Дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовой системе координат

Дифференциальные уравнения теплопроводности

Решение задач по определению температурного поля осуществляется на основании дифференциального уравнения теплопроводности, выводы которого показаны в специальной литературе. В данном пособии приводятся варианты дифференциальных уравнений без выводов.

При решении задач теплопроводности в движущихся жидкостях, характеризующих нестационарное трехмерное температурное поле с внутренними источниками теплоты, используется уравнение

(4.10)

Уравнение (4.10) является дифференциальным уравнением энергии в декартовой системе координат (уравнение Фурье ¾ Кирхгофа). В таком виде оно применяется при изучении процесса теплопроводности в любых телах.

Если w_x=w_y=w_z=0, т. е. рассматривается твердое тело, и при отсутствии внутренних источников теплоты q_v=0, тогда уравнение энергии (4.10) переходит в уравнение теплопроводности для твердых тел (уравнение Фурье)

(4.11)

Величину l/С×r=a, м 2 /сек в уравнении (4.10) называют коэффициентом температуропроводности, который является физическим параметром вещества, характеризующим скорость изменения температуры в теле при неустановившихся процессах.

Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (4.10) следует, что изменение температуры во времени ¶t/¶t для любой точки пространства пропорционально величине «а», т. е. скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температу-ропроводности. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества. Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как они имеют большой коэффициент температуропроводности.

Для обозначения суммы вторых производных по координатам в уравнениях (4.10) и (4.11) можно использовать символ Ñ 2 , так называемый оператор Лапласа, и тогда в декартовой системе координат

Выражение Ñ 2 t в цилиндрической системе координат имеет вид

Для твердого тела в стационарных условиях с внутренним источником теплоты уравнение (4.10) преобразуется в уравнение Пуассона

(4.12)

Наконец, для стационарной теплопроводности и при отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (4.10) принимает вид уравнения Лапласа

(4.13)

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах с внутренним источником теплоты

(4.14)

Уравнение теплопроводности

Уравнение теплопроводности

• В данном разделе приводится вывод уравнений теплопроводности в виде дифференциальных уравнений в декартовых системах координат. Наиболее удобна дифференциальная форма уравнения теплопроводности. Тепловое уравнение изотропного материала. Рассмотрим бесконечно малое пространство с размерами Dx, boo, bg, iso -. Ферментация в 3-мерной системе координат x, y, R. 2-4.It также учитывается нестационарность, то есть изменение температуры в момент времени t.

По закону теплопроводности Фурье. тепло, поступающее по оси Х в основной объем, можно описать следующим образом: dQn =- Величину теплового тока вне получить, только первые 2 части ДК разобрать Рисунок 2-4.To вывод уравнения теплопроводности. Около объем вдоль оси x, который возможен с рядом Тейлора, сохраняется в качестве достаточного приближения： приращение теплового потока, вызванного теплопроводностью в направлении x, равно: =(2-7） Как и в формулах (от 2 до 7), 2 формулы в направлениях y и 2 могут быть записаны таким же образом. Сумма приращений теплового потока — это количество тепла, которое должно накопиться в объеме. [а-(Л£ -)+£(Я5 -)+е-( «>)] ’* .

Разновидностью теплотехники является теплоэнергетика. Другим из ответвлений общей теплотехники — строительная теплотехника. Людмила Фирмаль

Если количество теплоты Q ’(x, y, z, t) в единицу времени единичного объема происходит, то накопление теплоты в основном объеме происходит следующим образом: Ох (2-9） Тепло, остающееся в элементе объема по проводимости[уравнение (2-8)] и тепло, выделяемое самим объемом [уравнение (2-9)], увеличивают тепловую энергию элемента объема. За счет такого увеличения тепловой энергии изменяется теплоемкость объемного элемента, которую можно описать следующим образом: cp8×8z / 8з -, (2-10） Где c-удельная теплоемкость. p-это плотность. X-это время. Энергетический баланс объемного элемента может быть изменен путем уравнивания изменения количества тепла объемного элемента с тепловым потоком, вызванным теплом, генерируемым теплопроводностью и самим элементом.£ ) H (x£)+£(g£)+ s’ — 2- » >Вот что следует отметить А = ч(х, гг З. ы. т)\ с = р(х, у, Z, T)и р = р (х, г, З. ы. т).

Таким образом, (2-11) справедливо для изотропных гетерогенных сред. Если можно опустить термин, обозначающий тепло в объеме(нет источника в теле), (2-11), то в проекции на 3 координатные оси можно записать как: — B + 4-10b + b(2-12) эта формула более распространена и служит в разрезе анизотропного материала. Формула(2-11) может быть упрощена при применении к изотропным однородным материалам и когда теплопроводность считается постоянной. Подобный этому Х / ФА сложно? Он имеет размерность линейного измеренного значения в квадрате, деленного на время, и называется коэффициентом температуропроводности А. характеризует свойства материала.

Тепловое уравнение цилиндрической системы координат (с использованием hi Рис. 2-5.Цилиндрическая система координат. Рисунок 2-6.Сферическая система координат. Система координат (2-13) может быть описана в более удобной форме для цилиндрической системы. Таким образом, рисунок 2-5 х = rcos6; г / = г грех б; з = з \ ДТ udChₜ1 | 1(Д1/\, м ’/ₙ1 + Р «ПФП + ДЗ) ПК (21⁴） Уравнение теплопроводности для сферической системы координат. Аналогичное преобразование сферической системы(рис. 2-6) приводит к следующей формуле: х = г sinφcos п; г = р sinφsin п; г = gsozf; ■1 Д /(&Г1d \ РТ). д / Я 1d2/ 1, м ’ ДТ [гр гду **. ГСИН у у ’ duJ ’g2sin2u ’ ПК’ (2-15） Уравнение теплопроводности анизотропного material. In в предыдущем разделе получено уравнение теплопроводности для изотропных сред.

Некоторые технологически продвинутые слоистые материалы имеют теплопроводность 6Т и существенно изменяются в зависимости от направления теплового потока, проходящего через корпус. Материалы этой категории включают: кристаллический материал, древесину, составные плиты и металл используемые для анкеров в трансформаторах, и plywood. To примените уравнения теплопроводности к этим анизотропным материалам, они должны быть соответствующим образом изменены. Обычная форма этого уравнения очень сложна[L. 5], поэтому она не рассматривается в этой книге. Но、 Рисунок 2-7.Тепловой поток в анизотропной среде. Для 2-мерных измерений учитываются основные понятия. В случае 2-мерных измерений теплопроводность распределяется так, что максимальные и минимальные значения распределяются так, что они называются»приоритетной»осью или»главным валом».

• Величина теплопроводности в другом направлении имеет промежуточное значение. Распределение теплопроводности может быть представлено эллипсом с осями, соответствующими максимальному и минимальному значениям теплопроводности. представьте себе объект в системе координат (x, y) (рис.2-7). он образует угол 0 с главной осью теплопроводности материала. Система координат ( £ , m]) совпадает с главной осью теплопроводности. Тепло течет по телу в направлении координат|и Т）： −1. dt. Поток в сторону хны выглядит так: (2-16） Градиенты температуры могут быть преобразованы в градиенты X и y с помощью следующих соотношений: ДТ dt ДХ ИДТ сделать df «dhdG «’ duod ^’ ДТ _ _ _ _ д / ДХ. д / д Дри ДХ ДТ] ’у д（\ И в соответствии с геометрией фигуры Р / = грешить£= — qcosp; х = $ КГУ = —qsinp.

Если подставить эти значения в Формулу (2-16) и преобразовать ее, то получится тепловой поток. Ях = — потому что₽+ грехах ’ п)^ — (iₜ— потому что грех п п; Общая форма теплового потока [уравнение (2-12)] уравнение теплопроводности [уравнение (2-17)] может быть использовано для описания двумерного уравнения теплопроводности анизотропного материала в следующем виде: 57 = \ COS в ’п + грехах’ п） +(sinsinр+ x, cosp)g +(я£-X₄)sin2pd.(2

18） Для изотропных сред L.= LT. и p =0.In при этих условиях уравнение(2-18) сводится к 2-мерному уравнению(2-13). Если пластины из анизотропного материала зажаты между изотермическими поверхностями испытуемой теплопроводной системы, и Образец готовят таким образом, что его главная ось образует изотермическую поверхность и угол р, после чего определяют измеренную теплопроводность (в зависимости от того, была ли она выполнена вдоль направления x или y). Xia3 как COS Ильин; = грех₽ — ч cos3.

Теоретическими разделами теплотехники, в которых исследуются законы превращения и свойства тепловой энергии, а также процессы распространения теплоты являются техническая термодинамика и теория теплообмена. Людмила Фирмаль

Если геометрическая ось анизотропного тела совпадает с главной осью теплопроводности, то уравнение (2-18） Упрощенный: д / ч-л ч мск Для древесины с различной теплопроводностью по окружности 0, вдоль волокна z, вдоль волокна g идея формулы(2-19) может быть применена следующим образом: Рисунок 2-8.Вектор теплового потока слоистого материала. Уравнение(2-14) помещает ось z вдоль линии центра дерева, игнорируя термин, обозначающий источник тепла. Поэтому в цилиндрических координатах (2-20） Пример 2-1.Пластина из слоистого материала (пластина) используется для экспериментов по теплопроводности. Слой под углом с гладкой поверхности образца(рис. 2-8).

Поверхность A является изотермической поверхностью для поддержания постоянной, но разной temperature. It необходимо рассчитать угол, который складывается за счет тепла N потоков, перпендикулярных изотермической плоскости. ЮЖД рис. 2-8, С ^ С ^ А ДТ / ДТС тгт〜\ ДТ / дл■ Но основываясь на предыдущих расчетах dt. В. С.?^⁺сентенция ДТ. Сделать это. ДТ, ДТ. «Чо?»ДТ⁺ы? В. Отсюда ATⱼ[соз£(ДТ [ды) — грех п(dtjdx)] у- ^ [что? (dtfdx) — грех п (dtjdy）] * (ля） Однако в системе, которую мы рассмотрим здесь, интерфейс остается изотермическим. То есть координатная ось y находится в направлении перпендикуляра n, а x — в изотермическом plane. So, d / / dx = 0, Формула (a)принимает вид: тгр = ^ — Ctgf = ^ ТГА. Таким образом, y a, А Вектор теплового потока не перпендикулярен изотермической плоскости, как в случае, когда материал является изотермическим. Если X ^ * = = 2X ^ среда-это дерево и 0 = 45°、 1 tgT = » 2 -> Задачи 2-1.

Предложен способ измерения теплопроводности жидкого металла при высоких температурах temperatures. It схематически показана основная часть устройства и определена погрешность предлагаемых измерений. 2-2.Используя цилиндрическую систему координат, разложим уравнение (2-11) по модели уравнения (2-14). 2-3.Используя сферическую систему координат и малые объемные элементы этой системы координат, мы расширяем уравнение (2-15) в соответствии с моделью уравнения (2-11). 2-4. Создайте тепловое уравнение для трехмерной анизотропной среды.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Дифференциальное уравнение теплопроводности

В учебниках по теплопередаче, в том числе и в [1], приводится вывод дифференциального уравнения температурного поля движущейся жидкости, уравнение энергии

(1.12)

где с_р, Дж/(кг×К) – изобарная теплоемкость; r, кг/м 3 – плотность; l, Вт/(м×К) – коэффициент теплопроводности; w_х, w_y, w_z – проекции вектора скорости движения жидкости; q_v , Вт/м 3 – объемная плотность внутреннего тепловыделения жидкости.

Уравнение (1.12) записано для случая l=const.

Дифференциальное уравнение температурного поля для твердых тел называется дифференциальным уравнением теплопроводности и может быть получено из (1.12) при условии w_х= w_y= w_z=0, с_р= с_v=с:

,

где — коэффициент температуропроводности, характеризует скорость изменения температуры в теле. Значения а = f (t) для различных тел приводятся в справочниках.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

(1.13)

описывает нестационарное температурное поле твердых тел с внутренним тепловыделением (с внутренними источниками тепла). Такими источниками тепла могут быть: джоулева теплота, выделяемая при прохождении электрического тока по проводникам; теплота, выделяемая ТВЭЛами ядерных реакторов и т.д.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.13), записанное в декартовых координатах, можно представить в цилиндрических (r, z, φ) и сферических (r, φ, ψ).

В частности, в цилиндрических координатах (r –радиус; φ – полярный угол; z — аппликата) дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

(1.14)

Условия однозначности

Дифференциальное уравнение описывает множество процессов теплопроводности. Чтобы выделить из этого множества конкретный процесс, необходимо сформулировать особенности этого процесса, которые называются условиями однозначности и включают в себя:

· геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела;

· физические условия, характеризующие свойства участвующих в теплообмене тел;

· граничные условия, характеризующие условия протекания процесса на границе тела;

· начальные условия, характеризующие начальное состояние системы при нестационарных процессах.

При решении задач теплопроводности различают:

· граничные условия первого рода, когда задается распределение температуры на поверхности тела:

· граничные условия второго рода, когда задается плотность теплового потока на поверхности тела:

· граничные условия третьего рода, когда задается температура среды t_ж и коэффициент теплоотдачи между поверхностью и средой.

В соответствии с законом Ньютона-Рихмана тепловой поток, передаваемый с 1м 2 поверхности в среду с температурой t_ж,

В то же время этот тепловой поток подводится к 1м 2 поверхности из глубинных слоев тела теплопроводностью

Тогда уравнение теплового баланса для поверхности тела запишется в виде

(1.15)

Уравнение (1.15) является математической формулировкой граничных условий третьего рода.

Система дифференциальных уравнений совместно с условиями однозначности представляет собой математическую формулировку задачи. Решения дифференциальных уравнений содержат константы интегрирования, которые определяются с помощью условий однозначности.

Контрольные вопросы и задания

1. Проанализируйте, какими способами передается теплота от горячей воды к воздуху через стенку батареи отопления: от воды к внутренней поверхности, через стенку, от наружной поверхности к воздуху.

2. Почему в правой части уравнения (1.3) стоит минус?

3. Проанализируйте с помощью справочной литературы зависимость λ(t) для металлов, сплавов, теплоизоляционных материалов, газов, жидкостей и ответьте на вопрос: как изменяется коэффициент теплопроводности с изменением температуры для этих материалов?

4. Как определяется тепловой поток (Q, Вт) при конвективной теплоотдаче, теплопроводности, тепловом излучении?

5. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовых координатах, описывающее трехмерное стационарное температурное поле без внутренних источников теплоты.

6. Запишите дифференциальное уравнение температурного поля проволоки, которая длительное время находится под напряжением при постоянной электрической нагрузке.

2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

2.1. Теплопроводность плоской стенки
при граничных условиях первого рода

Дано:плоская однородная стенка толщиной δ (рис. 2.1) с постоянным коэффициентом теплопроводности λ и постоянными температурами t₁ и t₂ на поверхностях.

Определить:уравнение температурного поля t=f (x) и плотность теплового потока q, Вт/м 2 .

Температурное поле стенки описывается дифференциальным уравнением теплопроводности (1.3) при следующих условиях:

· т. к. режим стационарный;

· т.к. отсутствуют внутренние источники теплоты;

· т.к. температуры t₁ и t₂ на поверхностях стенки постоянны.

Температура стенки является функцией только одной координаты х и уравнение (1.13) принимает вид

(2.1)

т.к. коэффициент температуропроводности стенки а ≠ 0.

Граничные условия первого рода:

Выражения (2.1), (2.2), (2.3) являются математической постановкой задачи, решение которой позволит получить искомое уравнение температурного поля t= f (x).

Интегрирование уравнения (2.1) дает

При повторном интегрировании получим решение дифференциального уравнения в виде

Из уравнения (2.4) при условии (2.2) получим

а при условии (2.3)

Подстановка констант интегрирования с₁ и с₂ в уравнение (2.4) дает уравнение температурного поля

(2.5)

по которому можно рассчитать температуру по толщине стенки на любой координате 0 2 ; t₂, t₃.

При стационарном режиме и постоянных температурах поверхностей стенки тепловой поток, передаваемый через трехслойную стенку, можно представить системой уравнений:

	(2.8)
	(2.9)
	(2.10)

(2.11)

Сложив левые и правые части уравнений (2.11), получим расчетную формулу для плотности теплового потока, передаваемого через трехслойную стенку

(2.12)

Температуры на границах слоев t₂ и t₃ можно рассчитать по уравнениям (2.8) – (2.10) после того, как найдена плотность теплового потока (q) по (2.12).

Общий вид уравнения (2.12) для многослойной плоской стенки, состоящей из п однородных слоев с постоянными температурами на наружных поверхностях и , имеет вид

(2.13)

Средний коэффициент теплопроводности многослойной стенки называют эффективным (λ_эф). Он равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки, толщина и термическое сопротивление которой равны толщине и термическому сопротивлению многослойной стенки

(2.14)

2.2. Теплопроводность цилиндрической стенки
при граничных условиях первого рода

Дано:Однородная цилиндрическая стенка (стенка трубы) с внутренним радиусом r₁, наружным – r₂, длиной , с постоянным коэффициентом теплопроводности λ, с постоянными температурами на поверхностях t₁ и t₂.
(рис. 2.3).

Определить: уравнение температурного поля
t = f (r), тепловой поток, передаваемый через стенку
Q, Вт.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах (1.14) для условий данной задачи:

(2.15)

Граничные условия первого рода:

Порядок решения системы уравнений (2.15) – (2.17) тот же, что и в случае плоской стенки: находится общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка (2.15), который содержит две константы интегрирования
с₁ и с₂ . Последние определяются с помощью граничных условий (2.16) и (2.17) и после подстановки их значений в решение дифференциального уравнения (общий интеграл) получаем уравнение температурного поля цилиндрической стенки t = f (r) в виде

(2.18)

где r₁ r r₂ – текущий радиус.

Нетрудно убедиться, что при подстановке в (2.18) r= r₁ получим t=t₁ , при r=r₂ получим t=t₂. Распределение температуры по толщине цилиндрической стенки, в соответствии с (2.18) подчиняется логарифмическому закону (рис. 2.3).

Для определения теплового потока воспользуемся законом Фурье:

(2.19)

Если взять производную от правой части уравнения (2.18) и подставить в (2.19), получим расчетную формулу для теплового потока цилиндрической стенки

(2.20)

В технических расчетах часто тепловой поток вычисляется для 1 м длины трубы:

и называется линейной плотностью теплового потока.

Запишем уравнение (2.20) в виде

где – термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки.

Для трехслойной цилиндрической стенки (трубы, покрытой двумя слоями тепловой изоляции) с известными постоянными температурами поверхностей (t₁ и t₄), с известными геометрическими размерами (r₁ , r₂, r₃, r₄ , ) и коэффициентами теплопроводности слоев (λ₁, λ₂, λ₃) (рис. 2.4) можно записать следующие уравнения для теплового потока Q:

(2.21)

Совместное решение системы уравнений (2.21) дает расчетную формулу для теплового потока, передаваемого через трехслойную стенку при заданных температурах на поверхностях,

(2.22)

Температуры на границах слоев (t₂, t₃) можно рассчитать по уравнениям (2.21).

Для многослойной цилиндрической стенки, состоящей из п слоев, формулу (2.22) можно записать в общем виде

(2.23)

Эффективный коэффициент теплопроводности для многослойной цилиндрической стенки, как и для многослойной плоской стенки, определяется из равенства суммы термических сопротивлений многослойной стенки термическому сопротивлению однородной стенки той же толщины, что и многослойная. Так, для двухслойной тепловой изоляции трубы
(рис. 2.4) эффективный коэффициент теплопроводности (λ_эф) определ ится из равенства

2.3. Теплопроводность плоской и цилиндрической стенок
при граничных условиях третьего рода (теплопередача)

Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры жидкости (t_ж) и коэффициента теплоотдачи ( ) между поверхностью стенки и жидкостью.

Передача тепла от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку называется теплопередачей.

Примерами теплопередачи служит перенос теплоты от дымовых газов к воде через стенку трубы парового котла, перенос тепла от горячей воды к окружающему воздуху через стенку батареи отопления и т.д.

Теплообмен между поверхностью и средой (теплоносителем) может быть конвективным, если теплоноситель – жидкость (вода, нефть и т.д.) или радиационно-конвективным, когда теплота передается путем конвективного теплообмена и излучением, если теплоноситель – газ (дымовые газы, воздух и т.д.).

Рассмотрим теплопередачу через плоскую и цилиндрическую стенки при условии только конвективного теплообмена на поверхностях. Теплопередача с радиационно-конвективным теплообменом (сложным теплообменом) на поверхностях будет рассмотрена позже.

Плоская стенка(рис. 2.5)

Дано:

Плотность теплового потока q описывается следующими уравнениями в зависимости от способа передачи теплоты:

– от горячей жидкости к стенке

(2.24)

(2.25)

– от стенки к холодной жидкости

(2.26)

Записав уравнения (2.24) – (2.26) в виде

(2.27)

и сложив почленно правые и левые части уравнений (2.27), получим формулу для расчета теплопередачи (q, Вт/м 2 ) через плоскую стенку в виде

(2.28)

Величины называются термическими сопротивлениями теплоотдачи. Они прямо пропорциональны перепадам температур .

Температуры на поверхностях стенки t₁ и t₂ можно рассчитать по уравнениям (2.24) – (2.26) после того, как определена плотность теплового потока (q) по уравнению (2.28).

Формулу (2.28) можно записать в виде

(2.29)

где — коэффициент теплопередачи плоской стенки,характеризует интенсивность процесса теплопередачи.

Теплопередача через многослойную плоскую стенку рассчитывается по формуле

(2.30)

Цилиндрическая стенка(рис. 2.6)

Дано:

Для цилиндрической стенки, по аналогии с плоской стенкой, можно записать следующую систему уравнений:

	(2.31)
	(2.32)
	(2.33)

где — площади внутренней и наружной поверхностей трубы.

Записав уравнения (2.31) – (2.33) относительно разностей температур, а затем сложив правые и левые части уравнений, получим формулу для расчета теплопередачи (Q, Вт) через цилиндрическую стенку в виде

(2.34)

Температуры на поверхностях стенки t₁ и t₂ рассчитываются по уравнениям (2.31) – (2.33).

Формулу (2.34) также можно представить в виде

где – коэффициент теплопередачи цилиндрической стенки.

Для металлических труб с можно пренебречь кривизной стенки и теплопередачу рассчитать по формулам для плоской стенки:

,

.