Дифференциальное уравнение вращательного движения тела можно записать

Дифференциальное уравнение вращательного движения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела

Все точки при поступательном движении тела движутся как центр масс, поэтому дифференциальные уравнения движения центра масс тела

, , (*.34)

являются и дифференциальными уравнениями поступательного движения тела. С их помощью можно решать два основных типа задач:

1) по заданному движению твердого тела определять главный вектор приложенных к нему сил;

2) по заданным внешним силам, действующим на тело, и начальным условиям движения находить кинематические уравнения движения, если известно, что тело движется поступательно.

Дифференциальное уравнение вращательного движения

Из третьего уравнения теоремы об изменении кинетического момента получим дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси (рис. *.11). Имеем

.

Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси кинетический момент

.

Учитывая это получаем дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси

. (*.35)

В главный момент внешних сил (вращательный момент) не входят реакции (внешние силы) подпятника , , и подшипника , , так как они пересекают ось или направлены вдоль оси.

Если ввести угол поворота тела , то учитывая, что , дифференциальное уравнение (*.35) можно переписать так

(*.36) или . (*.37)

Равенство (*.36) показывает, что при данном чем больше момент инерции тела, тем меньше угловое ускорение, и наоборот. Следовательно момент инерции тела действительно играет при вращательном движении такую же как масса при поступательном, т.е. является мерой инертности при вращательном движении.

Уравнение (*.37) позволяет:

1) по заданному уравнению вращательного движения и его моменту инерции определить главный момент внешних сил, действующих на тело (первая задача динамики);

2) по заданным внешним силам, приложенным к телу, по начальным условиям вращения тела , и по моменту инерции тела найти уравнение вращения тела (вторая задача динамики).

Если известны величины и , уравнение вращательного движения в форме (*.36) часто используют при экспериментальном определении моментов инерции тел, для которых расчетным способом их найти затруднительно.

Дата добавления: 2017-09-19 ; просмотров: 3036 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

iSopromat.ru

Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения z (рисунок 3.4), действует система заданных внешних активных сил ( F₁, F₂, F₃,…, F_n), определяющих угловую скорость ω и угловое ускорение ε этого тела в его вращательном движении вокруг оси z. Одновременно на это же тело действуют силы реакции R_A подпятника и R_B радиального подшипника.

Определяем правую часть уравнения (3.11):

Найдем момент количества движения (кинетический момент) K_z вращающегося твердого тела. Для этого выделим точку M_j тела на расстоянии r_j от оси вращения и имеющую скорость V_j=ω∙r_j. Очевидно, что

Тогда момент количества движения (кинетический момент) всего вращающегося тела будет:

Следовательно, окончательно будем иметь

Подставляя в уравнение (3.11) выражение (3.12), получаем

Уравнение (3.13) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Поскольку dω/dt = ε, имеем

Полученное выражение (3.14) показывает, что осевой момент инерции J_z тела следует рассматривать как меру инертности твердого тела при его вращательном движении вокруг неподвижной оси.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Тесты по теме «Техническая механика»

Тест № 1

1. Величина, которая не является скаляром?

+ 2. Потенциальная энергия.

2. Дифференциальное уравнение вращательного движения тела можно записать:

+ 1. Одной формулой.

2. Трех формулах.

3. Имеет однозначное выражение.

4. Двух формулах.

3. Что называется чугуном?

+ 1. Сплав железа с углеродом с содержанием углерода от 2,14 до 6,67%.

2. Сплав железа с серой и фосфором.

3. Сплав железа с марганцем.

4. Сплав железа с алюминием.

4. Какую из перечисленных резьб следует применить в винтовом домкрате?

5. К какому виду механических передач относятся цепные передачи?

1. Трением с промежуточной гибкой связью.

+ 2. Зацеплением с промежуточной гибкой связью.

3. Трением с непосредственным касанием рабочих тел.

4. Зацеплением с непосредственным касанием рабочих тел.

Тест № 2

1. Сила трения между поверхностями:

+ 1. Зависит от нормальной реакции и коэффициента трения.

2. Меньшая чем нормальная реакция.

3. Равняется нормальной реакции в точке контакта.

4. Большая чем нормальная реакция.

2. Приложение к твердому телу совокупности сил, которые уравновешиваются, приводит к:

1. Смещение равнодействующей.

+ 2. Никаких изменений не происходит.

3. Нарушение равновесия тела.

4. Уравновешение тела.

3. Примеси каких элементов являються вредными в сталях?

4. На каком из приведенных на рисунке стержней нельзя нарезать резьбу? ответ — 3

5. Полная высота зуба в нормальном (нарезанном без смещения) зубчатом колесе равна 9 мм. Чему равен модуль?

Тест № 3

1. Добавление к существующей системе сил совокупности сил, которые уравновешиваются, приводит к:

+ 1. Никаких изменений не происходит.

2. Смещение равнодействующей.

3. Нарушение равновесия системы.

4. Уравновешенность системы.

2. Угловое ускорение — это:

1. Изменение скорости точки за единицу времени.

2. Изменение пути за единицу времени.

+ 3. Изменение угловой скорости за единицу времени.

4. Изменение угла поворота за единицу времени.

3. Что называется сталью?

1. Сплав железа с серой и фосфором.

+ 2. Сплав железа с углеродом с содержанием углерода до 2,14%.

3. Сплав железа с марганцем.

4. Сплав железа с алюминием.

4. Какую стандартную метрическую резьбу нужно назначить для соединения?

Для справки приведена выборка из ГОСТ 9150—59

Диаметр наружный d

Диаметр средний d2

Диаметр внутренний d1

5. Укажите, какой подшипник может воспринимать только осевую нагрузку?

4. Двухрядный сферический.

Тест № 4

1. Статика — это раздел теоретической механики, которая изучает:

1. Поведение тел при воздействии на них внешних сил.

2. Поведение тел при воздействии на них внутренних сил.

+ 3. Равновесие тел под действием сил.

4. Движение тел под действием сил.

2. Как формулируется основной закон динамики?

+ 1. Произведение массы материальной точки и вектора ее ускорение равняется векторной сумме действующих на материальную точку сил.

2. Силы, которые действуют на тело, двигают его ускоренно.

3. Тело двигается под действием силы равномерно и прямолинейно.

4. Ускорения, которые получает тело, пропорционально действующим силам.

3. Каким способом изготавливается большинство чугунных изделий?

1. Обработкой давлением.

2. Механической обработкой.

4. На каком рисунке правильно показан шаг зацепления? Ответ — 1

5. При каком взаимном расположении валов возможно применение цепной передачи?

+ 1. Оси валов параллельны.

2. Пересекаются под некоторым углом.

3. Пересекаются под прямым углом.

4. Скрещиваются под любым углом.

Тест № 5

1. Действие связей на тело может быть заменено:

2. В кинематике ускорением точки называют векторную величину, которая равняется:

1. Отношению скорости к интервалу времени, за которое это изменение произошло;

+ 2. Отношению изменения скорости к интервалу времени, за которое это изменение произошло;

3. Произведения изменения скорости на интервал времени, за которое это изменение произошло;

4. Отношению изменения скорости к изменению перемещения.

3. Определить, какая марка высококачественной стали имеет следующий химический состав: 0,6% — С; 2% — Si; 1,2% — Cr; 0,1% — V?

4. Ниже перечислены цилиндрические детали, используемые для создания соединений. Какие из них не относятся к резьбовым?

5. Укажите передаточные механизмы, в которых фрикционные передачи получила наибольшее распространение.

4. Коробки скоростей.

Тест № 6

1. Количественное измерение механического взаимодействия материальных тел зовут:

2. Сила тяготения при увеличении высоты над поверхностью Земли:

1. Уменьшается пропорционально расстояния от центра Земли.

2. Увеличивается пропорционально квадрату расстояния от центра Земли.

+ 3. Уменьшается пропорционально квадрату расстояния от центра Земли.

4. Увеличивается пропорционально высоте.

3. Какими буквами обозначают в марках стали элементы Ni, Cr, Mn?

1. Буквами Н, В, С.

2. Буквами Н, Ю, Ф.

3. Буквами Г М, К.

+ 4. Буквами Н, Х, Г.

4. Изображена двухзаходная резьба. Какое из измерений дает значение хода резьбы? Ответ — 4

5. В фрикционных муфтах применяют следующие материалы:

+ 1. Накладки из фрикционного материала на основе асбеста.

2. Металлокерамические накладки.

3. Закаленные стали.

Тест № 7

1. Если система трех непараллельных сил находится в равновесии, то:

1. Все силы находятся в одной плоскости и не пересекаются линиями действия.

+ 2. Силы пересекаются в одной точке и принадлежат одной плоскости.

3. Все силы находятся в разных плоскостях.

4. Силы равны между собой.

2. Вал и ступица детали выполнены из стали 45. Подберите целесообразный материал для шпонки из перечисленных ниже:

1 ст. 3 (=240 МПа; =440 МПа );

2 ст. 45 ( =360 МПа ; =610 МПа);

+ 3 ст. 6 (=300 МПа ; =600 МПа);

4 ст. 55 (390 МПа ; =660 МПа).

3. Какая разделка кромок свариваемых деталей применяется при сварке особо толстых деталей? Ответ — 2

1. U-образная. 2. Двойная U-образная. 3. V-образная. 4. Х-образная.

4. Если частота вращения подшипника в диапазоне 1—10 об/мин, то как его следует рассчитывать?

1. На долговечность при действительном числе оборотов.

+ 2. На долговечность при 10 об/мин.

3. На долговечность при 1 об/мин.

4. На статическую грузоподъемность.

5. Можно ли при неизменной передаваемой мощности с помощью зубчатой передачи получить больший крутящий момент?

+ 2. Можно, уменьшая частоту вращения ведомого вала.

3. Можно, увеличивая частоту вращения ведомого вала.

4. Можно, но с частотой вращения валов это не связано.

Тест № 8

1. В теоретической механике абсолютно твердое тело — это тело:

1. Изготовленное из металла.

+ 2. Расстояние между каждыми двумя точками которого остается неизменным.

3. Имеет большую массу.

4. Кристаллическое тело.

2. Коэффициент трения скольжения между поверхностями определяется:

1. Нормальным давлением в контакте.

+ 2. Физическим состоянием поверхностей.

3. Площадью контакта поверхностей.

4. Активными силами, которые действуют на тело.

3. В чем состоит разница между чугунок и сталью?

1. В твердости и содержании вредных примесей.

+ 2. В содержании углерода и вредных примесей.

3. В агрегатном состоянии.

4. В виде термической обработки.

4. При каком из указанных ниже способов сборки соединения с гарантированным натягом следует стремиться к максимальной чистоте обработки контактирующих поверхностей?

2. Прессование с подогревом охватывающей детали.

3. Нагреванием охватывающей детали.

4. Охлаждением охватываемой детали.

5. Какой подшипник при равных габаритах способен воспринимать самую большую осевую нагрузку?

1. Шариковый радиальный.

2. Шариковый радиально-упорный.

3. Шариковый упорный.

+ 4. Роликовый конический радиально-упорный.

Тест № 9

1. Количественное измерение механического взаимодействия материальных тел зовут:

2. Не изменяя действия силы на тело, можно ли перенести ее параллельно в другую точку?

+ 2. Можно, прибавив пару сил с моментом, который равен моменту силы относительно точки и направлен в противоположную сторону.

3. Да, без ограничений.

4. Можно, прибавив еще одну силу так, чтобы образовалась пара сил направленная в противоположную сторону.

3. Какая структура образуется в стали после закалки?

4. На рисунке показан цилиндрический стержень с треугольной метрической резьбой (размеры округлены до целых единиц). Как следует обозначить резьбу на чертеже?

5. Из перечисленных функций, которые могут выполнять муфты, указать главную.

1. Компенсировать несоосность соединяемых валов.

2. Предохранять механизм от аварийных перегрузок.

3.Смягчать (демпфировать) вредные резкие колебания нагрузки.

+ 4. Передавать вращающий момент.

Тест № 10

1. Суть понятия абсолютно твердого тела:

+ 1. Это тело, расстояние между двумя произвольными точками которого остается неизменной.

2. Верного ответа нет.

3. Это тело, которое имеет очень большую твердость.

4. Это такое тело, которое сохраняет все время свою твердость.

2. Произведение постоянной силы на перемещение точки ее приложения — это:

2. Кинетическая энергия.

4. Количество движения точки.

3. Какой из литейных сплавов наиболее дешевый?

3. Высокопрочный чугун.

4. Легированная сталь.

4. Как можно нагружать соединение с гарантированным натягом?

1. Только осевой силой.

2. Только крутящим моментом.

3. Только изгибающим моментом.

+ 4.Осевой силой, крутящим и изгибающим моментами одновременно.

5. На рисунке показана гайка с треугольной метрической резьбой (размеры округлены до целых единиц). Как следует обозначить резьбу на чертеже?

Тест № 11

1. Момент силы относительно точки на плоскости:

+ 1. Произведение модуля силы на кратчайшее расстояние между вектором силы и точкой;

2. Произведение модуля силы на синус угла между вектором силы и осью;

3. Произведение модуля силы на косинус угла между вектором силы и осью;

4. Проекция силы на ось.

2. Если точка двигается по траектории так, что в любые промежутки времени она проходит равные отрезки пути, то такое движение называется:

3. Назовите основные требования к материалам, из которых изготавливают металлорежущие инструменты?

+ 1. Твердость, ударная вязкость, теплостойкость, износостойкость.

2. Жесткость, податливость, адгезия, адсорбция.

3. Аберрация, жесткость, плотность, долговечность.

4. Ударная вязкость, жесткость, стойкость, прочность.

4. Шлицевое соединение по сравнению с многошпоночным:

1. Более технологично.

+ 2. Больше ослабляет вал.

3. Имеет большую нагрузочную способность.

4. Лучше центрирует деталь на валу.

5. Укажите, какие тела качения не применяются в подшипниках качения.

2. Цилиндрические ролики.

3. Ролики с выпуклой образующей.

+ 4. Ролики с вогнутой образующей.

Тест № 12

1. Аксиома параллелограмма сил декларирует, что две силы приложенные к телу в точке:

+1. Можно заменить одной – равнодействующей.

2. Двигают тело прямолинейно и равномерно.

3. Можно сложить алгебраически с учетом знаков.

4. Взаимно уничтожаются.

2. Которая из величин является скаляром:

1. Кинетическая энергия.

2. Момент инерции.

3. В чем состоит термическая обработка — закалка?

+1. Нагрев, выдержка, охлаждение со скоростью выше критической.

2. Постепенный нагрев и постепенное охлаждение.

3. Постепенный нагрев и постепенное ступенчатое охлаждение.

4. Нагрев, выдержка при высокой температуре и охлаждение на воздухе.

4. Сколько из написанных соотношений соответствуют передаточному числу редуцирующей зубчатой передачи (индекс 1 означает ведущий элемент, индекс 2 — ведомый)?

; ; ; ,

где — диаметр делительной окружности; — число зубьев; —частота вращения; T—момент; — К. П.Д.

5. Сколько подшипников могут воспринимать комбинированную (осевую и радиальную) нагрузку?

Тест № 13

1. Если при движении любая прямая, связанная с телом, перемещается параллельно сама себе, то такое движение называется:

2. Основные понятия динамики точки:

1. Перемещение, ускорение, скорость;

2. Верного ответа нет;

3. Скорость, траектория, пройденный путь;

+4. Сила, масса, ускорение.

3. В чем состоит термическая обработка — отжиг?

1. Нагрев, выдержка, охлаждение со скоростью выше критической.

2. Нагрев, выдержка при высокой температуре и охлаждение в печи.

+3. Постепенный нагрев и постепенное ступенчатое охлаждение.

4. Нагрев, выдержка при высокой температуре и охлаждение на воздухе.

4. Какой вид сварки нужно применить для нахлесточного соединения двух листов сечением b×s=1500 мм ×1 мм?

5. Какое количество заходов характерно для крепежных резьб?

Тест № 14

1. Силы параллельны, если:

1. Векторы их направлены в разные стороны.

2. Они не имеют равнодействующей.

+3. Параллельные линии их действия.

4. Линии их действия проходят через одну точку.

2. Характеристики силы:

1. Верного ответа нет;

2. Величина, линия действия, направление действия;

3. Точка приложения, границы изменения, скорость изменения;

+4. Величина, точка приложения, линия действия, направление действия.

2. Что такое полиморфное превращение?

1. Процесс кристаллизации.

2. Вид пластической деформации.

+3. Изменение кристаллической решетки.

4. Вид термической обработки.

3. Сборка соединений с гарантированным натягом может осуществляться:

2. Прессованием с подогревом охватывающей детали.

3. Нагреванием охватывающей детали.

+4. Охлаждением охватываемой детали.

4. В наборе оказались подшипники: 315; 2416; 7210; 7520; 1308; 6405. Сколько из них тяжелой cерии?

Тест № 15

1. Как при прямолинейном движении находится скорость точки?

1. Как производная от координаты точки по ускорению;

2. Как вторая производная от координаты по времени;

3. Как вторая производная от координаты по ускорению;

+4. Как производная от координаты точки по времени.

2. В какой точке Земли вес тела минимальный?

2. На широте 45 градусов.

3. Улучшение стали это:

1. Закалка с низким отпуском.

2. Закалка со средним отпуском.

+3. Закалка с высоким отпуском.

4. Закалка с охлаждением на воздухе.

4. На рис. изображена двухзаходная резьба. Какое из измерений дает значение шага резьбы? Ответ — 3

4. Для работы фрикционной передачи необходима сила, прижимающая катки друг к другу. Какова величина этой силы по отношению к полезному окружному усилию?

2. Может быть и больше и меньше.

3. Всегда меньше

+4. Всегда больше.

5. Чтобы зубчатые колеса могли быть введены в зацепление, что у них должно быть одинаковым?

Тест № 16

1. Добавление к существующей системе сил совокупности сил, которые уравновешиваются, приводит к:

+ 1. Никаких изменений не происходит.

2. Смещение равнодействующей.

3. Нарушение равновесия системы.

4. Уравновешенность системы.

2. Сила тяготения может быть:

+ 1. Зависимой от ускорения материальной точки;

2. Зависимой от формы материальной точки;

3. Постоянной силой;

4. Зависимой от времени.

3. Как выполняются шпоночные канавки на валах?

1. Сверлением и развертыванием.

+2. Фрезерованием (дисковой и торцовой фрезой).

4 . Какой вид сварки не обеспечивает герметичности соединения?

5. Основное назначение муфт — передача вращающего момента. В каком случае не может быть применена муфта?

1. Соединяются соосные валы.

+2. Соединяются параллельные валы.

3. Соединяется с валом свободно посаженная на него деталь.

4. Соединяются друг с другом детали, свободно посаженные на один вал.

Тест № 17

1. В теоретической механике абсолютно твердое тело — это тело:

1. Изготовленное из металла.

+2. Расстояние между каждыми двумя точками которого остается неизменным.

3. Имеет ограниченную массу.

4. Кристаллическое тело.

2. Полное ускорение точки не направлено:

1. По касательной к траектории.

2. Параллельно оси y.

3. Параллельно оси x.

+4. По нормали к траектории в сторону выпуклости кривой («наружу»).

3. Отжиг стали это:

1. Закалка с низким отпуском.

2. Закалка со средним отпуском.

+3. Нагрев и охлаждение в печи.

4. Нагрев и охлаждение на спокойном воздухе.

4. Есть класс точности подшипников, имеющий условное обозначение 0. Чем он отличается от (обозначаемых номерами) классов точности?

1. Имеет наивысшую точность.

2. Среднюю точность.

+3. Наинизшую точность.

4. В классификацию подшипников по точности не входит.

5. Какие из перечисленных деталей, обеспечивающих работу передач круговращательного движения, сами могут не вращаться?

ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА