Дифференциальное уравнение установившегося плавно изменяющегося движения жидкости

Дифференциальное уравнение установившегося плавно изменяющегося движения жидкости.

Дифференциальное уравнение установившегося плавно изменяющегося движения жидкости.

Дифференциальное уравнение установившегося плавно изменяющегося движения жидкости. В предыдущей главе в основном рассматривалось движение напора жидкости. Там форма и размеры живого сечения потока полностью определялись формой и размером поперечного сечения самого канала. Наличие локального сопротивления в потоке давления приводит к локальным изменениям биозащиты. 20. 307. При движении жидкости в открытом канале (включая частично заполненные и закрытые каналы) локальные изменения условий движения (такие как расширение, закупорка и разрушение дна канала) неизбежно вызывают деформацию некоторых (в некоторых случаях очень важных) участков биотрансплантата, его length. In в этом случае все точки свободной поверхности по-прежнему подвергаются воздействию внешнего давления газовой среды, поэтому деформация живой части потока неизбежно связана с изменением координат ее свободной поверхности.

В предыдущих главах рассматривалось в основном напорное движение жидкости, при котором форма и размеры живого сечения потока полностью определялись формой и размерами сечения самого русла. Наличие местных сопротивлений в напорных потоках приводит к локальным изменениям живого сечения. Людмила Фирмаль

• В этой главе описывается плавное, установившееся движение жидкости в открытом состоянии. water. In в этом случае основные параметры течения по длине изменяются очень плавно(см. 3.5).в связи с этим при выводе уравнений движения можно пренебречь составляющими локальной скорости в плоскости живой части потока и сделать распределение давления в этой плоскости соответствующим закону гидростатики pressure. It также предполагается, что работа силы сопротивления при практически равномерном движении и равномерном движении примерно одинакова. В следующей презентации мы отмечаем, что открытые каналы, встречающиеся в инженерной практике, можно разделить на 2 категории: призмы и непризмы. Призменный канал включает в себя канал, в котором основные геометрические параметры потока остаются постоянными по всей его длине. Живая площадь поперечного сечения призмы канала потока зависит от глубины канала. ©= /(Ля.) (15.1） В общем случае непризматических каналов площадь биофизического разреза является функцией 2 переменных. Людмила Фирмаль

• Для выбранного сечения мы создаем уравнение Бернулли для плоскости O-0, проходящей через точки под живым сечением 2-2. К + Ш + ^ + −2 ^ = к + а+ -& -+ -?1А+*’) ’ + . (15.3） В АК Н! ар. игнорировать [(yn) 2 из-за малости, n2 ^ / / C2 /? ® 3Г = Я (15.8） 41a2с2ii\ла3 Если вычесть преобразование правой части выражения (15.7) или (15.8) в знаменателе, то получится ВОш2! § 2

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Дифференциальные уравнения установившегося неравномерного плавно изменяющегося движения жидкости

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ НЕРАВНОМЕРНОГО ПЛАВНО ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

2.1. УРАВНЕНИЯ НЕРАВНОМЕРНОГО ПЛАВНОИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

2.1.1. Уравнения неравномерного плавноизменяющегося движения жидкости в непризмагических руслах

Урав­нение неравномерного плавноизменяющегося движения в непризматическом русле с прямым уклоном дна записывается в следую­щем виде:

(6.56)

Аналогичные выражения с учетом знака уклона могут быть получены для призматических русл с горизонтальным и обратным уклонами дна.

Рекомендуемые материалы

2.1.2. Дифференциальные уравнения неравномерного плавноизменяющегося движения в призматических руслах

В призматических руслах площадь живо­го сечения потока может изменяться только за счет изменения глубины и поэтому при подстановке в формулу (6.56) условия dω/dl=0 получаем дифференциаль­ное уравнение неравномерного плавноизменяющегося дви­жения для призматических русл с положительным уклоном дна:

(6.57)

Вводя в уравнение (6.57) параметр кинетичности

и используя понятие расходной характеристики для произвольной глубины h неравномерного потока, получаем уравнение следующего вида:

Выражая расход Q по формуле Шези через расход­ную характеристику К₀, соответствующую нормальной глу­бине h₀ в канале при заданном уклоне i₀, можем записать

Наконец, используя понятие гидравлического показателя русла

(6.38),

получаем уравнение неравномерного движе­ния в призматических каналах только правильной формы:

(6.60)

Для призматических русл с горизонтальным дном (i₀=0) получаем

(6.61)

Для русл с обратным уклоном (i₀ 0 при равенстве нулю числите­ля уравнения (6.58) получаем

(6.63)

что соответствует постоянству глубины потока вдоль русла, т. е. равномерному движению (h=h₀). Последнее следует также непосредственно из выражения (6.63), которое пред­ставляет собой формулу Шези для равномерного движения. Получено, таким образом, подтверждение того, что равномерное движение возможно в приз­матическом русле при положительном уклоне дна i₀>0. Производная dh/dl=tg 0, где 0 — угол между касатель­ной к кривой свободной поверхности потока и линией N-N нормальной глубины или линией К-К критической глу­бины. Следовательно, если глубина неравномерного потока в канале с уклоном i₀>0 стремится к нормальной глубине h→h₀, то и dh/dl=tg 0→0, т. е. свободная поверхность асим­птотически стремится к линии N-N.

Для русл с горизонтальным дном равенство нулю чис­лителя уравнения (6.61) и, следовательно, производной (6.61) возможно либо при Q=0, либо при К=∞ (или h=∞). Оба условия не имеют смысла, поскольку перестает существовать движение жидкости.

При обратном уклонe дна равенство (6.64) может быть получено из уравнения (6.62), если

Поскольку отрицательный знак уклона дна русла учтен при выводе уравнения (6.62), в последнем выражении знак «-» относится к расходной характеристике К, что также лишено смысла.

Таким образом, получено подтверждение, что при укло­нах дна i₀=0 и i₀ (6.65)

т. е. кривая свободной поверхности неравномерного потока пересекает линию К-К под углом 90°. При этом существенно увеличивается кривизна линий токов и поток ста­новится резко неравномерным.

Поэтому результат (6.65), полученный из уравнений (6.58)-(6.62), справедливых для плавноизменяющегося движения, не является строгим. В действительности линия К-К пересекается свободной поверхностью потока под углом, несколько меньшим, чем прямой. Если это пересечение происходит при уменьшении глубин от h₁>h_K до h₂ 0 и, следовательно, dh/d/>0: кривая свободной поверхности, глубины которого возрастают вниз по течению, называется кривой подпора. Если же глубины потока по течению уменьшаются (рис. 6.22, б), т. е. h₂ 0 могут быть случаи i₀ i_K, i₀=i_K. Линиями нормальной N-N и критической K-К глубины выделяются три харак­терные области (диапазона) изменения глубины неравно­мерного потока: область а, где h>h₀ (при i₀ h_K (при i₀>t_K); область b, где h₀>h>h_K (при i₀ i_K — область отсутствует при i₀=i_K. (когда h₀=h_K), область с, где h i_K).

Знак производной dhldl, т. е. образование кривой под­пора или спада на участке неравномерного движения, опре­деляется знаками числителя и знаменателя правой части уравнения (6.59). При h>h₀ числитель будет положитель­ным 1-(K₀/К) 2 >О, поскольку при этом K>К₀. При h 2 h_к согласно уравнениям П_к 0. При h 1 и 1-П_к 0, из чего следует, что в указанных областях свободные поверхности являются кривыми подпора. При разных знаках — в области b — производная отрицательна и свободная поверхность в рус­ле образует кривые спада.

Форма кривых подпора и спада в каждой области опре­деляется тем, как стремится глубина неравномерного пото­ка к линиям N-N и К-К, т. е. условиями (6.64) и (6.65) на границах областей (табл. 6.3).

Уклон дна канала меньше критиче­ского.

Линия нормальных глубин N-N при i₀ h₀>h_к свободная поверхность пред­ставляет кривую подпора. При стремлении глубины пото­ка к нижнему пределу глубин (h→h₀) свободная поверх­ность (линия а₁) в верхней части участка неравномерного движения асимптотически приближается к линии N-N. При стремлении глубины к верхнему пределу (h→∞) расходная характеристика К→∞ и величина (К₀/К) 2 →0; па­раметр кинетичности П_к→0. Следовательно, при h→∞ производная dhldl→i₀=const. Поскольку дно русла по отношению к горизонтальной плоскости имеет уклон i₀ и глубины измеряются от наклонной плоскости дна, равенст­во dh/dl=i₀ характеризует горизонтальную прямую п-п (рис. 6.23). При увеличении глубины (h→∞) свободная поверхность асимптотически приближается сверху к гори­зонтальной прямой п-п, т. е., несмотря на увеличение глубины потока, отметки свободной поверхности вниз по течению уменьшаются. Таким образом, свободная поверх­ность имеет вогнутую форму и называется кривой подпора a₁ (табл. 6.3).

Такого типа кривые подпора образуются в тех случаях, когда на пути равномерного потока в русле с i₀ h>h_K устанавливается кривая спа­да b₁ (табл. 6.3). Поскольку к линии N-N кривая стре­мится снизу асимптотически, а к линии К-К сверху ус­ловно под прямым углом, она имеет выпуклую форму.

Эта кривая может наблюдаться в каналах с уклоном i₀ i_к располагается ниже линии К-К.

В области а при h>h_к>h₀ в русле устанавливается кри­вая подпора а₂ (табл. 6.3). Нижний предел глубины h=h_к соответствует условию (6.65), т.е. гидравлическому прыжку. При стремлении глубины к верхнему пределу (h→∞) свободная поверхность неравномерного потока будет асимп­тотически снизу приближаться к горизонтальной прямой п- п, поскольку при этом dhldl→i₀. Следовательно, кри­вая свободной поверхности имеет выпуклую форму.

Эта кривая образуется, например, за гидравлическим прыжком перед препятствием в виде сооружений мостового перехода, трубы или плотины (между сечениями 1-1 и 2-2), устанавливаемыми в русле с уклоном дна i₀>i_к (рис. 6.24).

Теоретически длина кривой спада b₂ равна бесконечно­сти, в практических расчетах ее длину находят, ограничи­вая сечением 2-2, в котором глубина h₂=(1,005-1,05) h₀.

В области с русла при h i_K (см. рис. 6.19), если на предыдущем участке канала значение уклона было еще большим (i₀₁>i_K).

При определении длины кривой подпора с₂ в практичес­ких расчетах глубину потока в сечении 2-2 принимают в зависимости от точности расчета, на 0,5-5% меньше нор­мальной глубины: h₂=(0,995-0,95)h₀, условно считая, что ниже этого сечения движение становится равномер­ным.

Критический уклон дна канала.

В областях а и с производная dhldl >0, из чего сле­дует, что глубины потока вниз по течению возрастают (см. табл. 6.3).

Форма свободной поверхности потока при этом может быть установлена путем преобразования дифференциаль­ного уравнения неравномерного движения (6.57). Расход в числителе правой части уравнения при i_о=i_к может быть выражен через параметры потока при равномерном движе­нии: . Поскольку коэффициент Шези мало изменяется при изменении глубины потока, можно допус­тить, что С_к≈С; гидравлические радиусы выражаются в виде: R_K=ω_к/χ_к, R=ω/χ/; знаменатель преобразуется в соответствии с (6.14). С учетом изложенного получаем

(6-66)

Если допустить, что В_к≈χ_к и В≈χ (это можно считать при­емлемым для широких и неглубоких русл), то получаем

(6-67)

Следовательно, как в области а, так и в области с в рам­ках принятых допущений устанавливаются горизонтальные прямые подпора а₃ и с₃.

Прямая подпора а₃ образуется, например, в канале (рис. 6.26) с уклоном i₀₂>i_K, если к нему примыкает канал с меньшим уклоном (i₀₃ i_K.

(6.68)

В начальном сечении 1-1 в этом случае h₁=h₀₁, а в конечном сечении 2-2 глубина h₂=h_к. Длина прямой под­пора с₃ при этом находится аналогичным образом:

(6.69)

Русло с горизонтальным дном.

В этом случае равно­мерное движение существовать не может и линия нормальных глубин N- N отсутствует (см. табл. 6.3). Линия критической глубины К- К вы­деляет две области b и с.

В области b при h>h_K согласно уравнению (6.61) имеем выпуклую кривую спада b₀, заканчивающуюся водопадом. При h h_K), анализируя уравнение (6.62), ана­логично тому, как это было выполнено в отношении урав­нения (6.61), для i₀=0 и принимая во внимание, что при выводе уравнения (6.62) отрицательный знак уклона дна уже был учтен, получаем кривую спада b‘ выпуклой фор­мы (табл. 6.3).В области с (h

Плавноизменяющееся движение

При движении жидкости в естественных руслах обычно живое сечение непрерывно изменяется вдоль потока как по форме, так и по площади, и движение жидкости является установившимся неравномерным. Для облегчения изучения такого движения в гидравлике введено понятие «плавноизменяющееся движение», которое характеризуется следующими свойствами:

— кривизна линий тока в потоке считается весьма незначительной;

— угол расхождения между отдельными линиями тока очень мал;

— живые сечения потока являются плоскими сечениями, нормальными к оси потока.

Если внутри плавно изменяющегося потока выделить частицу жидкости и спроектировать все действующие на нее силы на плоскость живого сечения, то вследствие того, что скорости и ускорения почти перпендикулярны живому сечению, силы инерции в уравнение равновесия не войдут; поэтому уравнение равновесия и закон распределения давления в плоскости живого сечения ничем не будут отличаться от закона распределения давления в жидкости, находящейся в покое. Отсюда следует четвертое важное свойство плавно изменяющегося движения:

— при плавноизменящемся движении давление по живому сечению распределяется по гидростатическому закону, т.е. по закону прямой линии.

Если эти четыре свойства не выполняются, то движение называется резкоизменяющимся.

Дифференциальные уравнения движения жидкости (уравнения Эйлера)

При рассмотрении движения жидкостей наблюдается целый ряд новых переменных, которых не было при рассмотрении жидкости в равновесии.

Основной переменной является время , и в зависимости от нее могут изменяться все остальные величины, характеризующие движение.

В общем случае на жидкость действуют силы массовые и поверхностные .Изучение законов движения жидкости начинается с гидромеханики невязкой (идеальной) жидкости, т.е. без учета сил трения, а затем в зависимости вводят уточнения, полученные на основе экспериментальных данных.

Обозначая проекции на оси координат ускорений объемных сил через , , , проекции на оси координат скорости точки через , и , гидродинамическое давление в точке — и плотность — , получаем восемь величин, характеризующих движение каждой частицы жидкого тела.

Задача гидродинамики — установить зависимости этих величин от координат времени и пространства , и .

Выведем основные дифференциальные уравнения, устанавливающие эту зависимость. Выделим в движущейся жидкости элементарно малый объем в форме параллелепипеда.

Воспользуемся полученными ранее (Тема: “Дифференциальные уравнения равновесия жидкости”) уравнениями равновесия. К действующим на элементарный параллелепипед силам присоединим также силы инерции.

Сумма проекций всех сил на ось (включая силу инерции ), после сокращения на дает нам уравнение:

. (3.9)

Составляя аналогичные уравнения относительно осей и , получаем систему уравнений:

. (3.10)

Так как — функция четырех переменных, то ее полный дифференциал равен:

. (3.11)

Разделив все члены этого полного дифференциала на , получим:

,

аналогично можно представить

и .

Производные от координаты движущейся точки по времени представляют собой соответствующие проекции ее скорости. Подставляя производные в уравнение и перенеся члены, содержащие скорость, в правую часть, получим систему общих дифференциальных уравнений движения жидкого тела (Эйлер, 1755г.):

. (3.12)