Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией , а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y = y ( x ) их центров тяжести сечений – прогибами балки .

Между прогибами y ( x ) и углами поворота сечений θ ( x ) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии ( θ и φ — углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y / = tg θ . Следовательно, tg θ = tg φ = y / .

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h , а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ = y / .

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):

.

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

.

Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y // были приняты независимо друг от друга, получаем

.

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии . При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ = 0.1 рад ( y / ) 2 =0.01 ) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

.

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y , так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y // и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений

,

а после второго интегрирования – прогибы балки

.

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2 n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

Дифференциальное уравнение упругой линии

Упругую линию балки можно рассматривать как график не­которой функции, определяемой характером нагружения балки, ее размерами и материалом. Сама функция представляет собой текущую ординату упругой линии, а ее аргументом является абсцисса центра тяжести произвольного поперечного сечения балки, т. е.

Для определения этой функции воспользуемся зависи­мостью между кривизной К оси балки (кривизной нейтрального слоя) и изгибающим моментом М_х и жесткостью сечения балки при изгибе EJ_х

Из курса математики известно следующее выражение кри­визны некоторой кривой, которое для принятой на рис. 7.1 системы координат запишется в виде

К= , (7.3)

где = dv/dz; =d 2 v/dz 2 .

Подставляя это значение К в выражение (7.2), получим точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии)

= M_х /(EJ_х). (7.4)

Первая производная от функции дает значение тангенса угла θ наклона касательной к графику этой функции и осью z (см. рис.7.1). В пределах упругих деформаций балки эти углы весьма малы – порядка тысячных долей радиана, поэтому квадратом величины по сравнению с единицей можно пренебречь и принять откуда

=d 2 v/dz 2 = M_х /(EJ_х). (7.5)

Данное выражение называется приближенным дифференциальным уравнением упругой линии.Для балокпостоянного сечения его обычно записывают в виде

EJ_х = M_х. (7.6)

Правая часть зависимости (7.6) представляет собой уравнение изгибающих моментовт.е. аналитическое выражение закона изменения изгибающего момента по длине балки.

Для вычисления углов поворота θ ≈ и прогибов v необходимо произвести интегрирование уравнения (7.6).

Проинтегрировав уравнение один раз, получим уравнение углов поворота

EJ_х = , (7.7)

где С – постоянная интегрирования.

Интегрируя второй раз, получим уравнение прогибов

EJ_х v= , (7.8)

где D – вторая постоянная интегрирования.

Постоянные интегрирования С и D определяются из условий опирания балки (граничных условий). Так, для балки, заделанной одним концом (см. рис. 7.1), в месте заделки должны быть равны нулю и прогиб, и угол поворота сечения. Для балки, опертой по концам, прогиб должен быть равен нулю и на левом, и на правом конце.

Определив постоянные интегрирования, можно из уравнений (7.7) и (7.8) определить угол поворота и прогиб любого сечения.

Пример.Двухопорная балка длиной l (рис. 7.2) нагружена силой F, расположенной на расстоянии а от левой опоры. Требуется составить уравнение упругой линии и найти перемещение в сечении на расстоянии z.

Решение.Начало координат располагаем на левой опоре. Опорные реакции R_A и R_B соответственно составят

R_A= F ; R_B= F .

Изгибающие моменты на первом и втором участках балки имеют выражения

M₁= F z, (0 ≤ z ≤ a); M₂= F z–F(z–a), (0 ≤ z ≤ l).

Дифференциальное уравнение упругой лини балки имеет вид (7.4)

= M_х /(EJ_х).

После однократного интегрирования находим угол поворота сечения балки на опоре А

θ_A= = .

Угол поворота на правой опоре B:

.

После двукратного интегрирования прогиб в сечении на расстоянии z от левой опоры:

v= ;

v= .

Так как поперечная сила Q имеет разрыв первого рода в точке z=a, то функции M, q, n не могут быть выражены аналитически одним выражением.

Постоянные интегрирования, вошедшие в приведенные выше выражения, определены из граничных условий (условий закрепления балки).

Оборудование, приборы и материалы:лабораторная установка,подвеска с набором грузов, индикаторы часового типа, штангенциркуль, линейка.

Описание установки

Схема установки приведена на рис. 7.2 . Как видно из схемы левая опора А балки 1 прямоугольного поперечного сечения является шарнирнонеподвижной, а правая В – шарнирноподвижной. Материал балки – сталь, Е= 2∙10 5 МПа, размеры поперечного сечения: ширина b₁ , толщина h.

Рис. 7.2. Схема лабораторной установки

С левым концом балки 1 жестко соединена планка АC длиной r. Нагрузка F на балку 1 создается подвеской 2 с набором грузов 3. Подвеска может перемещаться вдоль балки и крепиться на ней в любом сечении. Прогиб балки фиксируется индикатором 4, корпус которого крепится к подвижной стойке, что позволяет перемещать его вдоль балки и производить измерения в любом ее сечении. Величина угла поворота θ сечения балки на опоре А после приложения нагрузки F приближенно определяется через смещение Δ_С точки С, фиксируемое индикатором 5, корпус которого закреплен на опоре. Так как при изгибе балки в пределах упругих деформаций угол поворота сечения мал, можно с достаточной степенью точности считать длину дуги, описываемой при деформации балки точкой С, примерно равной ее хорде Δ_С. Тогда центральный угол θ этой дуги составит

Порядок проведения работы

1. Ознакомиться с лабораторной установкой, зарисовать схему нагружения испытываемой балки, записать размеры длин участков (l, а, АС=r) и поперечного сечения (h, b).

2. В сечении балки, указанном преподавателем, закрепить подвеску 2 (см. рис. 7.2).

3. Установить стойку с индикатором 4 в одном из сечений, в которых будет замеряться прогиб балки (z₁= l /4; z₂= l / 2; z₃=a).

4. Поворотом ободков индикаторов 4 и 5 выставить их показания на ноль.

5. Установить на подвеску набор грузов 3, обеспечив заданную преподавателем нагрузку F. Записать показания соответствующих индикаторов (v_эксп, Δ_С) в таблицу 7.1.. Рассчитать значение θ.

6. Снять с подвески грузы, передвинуть стойку с индикатором 4 на следующее сечение балки; обнулить показания индикатора 4, затем установить снятые грузы на подвеску и записать показания индикатора в таблицу 7.1.

7. Выполнить действия в соответствии с п. 6 для всех сечений балки, где необходимо определить прогибы, и записать показания индикатора в таблицу 7.1.

8. Рассчитать осевой момент инерции сечения балки J_x=bh 3 /12.

9. Произвести теоретический расчет угла поворота сечения θ на опоре А и прогибов v_теор для тех же сечений, что и при экспериментальном определении (т.е. при z₁= l/4; z₂= l/2; z₃=a).

10. Вычислить расхождение в процентах между расчетными и опытными значениями угла поворота и прогибов.

11. По данным теоретического расчета построить в масштабе упругую линию балки.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется балкой?

2. Что такое прогиб, стрела прогиба?

3. Что понимается под упругой линией балки?

4. Что такое угол поворота сечения балки?

5. В каком случае изгиб балки считается прямым?

6. Что называется жесткостью балки при изгибе?

7. В какой точке расположен центр изгиба (центр инерции) однородной балки с поперечным сечением, показанным на рисунке?

8. Какая из балок имеет большую жесткость (материал одинаковый)?

9. Во сколько раз изменится прогиб балки в исследованной Вами точке, если балку развернуть вокруг своей оси на 90°?

10. Во сколько раз изменится прогиб балки в исследованной Вами точке, если все линейные размеры балки пропорционально увеличить в 2 раза, а вес груза и материал балки оставить неизменным?

11. Какие внутренние силовые факторы действуют в сечениях балки при чистом изгибе?

иографический список

1. Степин П.А. Сопротивление материалов: учебник для немашиностроительных специальностей вузов / П.А.Степин. – М.: Высш. школа, 1988.– 366 с.

2. Копнов В. А. Сопротивление материалов: руководство для решения задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ / В. А. Копнов. – М. : Высш. школа, 2003. – 351 с.

3. Рубашкин А. Г. Лабораторные работы по сопротивлению материалов /А.Г. Рубашкин – М. : Высш. школа, 1982. – 240 с.

4. Справочник по сопротивлению материалов / Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев ; отв. ред. Г. С.Писаренко. – 2-е изд., перераб. и доп. – Киев : Наукова думка, 1988. – 736 с.

5. Афанасьев А. М. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов / А. М. Афанасьев, В. А. Марьин. – М. : Наука, 1975. – 284 с.

6. Кирносов В.Н. Измерение механических характеристик материалов. уч. пособие/ В.Н. Кирносов.– М.: Изд-во стандартов, 1976. – 240 с.

7. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. – М. : Наука, 1999. – 456 с. (МГТУ им. Баумана, 2005. 591 с).

8. Электрические измерения электрических и неэлектрических величин / под ред. Е. С. Полищука. – Киев : Вища школа, 1984. – 359 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Механические характеристики сталей (по ГОСТ 380–94)

СОПРОМАТ ОН-ЛАЙН

Меню сайта

Расчет геометрических характеристик сечений он-лайн NEW — считает любые сечения (сложные). Определяет: площадь сечения, моменты инерции, моменты сопротивления.

Расчет балок на прочность он-лайн — построение эпюр Mx, Qy, нахождение максимального изгибающего момента Mx, максимальной сдвигающей силы Qy, расчет прогибов, подбор профиля и др. Все просто, все он-лайн.
+ Полное расписанное решение!
Теперь и для статически неопределимых балок!

Расчет рам, ферм балок он-лайн NEW — эпюры Q, M, N, перемещения узлов. Удобный графический интерфейс. Считает любые схемы.

Лекции — теория, практика, задачи.

Справочная информация — ГОСТы, сортамент проката, свойства материалов и другое.

Программы по сопромату (построение эпюр, различные калькуляторы, шпоры и другое).

Книги — разная литература по теме.

Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.

4. Изгиб. определение перемещений.

4.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y = y ( x ) их центров тяжести сечений – прогибами балки.

Между прогибами y ( x ) и углами поворота сечений θ ( x ) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии ( θ и φ — углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y / = tg θ . Следовательно, tg θ = tg φ = y / .

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h , а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ = y / .

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):

.

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

.

Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y // были приняты независимо друг от друга, получаем

.

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии. При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ = 0.1 рад ( y / ) 2 =0.01 ) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

.

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y , так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y // и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений

,

а после второго интегрирования – прогибы балки

.

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2 n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.