Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом
Вы будете перенаправлены на Автор24
Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами
Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $\left\<\begin
где $y_ <1>\left(x\right),\; y_ <2>\left(x\right),\; \ldots ,\; y_
Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $\frac
Общий метод решения СОДУ с постоянными коэффициентами
Решение СОДУ отыскивается в следующем виде: $y_ <1>=\alpha _ <1>\cdot e^
Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:
Полученное уравнение можно представить так:
Последнее равенство показывает, что вектор $\alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $k\cdot \alpha $. Это значит, что вектор $\alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.
Готовые работы на аналогичную тему
Это уравнение называется характеристическим.
Одно из значений в этой матрице выбирают произвольно.
Окончательно, решение данной системы в матричной форме записывается следующим образом:
где $C_ $ — произвольные постоянные.
Записываем матрицу системы: $A=\left(\begin
Получаем характеристическое уравнение:
Корни характеристического уравнения: $k_ <1>=1$, $k_ <2>=9$.
Получаем решение СОДУ в матричной форме:
В обычной форме решение СОДУ имеет вид: $\left\<\begin
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19 01 2022
Дифференциальное уравнение в векторно матричной форме
Тема:«Векторно-матричные модели систем управления в непрерывном времени»
Понятие пространства состояний
Современная теория автоматического управления оперирует с векторно-матричными моделями динамических систем. При этом рассматриваются в общем случае многомерные системы, т.е. системы произвольного порядка со многими входами и многими выходами, в связи, с чем широко используются векторно-матричные уравнения и аппарат векторной алгебры. Для получения векторно-матричной модели (ВММ) исследуемая динамическая система представляется в виде “черного ящика” с некоторым числом входных и выходных каналов (рис. 1.1, а).
Рис.1.1. Скалярное (а) и векторное (б) представления динамической системы в виде «черного ящика»
Все переменные, характеризующие систему, можно разделить на три группы.
1. Входные переменные или входные воздействия, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе. Они характеризуются вектором входа.
r — число входов
2. Выходные переменные, характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия. Представляются вектором выхода
m — число выходов.
3. Промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы, — переменные состояния, представляются вектором
n — число переменных состояния.
Таким образом, совокупность входов можно рассматривать как один обобщенный вход, на который воздействует вектор входа u, совокупность выходов как вектор y, а совокупность промежуточных координат, характеризующих состояние системы, — в виде вектора состояния x (см. рис. 1.1, б).
Состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно.
Собственно система, ее входы и выходы — это три взаимосвязанных объекта, которые в каждой конкретной ситуации определяются соответственно математической моделью системы, заданием множеств входных и выходных переменных.
Решение задач анализа и синтеза связано с исследованием состояний системы, множество которых образует пространство состояний,.
Векторно-матричные модели в непрерывном времени
В общем случае динамическая система в непрерывном может быть описана парой матричных уравнений:
Если компонентами вектора состояния выбрать , где Uп – напряжение преобразователя, iя — ток электродвигателя, — скорость вращения электродвигателя, МУ — момент упругости механизма, — скорость вращения механизма, то элементы векторно-матричной модели
(1) |
Для решения системы линейных уравнений (1) матричным методом запишем ее матричном виде:
(3) |
Мы будем предполагать, что матрица A имеет обратное, т.е. определитель матрицы A не равен нулю.
- Умножим матричное уравнение (2) на обратную матрицу A−1. Тогда
- Учитывая определение обратной матрицы, имеем A−1A=E, где E— единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:
- или, учитывая, что Ex=x:
- Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b.
- Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:
Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где
. |
Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:
. |
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого заменяем местами строки 1 и 2:
. |
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:
. |
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого заменяем местами строки 2 и 3:
. |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:
Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на 17/53, 85/159 соответственно:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:
Делим каждую строку матрицы на ведущий элемент соответствующей строки:
Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :
Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда
Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:
Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где
Найдем обратную к матрице A методом алгебраических дополнений. Вычислим определитель матрицы A :
Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:
Обратная матрица вычисляется из следующего выражения:
где Aij − алгебраическое дополнение элемента матрицы A, находящиеся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, а Δ − определитель матрицы A.
Используя формулу обратной матрицы, получим:
Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда
Глава 4. Матрицы и дифференциальные уравнения
где – постоянный коэффициент; – непрерывная функция времени, определенная на некотором интервале . Решением уравнения является функция , подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. При уравнение называется однородным и его общее решение выражается как , где – произвольная постоянная. Общее решение исходного неоднородного уравнения ( ) выражается формулой
Это решение представляет собой сумму общего решения однородного и частного решения неоднородного дифференциальных уравнений. Оно удовлетворяет начальному условию при , т. е.
- .
- Переходя к системам дифференциальных уравнений, рассмотрим их представление в нормальной форме:
- ,
- к которой, как известно, можно привести любую систему линейных дифференциальных уравнений. В матричной записи эта система представляется одним уравнением
- ,
- где – вектор (столбец) неизвестных функций ; – вектор (столбец) задающих функций и – квадратная матрица постоянных коэффициентов :
- ; ; .
Задачу об отыскании решения системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным значениям скаляра и вектора , называют задачей Коши. По аналогии с дифференциальным уравнением первого порядка можно записать искомое решение для вектора неизвестных функций в виде: .
Необходимо установить допустимость такого представления решения, а также выяснить смысл и способы определения входящей в него матрицы .
В матричной форме нормальная однородная система дифференциальных уравнений ( ) имеет вид: . Будем искать ее решение в виде где вектор (столбец) произвольных постоянных. Подставляя в исходное уравнение, получаем или после сокращения на скаляр и перенесения в левую часть равенства: .
Заметим, что сокращать на вектор нельзя, так как операция деления на вектор в общем случае не имеет смысла. Вынося за скобки вектор , необходимо умножить предварительно на единичную матрицу . Уравнение имеет нетривиальные решения при условии, что определитель матрицы обращается в нуль, т. е.
Так как порядок матрицы равен , то является многочленом -й степени относительно , т. е. . Корни уравнения (нули многочлена ), число которых равно , дадут значения при которых исходная система имеет нетривиальные решения.
Рассмотрим наиболее простой случай, когда все корни уравнения простые (попарно различные). Тогда при имеем однородное уравнение , из которого можно определить вектор .Таким образом, решение нормальной системы дифференциальных уравнений, соответствующее корню , будет .
Всего получим таких решений, соответствующих корням .
Для любой квадратной матрицы по установившейся терминологии называется характеристической матрицей, а – характеристическим уравнением. Корни уравнения называются собственными значениями (характеристическими числами), а векторы собственными векторами матрицы . Совокупность собственных значений называется спектром матрицы .
- Множество всех решений однородной системы дифференциальных уравнений образует -мерное линейное пространство с базисом . Общее решение имеет следующий вид:
- .
- Это выражение может быть представлено в матричной форме
- .
- В свою очередь матрица выражается следующим образом
- .
- Здесь через обозначена матрица -го порядка, называемая модальной и состоящая из столбцов , а элементами диагональной матрицы являются экспоненциальные функции .
Итак, решение нормальной однородной системы линейных дифференциальных уравнений представляется в виде .
При матрица равна единичной матрице, следовательно, начальное условие , откуда . Подставляя это значение в общее решение, получаем . Матрица -го порядка называется фундаментальной матрицей. Ее вычисление сводится к определению собственных значений и собственных векторов матрицы системы дифференциальных уравнений.
- Рассмотрим в качестве примера однородную систему дифференциальных уравнений:
- .
- Для этой системы
- ; .
- Поскольку для вычисления необходимы алгебраические дополнения какой-либо строки матрицы , то определитель этой матрицы удобно получать разложением по элементам той же строки.
- Алгебраические дополнения элементов первой строки:
- ;
- ;
- .
- Характеристический многочлен и собственные значения:
- ;
- ; ; .
- Собственные векторы : ; ; .
- Принимая (эти значения произвольны и выбираются по соображениям удобства), получаем модальную матрицу, а также обратную к ней:
- ;
- Фундаментальная матрица
- ,
- что после перемножения матриц приводит к следующему результату
- .
- Таким образом, в соответствии с соотношением общее решение рассматриваемой однородной системы дифференциальных уравнений:
- ,
- где элементы вектора , равные начальным значениям соответствующих переменных при .
- Выясним характер фундаментальной матрицы . Подставляя решение в однородное дифференциальное уравнение , получаем тождества:
- ; .
Так как в этих тождествах – вектор начальных значений не зависящий от времени, то , т. е. – это такая матрица, производная которой по времени равна произведению матрицы на саму матрицу. Аналогичными свойствами обладает единственная скалярная функция , поэтому по аналогии можно записать следующие соотношения:
- .
- Через экспоненциальную функцию выражаются также другие функции от матриц:
- Следует иметь в виду, что , а соотношение имеет смысл только в случаях, когда и – перестановочные матрицы.
- Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений может быть записано в матричной форме , где – векторная функция времени, подлежащая определению. Подставляя выражение для и ее производной в исходное уравнение, имеем:
- или после очевидных упрощений
- .
- При начальных условиях начальное значение искомой функции . Интегрированием получаем
- .
- Используя это выражение, находим решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальному условию :
- ,
которое называется формулой Коши. Его можно рассматривать как сумму решения соответствующего однородного уравнения (при ) и решения неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях ( ).
- Пусть дана неоднородная система дифференциальных уравнений в нормальной форме:
- .
- Для этой системы:
- ; ; ;
- ;
- .
- Полагая для удобства , находим модальную матрицу и обратную к ней матрицу :
- ,
- после чего определяется фундаментальная матрица:
- .
- Решение задачи Коши для однородной системы:
- .
- Найдем интеграл в выражении для частного решения неоднородной системы при :
- Частное решение неоднородной системы:
- .
- Таким образом, решение неоднородной системы, удовлетворяющей начальным условиям , запишется следующим образом:
- .
- Контрольные вопросы к лекции 12
12-1. Как записывается система уравнений в матричном виде?
12-2. Как решается матричное уравнение ?
12-3. Что представляет собой определитель матрицы?
12-4. Как вычисляется определитель второго порядка?
12-5. Как вычисляется определитель третьего порядка?
12-6. В чем состоит свойство антисимметрии определителя?
12-7. В каком случае определитель равен нулю?
12-8. Как изменяется определитель матрицы -го порядка при умножении ее на скаляр?
12-9. Как вычисляется алгебраическое дополнение?
12-10. Как вычисляется обратная матрица?
12-11. Опишите алгоритм вычисления обратной матрицы методом исключения.
12-12. Какие матрицы называются особенными?
12-13. Для каких матриц существуют обратные матрицы?
12-14. Какая матрица называется инволютивной?
12-15. Что называется рангом матрицы?
12-16. Что называется дефектом матрицы?
12-17. Какая система уравнений называется совместной?
12-18. В чем состоит суть теоремы Кронекера – Капелли?
12-19. Какая система уравнений называется неопределенной?
12-20. Опишите алгоритм Гаусса для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка?
12-21. Опишите алгоритм Гаусса – Жордана для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка?
12-22. Какая система уравнений называется однородной?
12-23. Как определяется характеристическая матрица для квадратной матрицы ?
12-24. Как определяется характеристическое уравнение?
12-25. Что называется характеристическими числами квадратной матрицы ?
12-26. Что называется спектром квадратной матрицы ?
12-27. Какая матрица называется модальной?
12-28. Какая матрица называется фундаментальной?
12-29. Что представляет собой решение неоднородного дифференциального уравнения в форме Коши?
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 5982;
Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей (стр. 1 из 3)
- Содержание
- 1. Введение
- 2. Постановка задачи
3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР
6. Построение общего решения матричным методом
7. Задача Коши для матричного метода
8. Решение неоднородной системы
Заключение
Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:
где коэффициенты аij, i=1,2,…. n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;
- yi=yi(t), i=1,2,…,n — неизвестные функции переменной t.
- Если все bi(t) (i=1,2,…,n) положить равным нулю (bi(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).
- Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор
через тогда систему (1) можем переписать в матричной форме (1а)
- Если
- Всякая совокупность n функций
- определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:
, то получаем соответствующую систему однородных уравнений . (2)
справедливые при всех значениях x из интервала (a, b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.
2. Постановка задачи
Цель работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:
1. Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР).
2. Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.
3. Найти приближенное решение в виде матричного ряда.
4. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел.
5. Решить задачу Коши.
- Начальные условия:
- Вектор начальных условий: [1, 2, 3, 4]
- t = 0
Однородной линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида:
Если в матрице системы
все =const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.
Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений a, т.е. n линейно независимых решений этой системы.
Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.
Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) был равен нулю:
Из этого уравнения степени n определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим.
Запишем характеристический полином, для этого воспользуемся функцией CHARPOLY
- Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией SOLVE(U, l), которая возвращает характеристические числа матрицы А в вектор l. Получим:
- Получилось два действительно корня
- Матрицу y(x), столбцами которой являются решения, образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей.
- И общее решение системы будет выглядеть следующим образом:
- Найдем решение данной системы с помощью метода Эйлера.
и два комплексно-сопряженных корня . Следовательно, вектора, образующие фундаментальную матрицу, для данного типа корней будут находиться отдельно для и отдельно для . Запишем ФСР для данных для полученных характеристических чисел:
4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера
- Метод Эйлера заключается в следующем.
- Решение системы (1) находится в виде:
- Функция (5) является решением системы (1), если
(5) – собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу .
Если собственные значения 1, 2, … , n матрицы А попарно различны и a1, a2, …, anсоответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется формулой :
- где С1, С2, … , Сn – произвольные числа.
- Для случая кратных корней решение системы принимает вид
где Pi(x)-полиномы степени не выше, чем (к-1), имеющих в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что среди коэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся к·n-k выражаются через них.
Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (6) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k·n-k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные.
- Если для кратного собственного значения
- Если для собственного значения
- Чтобы найти векторы
- Для данного задания были найдены следующие собственные значения:
- Построили фундаментальную систему решений:
- Найдем 1 строку фундаментальной матрицы решений для характеристического числа
матрицы А имеется столько линейно независимых собственных векторов , какова его кратность, то ему соответствует k независимых решений исходной системы: кратности k имеется только m (m
http://drive.ispu.ru/elib/kolganov2/l1.html
http://school16rostov.ru/ekonomicheskie/reshenie-sistem-differentsialnyh-uravnenij-matrichnym-sposobom-spravochnik-studenta.html