Дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации

Раздел 4. Установившееся движение упругой жидкости и газа в пористой среде

Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации упругой жидкости и газа по закону Дарси

Лекция № 19

До сих пор мы рассматривали фильтрацию несжимаемого флюида r=const (без учета уравнения состояния флюидов, т.к. характеристики k, m и m считали постоянными). Эти допущения приводили к простому дифференциальному уравнению фильтрации

Если флюид сжимаем, нужно получить новое дифференциальное уравнение для упругого (сжимаемого) флюида из уравнения неразрывности потока:

и уравнения движения:

, .

Введем функцию Â так, что ее дифференциал

или .

Функция Â называется функцией Л.С. Лейбензона. Т.к. Â = Â(х, у, z, t) и Р = Р(х, у, z, t) дифференциал можно переписать

, где:

.

Переходя от объемных скоростей (w) к массовым скоростям (rw)

,

и подставляя их в уравнение неразрывности, получим дифференциальное уравнение фильтрации упругого флюида в однородной пористой среде по закону Дарси

.

В случае установившейся фильтрации

и DÂ = 0.

Таким образом, для установившейся фильтрации движения упругого флюида в однородной среде по закону Дарси справедливо уравнение Лапласа, но уже не относительно давления (Р) или потенциала (Ф), а относительно функции Лейбензона Â.

Введение функции Лейбензона в уравнения позволяет установить полную аналогию между установившейся фильтрацией несжимаемого флюида, для которого законы фильтрации нами были уже рассмотрены, и фильтрацией сжимаемого флюида.

В дальнейшем изложении будем считать, что m и k постоянны. Тогда выражение функции Лейбензона упростится:

и .

Аналогия заключается в том, что все формулы, полученные для установившейся фильтрации несжимаемого флюида по закону Дарси можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемого флюида в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях, заменив переменные:

Упругий флюид Функция Лейбензона Массовый расход флюида массовая скорость фильтрации

Несжимаемый флюид

Обменный расход флюида

объемная скорость фильтрации

Установившаяся фильтрация упругой жидкости.

Найдем выражение функции Лейбензона для упругой, но слабо сжимаемой жидкости, описываемой уравнениями состояния

.

Для случая, когда b_ж (Р — Р₀) мало Â r₀Р + С и уравнение фильтрации приводится к виду: .

Т.е. при установившейся фильтрации упругой (слабосжимаемой) жидкости она в большинстве случаев ведет себя как несжимаемая и можно воспользоваться всеми ранее выведенными формулами. В этом случае метод аналогии параметров применять не надо. Однако, при фильтрации жидкости в пласте с очень высоким пластовым давлением и при большой депрессии надо учитывать ее упругие свойства и рассчитывать функцию Лейбензона и применять метод аналогии.

Рассмотрим применение метода аналогии на конкретных примерах фильтрации упругого газа.

Установившаяся фильтрация газового потока.

В отличие от жидкости газ значительно более сжимаем и на практике функцию Лейбензона и метод аналогий параметров в основном применяют к газовым потокам.

Рассмотрим методику применения на простых моделях фильтрации.

Упругий режим пласта и его характерные особенности

VII. НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Упругий режим пласта и его характерные особенности

В практике разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений в пластах часто возникают неустановившиеся процессы, связанные с пуском или остановкой скважины, с изменением темпов отбора флюида из скважины. Характер этих процессов проявляется в перераспределении пластового давления, в изменениях во времени скоростей фильтрационных потоков, дебитов скважин и т.д.

Особенности этих процессов зависят от упругих свойств пластов и насыщающих их жидкостей, т.е. основным видом пластовой энергии в этих процессах является энергия упругой деформации жидкостей (нефти и воды) и материала пласта (горной породы). При этом предполагается, что фильтрационный поток однофазный, т.е. давление в любой точке потока выше давления насыщения.

При снижении пластового давления объем сжатой жидкости увеличивается, а объем порового пространства сокращается за счет расширения материала пласта. Все это способствует вытеснению жидкости из пласта в скважину.

Хотя коэффициенты объемной упругой деформации жидкости и горной породы малы, но зато очень велики бывают объемы пласта и насыщающих их жидкостей, поэтому объемы жидкости, извлекаемой из пласта за счет упругости пласта и жидкости, могут быть весьма значительными.

Характерная особенность проявления упругого режима в процессе разработки нефтяных месторождений – длительность процесса перераспределения пластового давления после начала работы скважины или изменения темпа отбора жидкости из скважины. Это связано с тем, что при фильтрации вязкой жидкости в пласте возникают очень большие силы сопротивления. Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости пласта К, и тем медленнее, чем больше коэффициент вязкости жидкости m и коэффициенты объемной упругости жидкости b_Ж и пласта (среды) b_С.

Теория упругого режима была начата работами Стрижова И.Н., М. Маскета, Р.Шилсюиза, У.Херста. Однако наиболее строго основы теории упругого режима были разработаны в нашей стране В.Н Щелкачевым. Им были впервые учтены влияние объемной упругости пористой среды и впервые решены фундаментальные задачи теории упругого режима для практических целей разработки нефтяных месторождений.

Обратимся к общему дифференциальному уравнению (6.8) неустановившегося движения сжимаемой жидкости по закону Дарси в деформируемой пористой среде; при этом принимаем k=const и m=const, т.е.

, (7.1)

— функция Лейбензона (7.2)

Используя уравнения состояния упругой жидкости (2.9) и упругой пористой среды (2.23)

;

,

находим произведение (mr) для (7.1)

.

Последним слагаемым (ввиду его малости по сравнению с первыми слагаемыми) пренебрегаем.

,

.

Обозначим (7.3)

и называем — коэффициентом упругоемкости пласта.

.

Дифференцируя по времени, находим

. (7.4)

В свою очередь функция Лейбензона (7.2) принимает вид (6.15) с учетом (2.9)

,

. (7.5)

Дифференцируя (7.5) дважды по координатам и складывая, получим

. (7.8)

Подставляя (7.4) и (7.8) в исходное диф. уравнение (7.1), будем иметь

,

.

, (7.9)

тогда окончательно получим

;

. (7.10)

Уравнение (7.10) является основным дифференциальным уравнением упругого режима фильтрации.

Уравнение вида (7.10) в математической физике известно под названием уравнения теплопроводности. По аналогии с коэффициентом температуропроводности, который характеризует скорость перераспределения температуры в проводниках, коэффициент в теории упругого режима назван В.Н.Щелкачевым коэффициентом пьезопроводности, характеризующий скорость перераспределения давления в пласте.

Размерность можно установить из (7.9)

,

где L,M,T – соответственно размерность длины, массы и времени.

Наиболее встречающиеся в нефтепромысловой практике значения =(0,1¸5) м 2 /с.

Уравнение (7.10) позволяет решать ряд задач неустановившегося движения жидкости при упругом режиме. В частности при соответствующих начальных и граничных условиях находится закон распределения давления в пласте Р=Р(x,y,z,t).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ неустановившейся ФИЛЬТРАЦИИ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Для вывода основных дифференциальных уравнений фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде необходимо воспользоваться уравнением неразрывности потока, уравнениями состояния пористой среды и насыщающей ее жидкости и уравнениями движения. В качестве уравнения состояния среды и жидкости используются упрощенные эмпирические соотношения. Как показывают результаты лабораторных экспериментов на образцах пород-коллекторов, а также опыт разработки месторождений, в ряде случаев наряду с изменением пористости вследствие происходящих деформаций существенны изменения проницаемости пластов. Особенно это относится к глубокозалегающим нефтяным и газовым месторождениям. Это вызывает необходимость учета в фильтрационных расчетах как при упругом, так и при других режимах фильтрации изменений проницаемости с изменением пластового давления. Однако изложение этого раздела в более общей постановке, предусматривающей также введение в уравнения фильтрации зависимости проницаемости от давления, заметно усложнит изложение, поэтому, для упрощения, учитывать эту зависимость не будем.

В качестве уравнения движения используем линейный (закон Дарси) и нелинейный (двучленный) закон фильтрации.

Дифференциальное уравнение фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде по закону Дарси

Обратимся к общему дифференциальному уравнению неустановившегося движения сжимаемого флюида по закону Дарси в деформируемой пористой среде, при k = const, μ = const:

где m – коэффициент пористости среды;

ρ – плотность флюида, кг/м 3 ;

∇ 2 P – оператор Лапласа от функции Лейбензона;

P = ∫ρ(p)dp + C – функция Лейбензона;

p – давление в рассматриваемой точке пласта, Па.

Используем уравнение состояния упругой жидкости:

где ρ₀ – начальная плотность флюида, кг/м 3 ;

p₀ – начальное давление, Па.

Используем уравнение состояния упругой пористой среды:

где m₀ – начальный коэффициент пористости среды.

Используя данные формулы и обратившись к рассуждениям Басниева [1], получим:

где χ = k/(ηβ*) – коэффициент пьезопроводности пласта, м 2 /с;

β* = β_жm₀+β_c – коэффициент упругости насыщенного пласта, м с 2 /кг;

x, y, z – координаты точки потока, м.

Уравнение (4) – основное дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации. Оно названо уравнением пьезопроводности.

Коэффициент пьезопроводности характеризует скорость перераспределения пластового давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде.