слоев тела теплопроводностью
Тогда уравнение теплового баланса для поверхности тела запишется в виде
(1.15) |
Уравнение (1.15) является математической формулировкой граничных условий третьего рода.
Система дифференциальных уравнений совместно с условиями однозначности представляет собой математическую формулировку задачи. Решения дифференциальных уравнений содержат константы интегрирования, которые определяются с помощью условий однозначности.
Контрольные вопросы и задания
1. Проанализируйте, какими способами передается теплота от горячей воды к воздуху через стенку батареи отопления: от воды к внутренней поверхности, через стенку, от наружной поверхности к воздуху.
2. Почему в правой части уравнения (1.3) стоит минус?
3. Проанализируйте с помощью справочной литературы зависимость λ(t) для металлов, сплавов, теплоизоляционных материалов, газов, жидкостей и ответьте на вопрос: как изменяется коэффициент теплопроводности с изменением температуры для этих материалов?
4. Как определяется тепловой поток (Q, Вт) при конвективной теплоотдаче, теплопроводности, тепловом излучении?
5. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовых координатах, описывающее трехмерное стационарное температурное поле без внутренних источников теплоты.
6. Запишите дифференциальное уравнение температурного поля проволоки, которая длительное время находится под напряжением при постоянной электрической нагрузке.
2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
2.1. Теплопроводность плоской стенки
при граничных условиях первого рода
Дано:плоская однородная стенка толщиной δ (рис. 2.1) с постоянным коэффициентом теплопроводности λ и постоянными температурами t1 и t2 на поверхностях.
Определить:уравнение температурного поля t=f (x) и плотность теплового потока q, Вт/м 2 .
Температурное поле стенки описывается дифференциальным уравнением теплопроводности (1.3) при следующих условиях:
· т. к. режим стационарный;
· т.к. отсутствуют внутренние источники теплоты;
· т.к. температуры t1 и t2 на поверхностях стенки постоянны.
Температура стенки является функцией только одной координаты х и уравнение (1.13) принимает вид
(2.1) |
т.к. коэффициент температуропроводности стенки а ≠ 0.
Граничные условия первого рода:
при х=0 t= t1 , | (2.2) |
при х= δ t= t2. | (2.3) |
Выражения (2.1), (2.2), (2.3) являются математической постановкой задачи, решение которой позволит получить искомое уравнение температурного поля t= f (x).
Интегрирование уравнения (2.1) дает
При повторном интегрировании получим решение дифференциального уравнения в виде
t=с1х+с2. | (2.4) |
Из уравнения (2.4) при условии (2.2) получим
а при условии (2.3)
Подстановка констант интегрирования с1 и с2 в уравнение (2.4) дает уравнение температурного поля
(2.5) |
по которому можно рассчитать температуру по толщине стенки на любой координате 0 2 ; t2, t3.
При стационарном режиме и постоянных температурах поверхностей стенки тепловой поток, передаваемый через трехслойную стенку, можно представить системой уравнений:
(2.8) | |
(2.9) | |
(2.10) |
(2.11) |
Сложив левые и правые части уравнений (2.11), получим расчетную формулу для плотности теплового потока, передаваемого через трехслойную стенку
(2.12) |
Температуры на границах слоев t2 и t3 можно рассчитать по уравнениям (2.8) – (2.10) после того, как найдена плотность теплового потока (q) по (2.12).
Общий вид уравнения (2.12) для многослойной плоской стенки, состоящей из п однородных слоев с постоянными температурами на наружных поверхностях и , имеет вид
(2.13) |
Средний коэффициент теплопроводности многослойной стенки называют эффективным (λэф). Он равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки, толщина и термическое сопротивление которой равны толщине и термическому сопротивлению многослойной стенки
(2.14) |
2.2. Теплопроводность цилиндрической стенки
при граничных условиях первого рода
Дано:Однородная цилиндрическая стенка (стенка трубы) с внутренним радиусом r1, наружным – r2, длиной , с постоянным коэффициентом теплопроводности λ, с постоянными температурами на поверхностях t1 и t2.
(рис. 2.3).
Определить: уравнение температурного поля
t = f (r), тепловой поток, передаваемый через стенку
Q, Вт.
Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах (1.14) для условий данной задачи:
(2.15) |
Граничные условия первого рода:
при r=r1 t=t1 , | (2.16) |
при r=r2 t=t2 . | (2.17) |
Порядок решения системы уравнений (2.15) – (2.17) тот же, что и в случае плоской стенки: находится общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка (2.15), который содержит две константы интегрирования
с1 и с2 . Последние определяются с помощью граничных условий (2.16) и (2.17) и после подстановки их значений в решение дифференциального уравнения (общий интеграл) получаем уравнение температурного поля цилиндрической стенки t = f (r) в виде
(2.18) |
где r1 r r2 – текущий радиус.
Нетрудно убедиться, что при подстановке в (2.18) r= r1 получим t=t1 , при r=r2 получим t=t2. Распределение температуры по толщине цилиндрической стенки, в соответствии с (2.18) подчиняется логарифмическому закону (рис. 2.3).
Для определения теплового потока воспользуемся законом Фурье:
(2.19) |
Если взять производную от правой части уравнения (2.18) и подставить в (2.19), получим расчетную формулу для теплового потока цилиндрической стенки
(2.20) |
В технических расчетах часто тепловой поток вычисляется для 1 м длины трубы:
и называется линейной плотностью теплового потока.
Запишем уравнение (2.20) в виде
где – термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки.
Для трехслойной цилиндрической стенки (трубы, покрытой двумя слоями тепловой изоляции) с известными постоянными температурами поверхностей (t1 и t4), с известными геометрическими размерами (r1 , r2, r3, r4 , ) и коэффициентами теплопроводности слоев (λ1, λ2, λ3) (рис. 2.4) можно записать следующие уравнения для теплового потока Q:
(2.21) |
Совместное решение системы уравнений (2.21) дает расчетную формулу для теплового потока, передаваемого через трехслойную стенку при заданных температурах на поверхностях,
(2.22) |
Температуры на границах слоев (t2, t3) можно рассчитать по уравнениям (2.21).
Для многослойной цилиндрической стенки, состоящей из п слоев, формулу (2.22) можно записать в общем виде
(2.23) |
Эффективный коэффициент теплопроводности для многослойной цилиндрической стенки, как и для многослойной плоской стенки, определяется из равенства суммы термических сопротивлений многослойной стенки термическому сопротивлению однородной стенки той же толщины, что и многослойная. Так, для двухслойной тепловой изоляции трубы
(рис. 2.4) эффективный коэффициент теплопроводности (λэф) определ ится из равенства
2.3. Теплопроводность плоской и цилиндрической стенок
при граничных условиях третьего рода (теплопередача)
Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры жидкости (tж) и коэффициента теплоотдачи ( ) между поверхностью стенки и жидкостью.
Передача тепла от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку называется теплопередачей.
Примерами теплопередачи служит перенос теплоты от дымовых газов к воде через стенку трубы парового котла, перенос тепла от горячей воды к окружающему воздуху через стенку батареи отопления и т.д.
Теплообмен между поверхностью и средой (теплоносителем) может быть конвективным, если теплоноситель – жидкость (вода, нефть и т.д.) или радиационно-конвективным, когда теплота передается путем конвективного теплообмена и излучением, если теплоноситель – газ (дымовые газы, воздух и т.д.).
Рассмотрим теплопередачу через плоскую и цилиндрическую стенки при условии только конвективного теплообмена на поверхностях. Теплопередача с радиационно-конвективным теплообменом (сложным теплообменом) на поверхностях будет рассмотрена позже.
Плоская стенка(рис. 2.5)
Дано:
Плотность теплового потока q описывается следующими уравнениями в зависимости от способа передачи теплоты:
– от горячей жидкости к стенке
(2.24) |
(2.25) |
– от стенки к холодной жидкости
(2.26) |
Записав уравнения (2.24) – (2.26) в виде
(2.27) |
и сложив почленно правые и левые части уравнений (2.27), получим формулу для расчета теплопередачи (q, Вт/м 2 ) через плоскую стенку в виде
(2.28) |
Величины называются термическими сопротивлениями теплоотдачи. Они прямо пропорциональны перепадам температур .
Температуры на поверхностях стенки t1 и t2 можно рассчитать по уравнениям (2.24) – (2.26) после того, как определена плотность теплового потока (q) по уравнению (2.28).
Формулу (2.28) можно записать в виде
(2.29) |
где — коэффициент теплопередачи плоской стенки,характеризует интенсивность процесса теплопередачи.
Теплопередача через многослойную плоскую стенку рассчитывается по формуле
(2.30) |
Цилиндрическая стенка(рис. 2.6)
Дано:
Для цилиндрической стенки, по аналогии с плоской стенкой, можно записать следующую систему уравнений:
(2.31) | |
(2.32) | |
(2.33) |
где — площади внутренней и наружной поверхностей трубы.
Записав уравнения (2.31) – (2.33) относительно разностей температур, а затем сложив правые и левые части уравнений, получим формулу для расчета теплопередачи (Q, Вт) через цилиндрическую стенку в виде
(2.34) |
Температуры на поверхностях стенки t1 и t2 рассчитываются по уравнениям (2.31) – (2.33).
Формулу (2.34) также можно представить в виде
где – коэффициент теплопередачи цилиндрической стенки. |
Для металлических труб с можно пренебречь кривизной стенки и теплопередачу рассчитать по формулам для плоской стенки:
,
.
http://megaobuchalka.ru/8/46137.html